河南省天立教育2026届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

河南省河南省天立教育2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
一、单选题
1．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点
2．数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　）
A．小明和小红正确，小刚错误 B．小红和小刚正确，小明错误
C．小明和小刚错误，小红正确 D．小明和小红错误，小刚正确
3．已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　)
A．2 B． C．3 D．4
4．规定表示不大于的最大整数，例如，，．那么函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知：平行四边形的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点
③画射线，交于点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（ ）
A．7 B．16 C．25 D．81
7．如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么面积的与点运动的路程之间的函数图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线经过一、二、三象限，若点（0，），（-1，），（，-1）都在直线上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．在中．是上一点，平分，且是的中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②④
10．如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ．
12．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ．
13．在四边形中，，给出下列4组条件：①，②，③，④．其中，不能得到“四边形是平行四边形”的条件是 ．（只填序号）
14．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的6名同学捐书册数分别是：5，7，x，8，4，6．已知他们平均每人捐6本，则这组数据的中位数是 ．
15．矩形中，，是的中点，点在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为 ．
三、解答题
16．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象．

(1)求B、C两地之间的距离；
(2)什么时候乙追上甲；
(3)当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间．
17．如图，在中，，，E，F分别为，的中点，过点B作的平行线与的延长线交于点D，连接，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求四边形的面积．
18．小明对菱形的作法非常感兴趣，他根据所学的知识，利用直尺和圆规，在内分别以，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，于点，，快速地作出一个菱形，如图（）所示，根据小明的尺规作图过程，解决下列问题．
(1)小明用到的作图依据是（ ）
．一组对边平行且相等的四边形是菱形
．两组对边分别相等的四边形是菱形
．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(2)请在图（）内运用另一种尺规作图的方法作出菱形，并证明你的结论．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求BC的长；
（2）若∠CBE＝36°，求∠ADC．

