4.3相似多边形同步练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.3相似多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（　　）
A．所有的矩形都是相似形
B．所有的等腰直角三角形都相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．对应边成比例的两个多边形相似
2．下面几对图形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列关于“相似形”的说法中正确的是（ ）
A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形
C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例
4．一个长，宽的长方形，按：缩小得到的长方形的周长和面积分别是(　　)
A． B．
C． D．
5．已知四边形四边形，，，则四边形与四边形的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
6．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．有一个角为的两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．有一个角为的两个等腰三角形
D．两个矩形
7．已知四边形四边形，，若，则的长为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
8．下列各组图形中，一定相似的有（ ）
①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列是关于两个图形相似的叙述，不正确的选项是（ ）
A．位置可以不同 B．大小可以不同 C．形状可以不同 D．颜色可以不同
10．已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为（ ）
A．3：4 B．3：5 C．4：3 D．5：3
11．2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳的五星红旗——国旗．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列多边形一定相似的是 （ ）
A．两个菱形 B．两个平行四边形 C．两个矩形 D．两个正方形
二、填空题
13．已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是6，那么第二个矩形较长的一边长是 ．
14．已知五边形五边形，，，，，则 ．
15．学校有块矩形劳动实践基地，其中长为20米，宽为15米．现准备在其四周铺设小路，要求扩建后的矩形与原矩形相似．如图，若相对的两条小路的宽度相等，小路宽度分别为x米，y米，当 时则满足扩建要求．
16．如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为 ．
17．如图是两个形状相同的举重图案，则的值是 ．

三、解答题
18．如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．

19．如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点．
(1)求证：是菱形：
(2)若，则的值为______．
20．如图，四边形四边形．
(1) ，它们的相似比是 ；
(2)求边，的长度．
21．向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案．
小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为．
小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．

(1)求小明的方案中矩形①的面积．
(2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？
22．将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(1)
(2)
23．如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长．
24．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
《4.3相似多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D D A D C C C
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】此题主要考查了相似图形，熟知相似图形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】A、所有的矩形不一定是相似形，对应边不一定成比例，原说法错误，不符合题意；
B、所有的等腰直角三角形都相似，正确，符合题意；
C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，原说法错误，不符合题意；
D、对应边成比例的两个多边形，对应角不一定相等，原说法错误，不符合题意，
故选：B．
2．C
【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可．
【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似；
故选：C．
3．B
【分析】根据相似形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；
B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；
C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误；
D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．
【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识．
4．D
【分析】根据长方形的周长，面积公式进行计算，进而根据相似多边形的性质即可求解．
【详解】一个长，宽的长方形，
此长方形的周长为：，
长方形的面积为：，
按：缩小得到的长方形的周长是：；
按：缩小得到的长方形的面积是：．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多多边形的性质是解题的关键．
5．D
【分析】此题考查了相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案．解题的关键是熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比．
【详解】∵四边形四边形，，，
∴四边形与四边形的周长之比．
故选：D．
6．A
【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
【详解】解：A、分别有一个角是的两个等腰三角形，其底角都等于，所以有一个角是的两个等腰三角形相似，此选项符合题意；
B、两个直角三角形的对应锐角不一定相等，对应边不一定成比例，所以两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意；
C、一个角为的两个等腰三角形不一定相似，因为的角可能是顶角，也可能是底角，此选项不符合题意；
D、两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
7．D
【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例．由相似多边形的性质推出，代入有关数据，即可求出的值．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查的是相似图形．根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．
【详解】解：①两个矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；
②两个正方形，对应角度数相等，对应边成比例，是相似图形；
③两个等腰三角形，对应边的比、对应角的度数不一定相等，不一定是相似图形；
④两个等边三角形，对应边的比、对应角的度数一定相等，是相似图形；
⑤两个直角三角形，锐角不一定相等，不一定是相似三角形；
⑥四个角对应相等的两个等腰梯形，对应边的比不一定相等，不一定是相似图形；
⑦有一个角为的两个菱形，边的比一定相等，且对应角一定对应相等，是相似图形；
∴有3个相似图形．
故选：C．
9．C
【分析】根据相似图形的定义判定即可．
【详解】解：两个图形相似，位置可以不同，大小可以不同，颜色可以不同，但是形状必须相同，
故选项C不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似图形的定义．相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形，如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似．
10．C
【详解】C　[解析]∵四边形EFGH∽四边形ABCD，∴相似比为=．
11．B
【分析】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．
【详解】解∶∵，，，，
∴，
则B选项不符合标准，
故选∶B．
12．D
【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【详解】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．
矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；
而两个正方形，对应角都是，对应边的比也都相等，故一定相似，C正确．
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
13．8
【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的对应边成比例，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：设第二矩形较长的边为：，则由题意，得：
，
∴；
故第二个矩形较长的一边长是8；
故答案为：8．
14．
【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答．
【详解】解：∵五边形五边形，
∴，，
又∵五边形的内角和为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等．
15．/0.75
【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似的性质得出，代入计算即可．
【详解】解：∵矩形与原矩形相似
∴
∴
即
则
∴
故答案为：．
16．
【分析】根据题意可得，矩形矩形，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
，矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．
根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
，
故答案为：．
18．
【分析】此题主要考查相似多边形相似比的性质，首先根据相似性，列出相似比的等式，即可得出，即可得解．
【详解】解：∵四边形与四边形相似，
∴，
又∵，，
∴
又∵，
∴，
∴
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出和的关系，从而可解答本题
【详解】（1）∵的平分线交于点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
∴．
同理，．
∴．
∵
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了靺的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键
20．(1)，
(2)
【分析】（1）根据相似多边形的性质进行求解即可；
（2）根据相似多边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形四边形．
∴，
∴，
∵，
∴相似比是，
故答案为：，；
（2）解：由（1）得，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）设矩形①的长为，宽为．根据矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，得到矩形②的长为，宽为，解方程即可得到结论；
（2）根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：设矩形①的长为，宽为．
矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，
矩形②的长为，宽为，
由图可知，，，
解得，，
矩形①的面积为；
（2）小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，
正方形的边长为，
设，，
，，
，
整理可得，
解得， 负数舍去，
，
小直角三角形的周长是．
每个小三角形的实际周长为．

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，二元一次方程组的应用，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可；
(2)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：作图如下：
【点睛】本题考查了作全等形和相似形，根据原图形，作出全等形是解决本题的关键．
23．，
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．根据相似多边形的性质求解即可得答案．
【详解】解：∵矩形矩形，且它们的相似比是，
，
∵，，
，
解得，．
24．与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可．
【详解】解：与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨．
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