深圳市福田区华富中学2025届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

广东省深圳市福田区华富中学2024-2025学年九年级
上学期开学考试数学试题
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
2．已知，下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．等腰三角形的一个角是，它的底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．下列命题中，假命题的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
6．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．已知，中，，，为边上的中线，若是线段上任意一点，，交直线于点．为的中点，连接并延长交直线于点．若，，则的长为(　　)

A． B． C． D．
二、填空题
9．因式分解： ．
10．如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是 .

11．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
12．如图，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则面积是 ．

13．如图在中，，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ．
三、解答题
14．计算
(1)解不等式组：．
(2)解分式方程：
15．化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
16．如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形），和关于点成中心对称．

(1)画出对称中心，并写出点的坐标；
(2)画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；
(3)画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
17．在中，，、分别是、的中点，使，连接、、、．

(1)试说明与互相平分；
(2)若，，求的长．
18．某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
(1)问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
19．定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．
(1)分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)；
(2)求分式的“等和积分式”；
(3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ；
②用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值．
20．【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是　　　　　（填序号即可）．
①；②：③四边形的面积总等于；④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．B
5．D
6．C
7．B
8．B
9．
10．x>2
11．20°
12．18
13．/104度
14．（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
∴是原分式方程的解．
15．解：原式
∵
∴或3
当时，原式.
16．（1）D点坐标

（2）如图，画出；
（3）如图，画出．
17．（1）证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
且．
又，即，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分；
（2）在中，，，，
由勾股定理得
又由知，，且，
，
在中，，，，
由勾股定理得．
18．（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，
依题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
19．（1）解：，
分式与分式是“等和积分式”，
故答案为：是；
（2）解：设分式的“等和积分式”为A，则，
，
，
即分式的“等和积分式”为；
（3）解：①分式的“等和积分式”为，理由如下：
设分式的“等和积分式”为M，则，
，
；
②由规律可得的“等和积分式”为，
与互为“等和积分式”，
，
由得：，
将代入，得：，
解得，
．
20．解：（1）如图1中，连接．
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴O故②正确，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④；
（2），理由如下：
连接，
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，
∴；
（3）设，
①当E在之间时，
，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
，
解得：，
；
②当E在延长线上时，
同理可论：，
设，则，
即：，
解得：，
∴，
综上所述：或．