20．某学校计划组织452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有型和型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示．
A型客车 B型客车
载客量/（人辆） 45 26
租金/（元/辆） 400 240
经测算，租用型和型客车共13辆较为合理．设租用型客车辆．
(1)用含的代数式填写下表．
车量数/辆 载客量/人 租金/元
A型客车
B型客车
(2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD．
22．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，对角线的中点，对角线BD平分．
(1)求证：四边形BEDF为菱形；
(2)若AG//DB交CB的延长线于G，求证：四边形AGBD为矩形．
23．皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎．某经销商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共100瓶，已知购进10瓶“伏陈醋”和20瓶“小磨香油”共需620元，购进30瓶“伏陈醋”和40瓶“小磨香油”共需1360元．
(1)每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？
(2)结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？
参考答案
1．D
解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意．
故选：D．
2．D
解：∵菱形，
∴，，，
∴，，
由作图可得：，
∴，
∴四边形为菱形；为等边三角形，
∴，
∴，
∴小明认为：只有当时，四边形是菱形；说法错误；
小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，说法正确；
当时，而，
∴四边形不是正方形，
小红认为：当时，四边形是正方形，说法错误；
故选D
3．D
解：如图
四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，菱形的周长为，
∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD，
∴AO+BO=3，
∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，
即AO2+BO2=5，AO2+2AO BO+BO2=9，
∴2AO BO=4，
∴菱形的面积=AC BD=2AO BO=4；
故选：D．
4．A
解：由已知得：当0≤x＜1时，y=[x]=0，
当1≤x＜2时，y=[x]=1，
当2≤x＜3时，y=[x]=2，
当-1≤x＜0时，y=[x]=-1，
当-2≤x＜-1时，y=[x]=-2，
……
由以上可得A选项符合题意，
故选：A．
5．A
解：交轴于点，如图，
由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
∴，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
在中，，
解得，
点坐标为．
故选：A．
6．D
解：最简二次根式与可以合并，
，
解得：，
∴
故选：D．
7．B
解：当点在线段上运动时，
∵，线段的长度将随着点沿路线运动的过程中而增大，
∴的面积随点的增大而增大，
当点与点重合时，
∵，，
∴，
当点在线段上运动时，的底边，边上的高的长是，
∴，
即此时的面积为定值，不随点的变化而变化，
∴符合题意的是B选项所表示的图像．
故选：B．
8．D
解：根据直线l经过第一、二、三象限且过点（-2，3），所以y随x的增大而增大．
因为-2<-1<0，所以3又因点（c，-1）在直线l上，所以c<-2．
故选D．
9．C
解：延长AD，交FE的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEM和△CEF中，
，
∴△DEM≌△CEF（AAS），
∴EM＝EF，
∵AE平分∠FAD，
∴AM＝AF，AE⊥EF．
即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，④正确，②错误．
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故①错误．
故选：C．
10．C
解：连接、两点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的边上的高与的边上的高相等，的边上的高与的边上的高相等，
∴，，
∴，即，
，即，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C．
11．
解：如图，连接AE，
∵点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，
∴BE=1，
∴AE=．
故答案为：．
12．2．
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴x2﹣2＝2x﹣2，
解得：x1＝0，x2＝2，
当x＝0时与是无意义，
所以x＝0舍去，
故答案为：2.
13．②
①，则一组对边平行且相等，可得到四边形是平行四边形，不符合题意；
②，无法得到四边形是平行四边形，符合题意；
③，两组对边分别平行，可得到四边形是平行四边形，不符合题意；
④，则此两角都是的补角，而与为同旁内角互补，可推出，两组对边分别平行，可得到四边形是平行四边形，不符合题意；
故答案为：②
14．6
由题意可得：＝6，可知：x＝6，将该数据从小到大排列得：4,5,6,6,7,8，故中位数为＝6，故答案为6.
15．或
解：如图①，
与关于直线对称，
，
四边形是矩形，
，
，
；
如图②，
与关于直线对称，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
则的长为或．
故答案为：或．
16．(1)60千米
(2)出发后4.5小时
(3)或3.5或小时
（1）乙前面的速度为：（千米/小时），
乙后来的速度为：（千米/小时），
（千米），
答：B、C两地之间的距离为60千米；
（2）甲的速度为：（千米/小时），
设乙t小时追上甲，
根据题意得，
解得，
答：出发后4.5小时乙追上甲；
（3）当时，两车距离小于40，
①当时，
设甲距离A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式为，
代入可得，
，
，解得；
②当时，
由（1）可得，A、B两地之间的距离为：，
设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为，
代入和
得，
解得，
，
解方程得（不合题意，舍去），
解方程得；
③当时，
解方程得．
答：当两车相距40千米时，甲车行驶了或3.5或小时．
17．(1)见解析；
(2)四边形的面积为．
（1）证明：∵，
∴，
∵为中点，
∴，
在和中
∴（ASA），
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵为中点，为中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵，E，F分别为，的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∵，，
∴，，
∴四边形的面积为：
．
即：四边形的面积为．
18．(1)C；
(2)作图、证明见解析．
（1）解：根据作图，，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
用到的作图依据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是萎形，
故选：C；
（2）解：连接，作的中垂线交于，则四边形是菱形，
理由：由作图可知：，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
19．（1）BC＝10；（2）126°．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝10，
∴BC＝10；
（2）∵CE＝6，BE＝8，BC＝10，
∴CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CBE＝90°﹣36°＝54°，
∵AD∥BC，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣54°＝126°．
20．(1)；
(2)租型车6辆、型车7辆时，总的租车费用最低，最低为4080元
（1）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆，
型车的载客量，租金为．
故答案为：；．
（2）设租车的总费用为元，则有：．
由已知得：，
解得：．
在中，
当时，取最小值，最小值为4080元．
故租型车6辆、型车7辆时，总的租车费用最低，最低为4080元．
21．见解析
过点D作DF∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，∠DFC=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠DFC=∠C，
∴DF=DC，
∴AB=CD．
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，ABCD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=EB，DFEB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DB平分∠EDF，
∴∠EDB=∠FDB，
∵DFEB，
∴∠FDB=∠EBD，
∴DE=BE，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
（2）证明：连接EF交BD于点O，
∵四边形DEBF是菱形，
∴EF⊥DB，OD=OB，
又∵E为AB的中点，
∴OEAD，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵ADBG，AGBD，
∴四边形AGBD为平行四边形，
∵∠ADB=90°，
∴四边形AGBD为矩形．
23．(1)每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元
(2)购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是1980元
（1）设每瓶“伏陈醋”的进价是元，每瓶“小磨香油”的进价是元，
根据题意得：，
解得，
每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元；
（2）设购进“伏陈醋” 瓶，则购进“小磨香油” 瓶，
购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，
，
解得：，
设他所花费用为元，
根据题意得，
，
随增大而减小，
当时，取最小值（元，
此时，
购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是1980元．