深圳市红桂中学等学校2025届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

广东省深圳市红桂中学等校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A． B． C．1，2，2 D．2，3，5
4．将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（ ）
A．3 B． C．9 D．
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．如图，在平行四边形中，平分交于点E，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
8．如图，在等边中，以A为直角顶点作等腰直角，分别交、于点E、F，N为线段上一动点，M为线段上一动点，且，以下4个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．分解因式： ．
10．若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ．
11．若，，则的值为 ．
12．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．

13．已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时， ．
三、解答题
14．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
15．化简求值：先化简，再从，中选择一个合适的数代入并求值．
16．某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间的情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查．在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：．对各班班长进行调查；．对某班的全体学生进行调查；．从全校每班随机抽取名学生进行调查，在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会将收集到的数据整理后绘制成如下的条形统计图．
(1)为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案______．（填，或）
(2)被调查的学生每天做作业所用时间的众数为______小时．
(3)根据以上统计结果，估计该校名学生中每天做作业用小时的人数．
17．某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍
(1)求年每辆车的销售价格
(2)若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？
18．如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使，连接与交于点O．

(1)试说明与互相平分；
(2)若，求的长．
19．【定义】对于没有公共点的两个图形，，点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，把、两点之间的距离的最小值称为图形与图形的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，若点，的坐标分别为，，点是边上任意一点．
（1）当点在边上时，的最小值是______，因此[点，线段]＝______；
（2）当点在任意边上时，的最小值是______，因此[点，]＝______；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，平分，点，的坐标分别为，，点是对角线上与点，，不重合的一点，点是对角线上与点，，不重合的一点．
（3）当[线段，]时，则的取值范围为______；
（4）当时，______（结果用含的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，请直接写出所需彩绳的长度．

20．综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转适当的角度得到，连接对应点，和，交于点．
(1)如图1，当点落在边上时，证明：；
(2)如图2，当点不落在边上时，，交于点，请探究是否还成立？写出探究过程；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，时，若，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C B C B A
9．
10．
11．6
12．6
13．/120度
14．解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴此不等式组的解集为：
解集在数轴上表示为：
15．解：原式
；
，
，
当时，原式．
16.（1）解：为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案C；
（2）众数是：1.5小时；
（3）（人）．
则估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数是304人．
17．（1）根据题意，设年每辆车的销售价格为万元，列方程可得：
；
解得：
答：年每辆车的销售价格为万元．
（2）解：设定价至少要万元；根据题意列不等式，
解得：，
答：为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于万元．
18．（1）解：∵E，F分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的长为．
19．（1）∵，，四边形是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边上时，即时
∴ 的最小值是，因此[点，线段]=，
故答案为：；
（2）∵ ，，四边形 是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边任意边上时，即或时，
∴的最小值是，因此[点， ]=，
故答案为：；
（3）如图，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分和，
∴线段到四边形的距离为， [线段，]=，
∴，解得：或，
故答案为：或，
（4）由（3）得：四边形是菱形，过作于点，交于点，作于点，如图，则有，

∴，
∴，
故答案为：，
（4）由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，则如下图，

则所需彩绳的长度为：．
20．（1）证明：根据题意，把绕点逆时针旋转适当的角度得到，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如下图，过点作交的延长线于点，连接，
∴，
∵由旋转可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
（3）连接，如下图，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴可设，，
则，，，，
∴，
∵
∴，
∴，
由（2）知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，可有，
即，解得，
∴．