河南省天立教育2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

河南省河南省天立教育2025-2026学年八年级上学期开学数学试题
一、单选题
1．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知，下列图形中，能确定的是（ ）
A． B． C． D．
3．符号■，●各代表一个数字，且满足以下两个等式：■-●-1=0，，则满足等式中k的值为（ ）
A．50.4 B．40.4 C．30.4 D．20.4
4．已知 ，将线段 平移至，若，，则 的值为（ ）
A． B． C．6 D．9
5．二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题是假命题的是（　　）
①对顶角相等，②直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
7．在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别是，，平移后得到线段，A点的对应点坐标，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．数学文化《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位，书中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何 ”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长，井深各是多少尺 ”设绳长x尺，井深y尺，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．把一些书分给若干名同学，若______；若每人分11本，则不够，依题意，设有x名同学，列不等式．则根线上的信息可以是（ ）
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
10．如图，，，则、、之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
12．一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，．
13．当 时，不等式恒成立．
14．我们用符号表示一个不大于实数的最大整数，如：，，则按这个规律 ．
15．如图，∠B＝∠C，∠A＝∠D，有下列结论：①ABCD；②AEDF；③AE⊥BC；④∠AMC＝∠BND．其中正确的有 ．（只填序号）
三、解答题
16．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，点P、A、B、C、D、E、F是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．
(1)在图①中，过点P画出AB的平行线，过P点画出表示点P到直线AB距离的垂线段；
(2)在图②中，通过平移使线段AB、CD、EF三条线段围成一个三角形（三个顶点均在格点上），请在图②中画出一个这样的三角形，并求出所画三角形的面积．
17．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图，
各年级参赛作文篇数统计图
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）参赛作文的篇数共 篇：
（2）图中： ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 ；
（3）把条形统计图补充完整：
（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．
18．解方程组．
(1)
(2)
19．甲、乙两个书法社团共有92名学生参加书法比赛，组委会要求个人自备比赛用具，下面是某网店给出的比赛用具价格，已知两个社团分别单独购买比赛用具，一共应付3900元．
购买比赛用具的套数 套 套 91套及以上
每套比赛用具的价格 50元 40元 30元
（特别提醒：甲社团人数多于乙社团人数，且甲社团人数不到90名）
(1)若甲、乙社团联合购买比赛用具，则比各自购买比赛用具共可以节省多少元？
(2)仅根据特别提醒可知，甲社团最低有_____人；最高有_____人；
(3)甲、乙社团各有多少名学生参加比赛？（列方程求解）．
20．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数？（用含α的代数式表示）
(3)从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD的关系为__________．
21．如图，在平面直角坐标系中，，，且m，n满足，P是线段上的动点（不与A，B重合），设P点的横坐标为t，的面积为S．
(1)求S与t的关系式；
(2)当时，过P作交的外角平分线于点M，求点M坐标．
22．如图1，2，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即，．
[思考]（1）分别猜想图1，图2中与的数量关系，并给予证明；
[表达]（2）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的关系为________；
[应用]（3）若的两边与的两边分别平行，且，，直接写出的值．
23．夏季即将来临，某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，销售2台A种型号的电风扇与4台B种型号的电风扇的销售额为1000元，销售4台A种型号的电风扇与3台B种型号的电风扇的销售额为1250元．
(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；
(2)若A、B两种型号电风扇的进价分别为160元、120元，电器超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台．
①求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
②超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
参考答案
1．A
解：，
①②得：，
，
将代入①得：，
，
，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
解得：．
故选：．
2．B
解：A选项：和是直线、被直线所截形成的同位角，当时，根据同位角相等，两直线平行可证，不能证明，故A选项不符合题意；
B选项：和是直线、被直线所截形成的内错角，当时，根据内错角相等，两直线平行可证，故B选项符合题意；
C选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故C选项不符合题意；
D选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故D选项不符合题意．
故选：B ．
3．D
解：设■=x，●=y，代入不等式，得
，解得：,
则■=10, ●=9,
把■=10, ●=9代入，得
，解得：k=20.4，
故选：D．
4．D
解：由题可得，
解得：，
∴，
故选：D．
5．B
解：，
由得：
解得：
把代入①得，
解得：
∴方程组的解为：．
故选：B．
6．B
解：对顶角相等，故①是真命题；
直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故④是假命题；
所以假命题有②③④，
故选：B．
7．B
由的对应点是，
∴平移的方式为：向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
∴的对应点；
故答案选B．
8．B
解：设绳长x尺，井深y尺，
根据题意列方程组：
故选：B．
9．A
解：由不等式可得，把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分9个人； 若每人分11本，则不够，
故选：A．
10．C
解：作，，如图所示；
，
，
，
，
，
，
，
则；
故选：C
11．
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集为，
∴．
故答案为：．
12．或
解：由题意得，，
如图，
当时，可得；
②如图，
当时，可得，
则．
故答案为：或；
13．6
解：
∵不等式恒成立，
，
∴，
解得，
故答案为：．
14．
∴不大于的最大整数值是，
∴.
