浙教版七年级下册数学2.1 二元一次方程 教学设计

2.1二元一次方程
【教材版本】浙教版七年级下册 第2章第1课时
【课时】1课时
【课型】新授课
教学内容
本课的内容来自浙教版七年级下册第二章的起始课，学生已掌握用一元一次方程解决单个未知数问题，本课通过“无法用一元方程描述双变量关系”的矛盾，自然引入二元方程，实现从“确定性解”到“解的相关性和不定性”的思维升级。本课建立的“二元一次方程”概念是后续学习二元一次方程组的基石，并为八年级学习一次函数埋下伏笔。
教学起点
本节课授课对象是七年级下的学生，他们正处于初中低年级阶段。从知识起点上看，学生已掌握一元一次方程的定义及解法，能解决简单实际问题，但对“两个未知量”的问题存在认知冲突。对“方程的解”概念仅停留在单一未知数的数值解，需扩展理解二元一次方程的解的不定性和相关性。从能力上看，七年级学生具备初步的抽象概括能力，但将生活问题转化为数学模型时，易受无关信息干扰。从情感上看，对“二元”存在好奇心，偏好具象案例，宜采用生活化情境维持学习动机。
教学目标
体验二元一次方程是刻画含两个未知数的等量关系的数学模型。
了解二元一次方程的概念，通过经历概念的发生过程，学会类比，培养抽象能力。
了解二元一次方程的解的概念。
会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数。通过经历方程变形和求解，了解二元一次方程解的不唯一性（不定性）及相关性。
教学重难点
本节教学的重点是二元一次方程及其解的概念。把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实就是解一个含有字母系数的方程，体现了代数中的主元思想，是本节教学的难点。
教学过程
情境导入
情境1：A款练习本的单价为2元，B款练习本的单价为3元。小杰花了20元买了若干本练习本，其中A款练习本和B款练习本的数量相同，这两款练习本各买了多少本？
追问：A款练习本的单价为2元，B款练习本的单价为3元。小杰花了20元买了若干本练习本，其中A款练习本的数量比B款练习本的多5本，这两款练习本各买了多少本？
回顾知识：
什么叫方程？含有未知数的等式叫作方程。
什么叫一元一次方程？方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且位置是的指数是一次，这样的方程叫作一元一次方程。
问题1（驱动型问题）：A款练习本的单价为2元，B款练习本的单价为3元。小杰花了20元买了若干本练习本，这两款练习本各买了多少本？
【设计意图】
问题1中因为A和B的数量相同，所以很多同学可以直接列式计算出来，问题2中因为A和B的数量相差5本，列式计算有点困难，所以很多同学会选择列一元一次方程解决问题，引导学生学会用方程这个数学模型解决现实问题。问题3则是缺少A和B的数量关系，无法用一个未知数去解决，所以通过认知冲突，暴露一元方程解决双变量问题的不足，自然引出二元方程的必要性，激活学生求知欲。
概念建构
实例探究，引导学生列出方程
情境2：某列车设A，B两种车厢，共576个座位，其中A种车厢每节设33个座位，B种车厢每节设85个座位。该列车A，B两种车厢各多少节？
如果设该列车由A种车厢x节，B种车厢y节，你能列出方程吗？
情境3：七年级一班女生人数的3倍比男生人数的2倍多7人。如果设女生有a人，男生有b人，你能列出方程吗？
归纳定义，得出二元一次方程概念
问题2：你能模仿一元一次方程的名称给这类方程命名吗？二元一次方程。
追问1：你能试着说说二元一次方程的概念吗？
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程。
追问2：你能试着写一个二元一次方程吗？
追问3：判断下列是二元一次方程的是________。
①；②；③；④。
【设计意图】
从具体到抽象，通过经历概念的发生过程，学会类比，培养抽象能力。同时反例辨析深化理解，避免机械记忆。
经历体验，得出二元一次方程的解的概念
驱动性问题中的方程：；
问题3：尝试写出满足方程的x和y的值？
回顾方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。
追问1：这些解有什么共同特征？
追问2：这样的解有多少个？
追问3：类比一元一次方程解的概念，如何描述二元一次方程解的概念？
引出二元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解。
【设计意图】
参与定义二元一次方程解的活动，形成二元一次方程解的概念，让学生经历、体会“一个解”“一对值”“一个大括号”，深刻理解二元一次方程的解的相关性和不定性。
追问4：你用什么方法寻找满足这个方程的解？
【设计意图】
让学生总结方法，学会用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数，即将上述方程变形为或，可以对比两种变形的求解过程，总结经验。通过解的不定性渗透变量关系，代数变形为后续代入法解方程组奠定基础，培养逆向思维。
总结提升
问题4：通过本节课的学习，你有什么收获呢？
【设计意图】
参与回顾与总结的活动，进行类比归纳与思维发散。
总结语：数学家笛卡尔的名言：一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题都将迎刃而解！