广东省深圳外国语学校2024-2025学年九年级下学期第7次月考数学试卷(含答案)

广东省深圳外国语学校2025年 九年级 第7次月考数学测试卷（6月）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如题3图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程有实数解，则下列值中不能取（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形网格中，以格点为圆心画圆，使该圆经过格点，，并在圆弧上取点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．某班物理实验小组在测定水的沸点实验过程中，将常温中的温度计插入一杯的温水中，然后对水进行加热，如图所示．温度计的读数与时间（min）的关系用图象可近似表示为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．
B．对称轴为直线
C．关于的方程有两个不相等的实数根
D．
8．如图，在中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（ ）
A．保持不变 B．逐渐增大 C．先增大再减小 D．先减小再增大
二、填空题
9．因式分解： ．
10．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，则阴影部分的面积为 ．
11．某商场卫生间旋转门锁的局部图如左图所示，右图是其工作简化图．其中把手旋转支点到门边的距离．在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为．在关门过程中把手的最大旋转角为（把手底端到达处），则关门时把手底端运动的路径的长度是 ．
12．如图，矩形的顶点A，D的坐标为，，轴，若反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为 ．
13．在中，，是上一点，是延长线上一点，连接，使，当时，则的长为 ．
三、解答题
14．（1）计算：；
（2）如图，在中，平分为的中点．求证：．
小芳同学解题过程如下： 解：为BC的中点， ．（第一步） 平分, ．（第二步） 又, ．（第三步） ．（第四步）
①小芳同学解题过程中，出现错误的是第___________步；
②错误原因是___________．
15．某超市计划采购一批荔枝．现从甲和乙两个产地的荔枝中，各随机抽取10颗，测量单果质量，将测量的数据制成如下统计图：
统计量产地 平均数 中位数 众数
甲 25 b
乙 a 24
解答下列问题：
(1)填空：__________，__________；
(2)若从甲乙两个产地质量不低于27克的3个大果中任选两个，直接写出这两个大果克数相同的概率__________；
(3)你认为哪个产地荔枝的品质更好？请说明理由．
16．低空经济是培育新质生产力的重要方向，深圳市试点开放120米以下空域，允许无人机在指定航线飞行．美团外卖通过“5分钟起飞—10分钟送达”的高时效服务，在南山科技园、福田中心公园等地开展无人机送餐服务．
(1)经测，午高峰3小时内无人机送单数是人工送单数的两倍，且用无人机配送每单可节省15分钟，求午高峰3小时内无人机送单数是多少？
(2)某日午高峰3小时内订单总数为60单，根据实际情况无人机配送的单数不超过50单，但至少比人工配送多20单，若无人机实际成本为4元／单，但享受政府补贴元／单，人工配送成本为7元／单，如何安排配送服务使总成本最低？最低费用是多少？
17．如图1，是的直径，点在直线上，切于点．
(1)若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题：__________，并进行解答或证明．（使用部分条件且求解正确酌情给分，使用全部条件且求解正确得满分）
(2)如图2，请用尺规作出过点的另一条的切线．
18．学习了用数学方法测量物体的高度后，数学科代表带领小组成员进行了如下数学实践：
活动目的 测高方法的实践与应用
活动一 制作测角仪 制作方法：如图1，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物．在量角器的背面与线相对的位置安装一支杆，使用时把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线OM、铅垂线OG和刻度线ON重合（如图1），转动量角器，使量角器的直径AB对准观测目标（如图2），记下此时铅垂线所指的度数．
任务一：如图2，目标的仰角为，铅垂线所指的度数是，则__________（填“>”“<”或“=”），理由是__________．
活动二 实践与应用 ①测量底部可以到达的物体的高度 如图3，为了测量深圳莲花山邓小平铜像的高度，同学们进行了以下操作步骤： （1）测出铜像底座的高度米； （2）在测点处安置测角仪，测得头顶的仰角； （3）测出测点到铜像底部中心的距离米 （4）测角仪安装高度与底座同高．
任务二 请根据以上测量数据，求铜像顶部到地面的距离PH．（结果精确到0.1m．参考数据：）
②测量底部不可以到达的物体高度 如图4，深圳市园博园内的福塔是国内最高的石塔，其底部不可到达．为测塔顶端距地面的高度ST，同学们讨论后进行了以下测量操作： （1）在测点E处安置测角仪，测得此时顶端的仰角 （2）在测点与塔之间的处安置测角仪（E,F,T在同一条直线上，且E,F之间的距离可直接测得），测得此时顶端的仰角； （3）量出测角仪的高度，测得点E,F之间的距离．
任务三 请根据以上测量数据，求塔顶端距地面的高度ST．（参考数据：，）
总结 在学习与实践过程中，同学们总结到测量高度的方法有多种，如影子比例法、仰角测高法、两次观测法、坡度结合法等．
19．定义：在平面直角坐标系中，如果一个函数的图像关于直线（为常数）对称，我们称这个函数为“函数”．“函数”满足以下性质：
①若点在函数图像上，则点也在这个函数图像上；
②点与点称为一对对应点，对应点的连线段称为对称弦．
例如：函数的图像关于直线（轴）对称，则称它是“函数”，若在它的图像上，则也在它的图像上，线段为它的一条对称弦．
(1)在下列关于的函数中，是“函数”的是__________（填序号）；
①；②；③．
(2)若关于的函数（为常数）是“（2）函数”，则
①__________；
②请用描点法在平面直角坐标系下作出的图象．
第一步：列表如下：
0 2 4 6 8
8 6 4 2 0 2 4 6
第二步：请在平面直角坐标系下完成余下作图步骤，并描述函数的增减性___________；
③函数与为常数，相交于两点，在的左边，，求的值；
(3)已知关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，试判断该函数在内是否存在长度为3的对称弦？直接写出你的判断__________（填“存在”或“不存在”）．
20．【定义】如图1，在中，点在射线上，若满足，则称为的“等腰线”．
【探索】（1）如图2，为的“等腰线”，连接，若平分，则是什么特殊图形？试猜想并证明你的结论；
【应用】（2）如图3，若，是的“等腰线”，交直线于点，试在图3中用尺规作图画出点E、F，并求的长；
【拓展】（3）在中，．若是的“等腰线”，交直线于点，且，请直接写出__________．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B A C C D
1．C
【详解】解：从上面看到的是一个正方形及正方形的一个圆，选项C符合题意；
故选：C．
2．B
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．A
【详解】解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
∴不能取，
故选：．
4．B
【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接、，
，，
由网格可知，
，
.