故答案为：．
15．①②④
解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC，
又∵∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠D，
∴AE∥DF，
∴∠AMC＝∠FNM，
又∵∠BND＝∠FNM，
∴∠AMC＝∠BND，
故①②④正确，
由条件不能得出∠AMC＝90°，故③不一定正确；
故答案为：①②④．
16．(1)见解析
(2)见解析，所画三角形的面积为4
（1）解：如图①，PC，PD即为所求；
（2）如图②，三角形ABG即为所求；
三角形ABG的面积=3×4-×2×4-×1×2 ×2×3=4．
17．（1）100篇；（2），；（3）见解析；（4）．
解：（1）
参赛作文的篇数共100篇；
（2）八年级的篇数为：篇
，
扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为
（3）由（2）知，八年级的篇数为45篇，补全条形图如图所示：
（4）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．
列表如下：
A B C D
A AB AC AD
B AB BC BD
C AC BC CD
D AD BD CD
由表格可知，共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖作文被选登在校刊上的有6种结果，
∴七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率为．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
由可得：，
解得，
将代入①可得：，
解得，
∴原二元一次方程组的解为；
（2）解：，
由可得：，
解得，
将代入①可得，
解得，
∴原方程组的解为 ．
19．(1)
(2)，
(3)，
（1）解：由题意得：（元），
答：若甲、乙社团联合购买比赛用具，则比各自购买比赛用具共可以节省元；
（2）解：设甲社团人数为，则乙社团人数为，
根据特别提醒“甲社团人数多于乙社团人数，且甲社团人数不到90名”可知：
，且，
解得：，
甲社团最低有人，最高有人，
故答案为：，；
（3）解：由（2）可知：甲社团最低有人，最高有人，则乙社团最低有人，最高有人，
甲社团单独购买每套元，乙社团单独购买每套元，
设甲社团人数为，则乙社团人数为，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲社团有名学生参加比赛，乙社团有名学生参加比赛．
20．(1)20°
(2)
(3)∠AOE=2∠BOD
（1）∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=40°，
∴∠AOF=140°；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=70°，
∴∠EOD=∠FOC=70°．
∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=50°，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=20°；
（2）∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=α，
∴∠AOF=180°-α；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=90°-α，
∴∠EOD=∠FOC=90°-α．
∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=α；
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．
故答案为：∠AOE=2∠BOD．
21．(1)
(2)
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
过P作于H，则，
∴，
即S与t的关系式为．
（2）解：作于D，作于C，连接，，过O作于，
∵，，
∴，
∴P为中点，则，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
设，
∴，即，
∴，
∴．
22．（1）图①：，图②：，证明见详解；
（2）相等或互补；
（3）或
解：（1）如图①，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图②，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的关系为相等或互补．
故答案为：相等或互补；
（3）∵，，
若的两边与的两边分别平行，
则当与相等时，可有，解得；
当与互补时，可有，解得．
综上所述，的值为或．
23．(1)A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元；
(2)①A种型号的电风扇最多能采购台；②采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台，或采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台，能实现利润超过1850元的目标．
（1）解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元，
由题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元，元；
（2）①解：设A种型号的电风扇采购台，则B种型号的电风扇采购台，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号的电风扇最多能采购台；
②由题意得：，
解得：，
由（2）可知，，且为正整数，
的取值为或36，
台或台，
即采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台，或采购A种型号的电风扇台，B种型号的电风扇台，能实现利润超过1850元的目标．