1.3 勾股定理的应用 课件(共27张PPT) 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

(共27张PPT)
第一章 勾股定理
1.3 勾股定理的应用
3 勾股定理的应用
小明是班里的游泳高手，为了显示自己的实力，他决定要横渡一条宽120米的小河，准备从A点出发游到对岸的B点，可是由于水流原因，游到了距离B点50米的C点。你能帮小明算一算，他实际游了多少米吗？
A
B
C
A
B
C
120米
50米
？
我怎么走
会最近呢
有一个棱柱,它的高等于12cm,底面边长等于2.5cm,在棱柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着需要爬行的最短路程是多少
A
C
D
B
G
F
H
3 勾股定理的应用
高
12cm
B
A
5cm
因为 AB2=52+122=25+144=169= ，
所以 AB=13cm，
故蚂蚁爬行的最短路程是13cm.
132
A
C
D
B
G
F
H
做一做
小明想要检测雕塑底座正面的 AD 边和BC边是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺.
(1) 你能替小明想办法完成任务吗
(2) 小明量得AD长是30cm,边AB长是40cm,
点B,D之间的长是50cm,边AD垂直于AB边吗
(3) 小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺,他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗 边BC与边AB呢
例1 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解：隧道的横截面如图所示，AB的中点O是隧道的截面半圆的圆心。
OB=1.5m，BC=3.6m，∠ABC为直角
在Rt△OBC中，由勾股定理，得
隧道的截面半径r=4.2m，4.2×4.2=17.64>15.21
故卡车可以沿着该隧道中间顺利通过。
例2 如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m,宽3m的卡车能通过该隧道吗
1.今早7：00，我从家出发，以100m/min的速度向西走5min，又以120m/min的速度向南走10min到达学校。
（1）早上一共走了多少路程？
学校
家
路口
500m
1200m
500+ 1200=1700(m)
北
A
C
B
北
500
1200
（2）家到学校的距离是多少？
解：由勾股定理,得
AC2=AB2+BC2
=5002+12002
=1690000
因为AC>0,所以AC=1300m.
2.如图，一座城墙高11.7m，墙外有一个宽为9m的护城河，那么一个长为15m的云梯能否到达墙的顶端？
3.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8:00.甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远
东
北
甲
乙
试一试
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
5尺
1尺
x 尺
x2 + 52 = (x+1)2
x = 12
水池
1.有一只蚂蚁从一个矩形的顶点A 沿表面爬到顶点C，如果底面是一个边长为4厘米的正方形，高为6厘米，则蚂蚁所爬的最短路径是多少厘米？
A
C
拓展练习
2.在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，问：这棵树有多高？
.
D
B
C
A
1、根据题意正确画出图形（曲面最短路线问题画侧面展开图）.
2、弄清题中直角三角形及线段关系.
3、根据勾股定理求未知量,或恰当设未知量，建立方程来求解.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
3 勾股定理的应用
1．(1)(北师八上P13、人教八下P39)如图，一圆柱高为 8 cm，底面周长为 30 cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点 A 爬到点 B的最短路程是( )
A．15 cm　
B．17 cm　
C．18 cm　
D．30 cm
B
课后练习
(2)如图，长方体的高为 3 cm，底面是正方形，边长为 2 cm，现使一绳子从点 A 出发，沿长方体表面到达 B 处，则绳子长度最短是　 　cm．
　 5　
2．(北师八上P18改编、人教八下P25)如图，一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24米．如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么此时梯子的底部B到墙的距离为多少米？
小结：滑动前后梯子的长度不变是解题关键.
解：在Rt△COD中，CD＝AB＝25米，
CO＝AO－AC＝24－4＝20(米)，
∴DO2＝CD2－CO2＝252－202＝225，
∴DO＝15米．
∴梯子的底部B到墙的距离为15米．
(1)　 　　 (2)　 　　 (3)_________　 　
　8π cm2　
　51 cm2　　
3． (北师八上P14)求阴影部分的面积(阴影部分分别是正方形、长方形、半圆)：
　25 cm2　　
4．(2024佛山月考)如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了　 　米，却踩伤了花草．
　2 　
5． (北师八上P13)如图是一个滑梯示意图，若将滑梯 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长，已知滑梯的高度 CE＝3 m，CD＝1 m，求滑道 AC 的长．
解：设AC的长为x m，
∵AC＝AB，∴AB＝AC＝x m．
∵EB＝CD＝1 m，∴AE＝(x－1)m．
在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，
即x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5．
∴滑道AC的长为5 m．
小结：方程思想的运用.
6．如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A＝53°，∠B＝37°，AB＝5 km，BC＝4 km，若每天凿 0.3 km，需要几天才能把隧道AC凿通？
解：∵∠A＝53°，∠B＝37°，∴∠C＝90°．
又∵在Rt△ABC中，
AC2＝AB2－BC2＝52－42＝9，∴AC＝3 km．
∴需要的时间t＝＝10(天)．
答：需要10天才能把隧道AC凿通．
7．如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知A，B为两停靠站，且CA＝500米，CB＝1 200米，CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入，问在进行爆破时，AB段公路是否有危险？是否需要暂时封锁？
解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：
过C作CD⊥AB于D，∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°．
∵BC＝1 200 米，AC＝500 米，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝1 3002，
∴AB＝1 300 米．
∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，
∴CD＝(米)，
由于400米＜米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
小结：利用直角三角形面积的两种表示方法可建立等式.
★8． 0.50 (2023深圳期末)如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应我市创建全国文明典范城市的号召，小区计划在这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD，DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB＝15米，AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米．
(1)求BD的长；
(2)求小路DE的长．
解：(1)∵AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米，
∴AC2＝169，AD2＋CD2＝144＋25＝169，
∴AC2＝AD2＋CD2，∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD2＝AB2－AD2＝81，∴BD＝9米．
(2)∵S△ABD＝AD·BD＝AB·DE，
∴AD·BD＝AB·DE，
∴12×9＝15DE，
∴DE＝米．
THANK YOU