故选：B．
5．A
【详解】解：设共有人，辆车，
由题意可得，，
故选：．
6．C
【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，然后对水进行加热，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件，
故选：C．
7．C
【详解】解：根据图形得：抛物线与y轴交于负半轴，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∵图象与轴相交于，两点，
∴对称轴为直线，故B选项错误，不符合题意；
∵抛物线开口向上，且顶点坐标位于y轴的下方，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，故C选项错误，符合题意；
∵对称轴为直线，
∴，即，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
8．D
【详解】解：∵是的中点，是的中点，
∴，
∵的值先减小再增加，
∴的值先减小再增加．
故选：D．
9．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．/
【详解】解：根据题意可知，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
11．
【详解】解：由题意知：，
设，则，
在中，，，
由勾股定理得，
解得：
∴的长度
故答案为：．
12．5
【详解】解：如图，作轴，垂足为F，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是矩形，
∴，
∵反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，
∴．
故答案为：5．
13．
【详解】解：如图，过点作，交于点，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（1）；（2）①三；②两组对应边相等且一组对应边的对角相等的两个三角形不一定全等
【详解】解：（1）
（2）①解：根据全等三角形的判定不能推导出，
因此出现错误的是第三步，
故答案为：三；
②错误的原因是有两组对应边相等且一组对应边的对角相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：两组对应边相等且一组对应边的对角相等的两个三角形不一定全等．
15．(1)25，25；
(2)
(3)甲产地的荔枝的品质更好，理由见解析
【详解】（1）解：把乙产地的10个荔枝的单果质量从小到大排列，排在中间的两个数分别是25，25，故中位数；
甲产地的10个荔枝的单果质量中，25出现的次数最多，故众数．
故答案为：25，25；
（2）从图中可得，不低于27克的3个大果分别为，
列表如下：
27 27 28
27
27
28
共有6种等可能结果，其中这两个大果克数相同的结果有2种，
∴这两个大果克数相同的概率为，
故答案为：
（3）解：甲产地的荔枝的品质更好，理由如下：
观察两个统计图，甲产地的10个荔枝的单果质量比较集中，
可以判断甲产地的荔枝更为匀称，品质更好．
16．(1)午高峰3小时内无人机送单数是单．
(2)安排无人机配送单，人工配送单，配送费用最低为元．
【详解】（1）解：设人工送单数为单，则无人机送单数是单，则
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根且符合题意；
∴，
∴午高峰3小时内无人机送单数是单．
（2）解：设无人机配送单，人工配送单，则，
∴即，
解得：，
设总的成本为元，则
∴，
而，
∴当时，总成本最低为（元）；
∴安排无人机配送单，人工配送单，配送费用最低为元．
17．(1)见解析；
(2)见解析
【详解】（1）解：问题：求的长；
解答如下：∵是的直径，切于点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（2）解：如图所示，以点C为圆心，的长为半径画弧交于F，则直线即为所求；
可证明，则．
18．任务一：，同角的余角相等；任务二：；任务三：
【详解】任务一：解：∵，，
∴，，
∴（同角的余角相等），
故答案为：，同角的余角相等；
任务二：∵测角仪安装高度与底座同高，
∴，
又，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴（）．
任务三：与（任务二）同理可证明：四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
19．(1)②③
(2)①2；②见解析；③；
(3)不存在，见解析
【详解】（1）解：①，
找不到图象关于直线（为常数）对称，不是“函数”；
②
关于直线（轴）对称，是“函数”；
③，对称轴为，
关于直线对称，是“函数”；
故答案为：②③；
（2）①∵关于的函数（为常数）是“（2）函数”，
∴函数关于对称，
∴，
故答案为：2；
②函数图象如图所示：
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
③由①得，
设与x轴交于C点，与y轴交于D点，
当时，，当时，，
∴，
作轴交于M点，轴交于N点，
由图得：，
由对称性可知，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，
∴关于对称，
∴，
解得：，
∴抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标满足，
∵长度为3的对称弦，
∴，
设对称点为，，
∴，
解得：或，
当时，，不符合题意；
，不符合题意；
∴该函数在内不存在长度为3的对称弦，
故答案为：不存在．
20．（1）是菱形，证明见解析；（2）画图见解析，；（3）．
【详解】（1）∵为的“等腰线”，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）如图所示，过点A作于点G，
∵在中，，
∴设，，，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．