2025-2026学年北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 探索勾股定理 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理（1）
　
左图的会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.
探究活动一：
观察下面地砖示意图：
探索发现勾股定理
观察这三个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？
第1课时 探索勾股定理（1）
换个角度来看呢？
　　 两个紫色小正方形的面积的和等于一个蓝色正方形的面积.
你发现了什么？
　　结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
探究活动二
观察右边两幅图：
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
？
怎样计算正方形C的面积呢？
9
16
9
“割”
“补”
“拼”
方法一：
方法二：
方法三：
分割为四个直角三角形和一个小正方形
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形
几何图形面积的计算方法
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
　　结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
　 （1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？　
a
b
c
a
b
c
　 （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
　 （3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
动手实践
　　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b，和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理）
数学小史
数学小史
三、简单应用
如图，一棵大树在一次强烈台风中于离地面6m处折断倒下，树顶落在离树根8m处. 大树在折断之前高多少米？
大树的高度h=6+10=16（m）.
这是为什么呢？
生活中的应用：
　　小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了. 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
　1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
　2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流.
第1课时 探索勾股定理（1）
知识：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b，和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
方法：1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
2. “割、补、拼、接”法.
思想：1. 特殊—一般—特殊；
2. 数形结合思想.
(2)(北师八上P17)如图，在△ABC中，∠A＝90°，
则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为　 　．
1．(1)如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的面积为25，则正方形A，B的面积的和为　 　．
　S1＝S2＋S3　
　25　
第(1)题图
第(2)题图
课后练习
小结：在勾股定理的使用中须牢记1~25的平方数.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)若a＝3，b＝4，则c＝　 　；
(2)若b＝8，c＝10，则a＝　 　；
(3)若a＝5，b＝12，则c＝　 　．
　13　
　6　
　5　
3．(北师八上P2、人教八下P28改编)如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要钢索的长度是　 　m．
　10　
4． (北师八上P3改编)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为　 　．
　64 　
5．(北师八上P4、人教八下P24)(2024惠州一模)如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形 A，B，C，D的边长分别是3，4，1，2，则最大正方形E的面积为　 　．
　30　
6．【例2】在△ABC中，∠C＝90°．
(1)若a＝7，b＝24，则c＝　 　；
(2)若a＝9，c＝15，则b＝　 　．
　12　
　25 　
7．在△ABC中，∠C＝90°．
(1)若a＝6，c＝10，则b＝　 　；
(2)若b＝5，c＝13，则a＝　 　．
　12　
　8 　
8．如图，一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，求云梯可以达到该建筑物的最大高度．
解：如图，AB＝13米，BC＝5米，∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2，
即 132＝AC2＋52，所以AC＝12米．
答：云梯可以达到该建筑物的最大高度为12米．
答案图
9．如图，BC长为 3 cm，AB长为 4 cm，AF长为 12 cm．求正方形CDEF的面积．
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝25，∴AC＝5 cm．
在Rt△FAC中，∠FAC＝90°，
∴FC2＝FA2＋AC2＝122＋52＝169．
∴S正方形CDEF＝FC2＝169 cm2．
因为AC＝BC＝5 cm，AB＝6 cm，所以AD＝3 cm．
所以CD2＝AC2－AD2＝52－32＝16．
所以CD＝4 cm．
所以S△ABC＝AB·CD＝×6×4＝12(cm2)．
因此等腰三角形ABC的面积是12 cm2．
10． (核心教材母题：北师八上P4、人教八下P27)如图，求等腰三角形ABC的面积．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
答案图
★11． 0.55 如图，河岸上A，B两点相距 25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝10 km，CB＝15 km，现在AB上建一个水泵站E，使得C，D两村到E站的距离相等．求E站应建在距A点多远处．
解：设AE＝x km，则BE＝(25－x)km．
∵C，D两村到E站的距离相等，
∴DE＝CE，即DE2＝CE2．
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴△ADE和△CBE都是直角三角形．
由勾股定理，得 102＋x2＝152＋(25－x)2，解得 x＝15．
故E站应建在距A点15 km处．
备注：每课时带★的题目为提高题.（难度系数越小，题目越难）
THANK YOU