江苏省镇江第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·镇江期末）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．（2025高二下·镇江期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·镇江期末）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2025高二下·镇江期末）已知数据，，…，的平均数为，标准差为，则数据，，…，的平均数和标准差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．（2025高二下·镇江期末）若函数满足，则的值为( )
A．3 B．1 C．0 D．－1
6．（2025高二下·镇江期末）已知，，，若共面，则实数（ ）
A． B．3 C．1 D．
7．（2025高二下·镇江期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高二下·镇江期末）已知实数、、，满足，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分．
9．（2025高二下·镇江期末）下列命题中正确的是（ ）
A．数据的第25百分位数是1
B．若事件的概率满足且，则相互独立
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，则
10．（2025高二下·镇江期末）已知，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．，，，…，这8个数中最大
11．（2025高二下·镇江期末）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ）
A．当时，有且仅有一点P满足；
B．若与平面所成角的大小为，则的最大值为；
C．当时，满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等的点P有两个；
D．E、F分别为的中点，若存在，使成立，则点P的轨迹长度为．
三、填空题（本大题共3小题，共15分．第14题，第一空2分，第二空3分．）
12．（2025高二下·镇江期末）已知x，y的取值如表：若x，y具有线性相关关系，且回归方程为，则 .
0 1 3 4
4.3 4.8 6.7
13．（2025高二下·镇江期末）随机变量，相互独立，且，，则 .
14．（2025高二下·镇江期末）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且集合A中的元素任意两个之积皆为偶数，则集合A中元素为偶数的个数最大值为 ，集合A中元素个数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·镇江期末）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值：
（2）求函数在上的最大值．
16．（2025高二下·镇江期末）某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩 合计
优秀 不优秀
数学成绩 优秀 50 30 80
不优秀 40 80 120
合计 90 110 200
（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”．请利用样本数据，估计的值．
附：．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
17．（2025高二下·镇江期末）某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立．
（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；
（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值．
18．（2025高二下·镇江期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．．
（1）证明：平面
（2）证明：
（3）当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．
19．（2025高二下·镇江期末）设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”．
（1）判断函数是否存在F点；
（2）设函数，当存在F点，求k的值；
（3）设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：每个人选择方案有3种，则4人不同的选择方案有种.
故答案为：B.
【分析】利用分步计数乘法原理计算即可.
2．【答案】C
【知识点】组合数公式的推导；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意知，，
由组合数性质，解得n＝6，
∴＝，
令x＝1，得展开式各项系数之和为.
故答案为：C.
【分析】由已知条件金额和组合数性质，从而解出n的值，再令x＝1得出的展开式的各项系数之和.
3．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为在平行六面体中，，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据空间向量线性运算法则计算即可.
4．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为数据，，…，的平均数为，标准差为，方差为，
根据平均数与方差的定义和结论，
可得数据，，…，的平均数和方差分别为，，
所以，数据，，…，的标准差为.
故答案为：.
【分析】根据平均数的性质和方差的性质，从而求出数据，，…，的平均数和方差，进而求出数据，，…，的标准差.
5．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，
令x=1，得 ，解得，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出 ，令x=1，从而求出的值，再利用导函数代值得出的值．
6．【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为向量 共面，
所以存在实数，使得
所以，，
所以，
解得．
故答案为：B．
【分析】利用向量 共面，则存在实数，使得，再利用向量的坐标运算和向量坐标相等的判断方法，从而解方程组得出x，y，m的值.
7．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点坐标为，，
所以，切线斜率为，
所以，切线方程为，
因为切线过坐标原点，所以，
整理得，
又因为曲线有2条过原点的切线，
所以该方程有2个实数解，
所以，
解得或.
故答案为：.
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义得出切线的斜率，利用代入法得出切线方程，再结合切线方程过原点且有两解，从而得出实数a的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
令，可得.
当时，，此时，函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
，
则，可得，
，
则，，
所以，，
可得，
因为函数在区间上单调递增，
所以，
，
因此，.
故答案为：A.
【分析】先构造函数，利用导数的正负判断函数的单调性，由可得，，，再由函数在上的单调性判断出、的大小关系，从而得出、、三个数的大小关系.
9．【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；二项分布；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于选项：将8个数据从小到大排列，
因为，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项：由，
可得，
则，
可得，
所以相互独立，故B正确；
对于选项C：因为，
所以，故C正确；
对于选项D：因为随机变量，
由正态曲线的对称性，可得，
则，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据百分位数求解方法判断出选项A；根据条件概率公式和独立事件定义，则判断出选项B；根据二项分布的方差和方差的性质判断出选项C；根据正态分布的性质判断出选项D，从而找出真命题的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，
则.
对于：因为，故正确；
对于：令，可得，
则，故正确；
对于：对两边求导，
得，
令，得，
则，故正确；
对于：根据二项式系数的对称性和增减性，
可知，，，…，这8个数中与最大，故错误.
故答案为：.
【分析】令，则，从而得出，则可判断选项；利用赋值法和已知条件，可判断选项；对两边求导，再结合赋值法可判断选项；根据二项式系数的对称性和单调性，则可判断选项，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；含三角函数的复合函数的值域与最值；与直线有关的动点轨迹方程；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
则，，，
则，
∴.
对于选项A：当时，，，，
则，
则，
所以满足条件的P点有无数个，故A错误；
对于选项B：因为平面，
所以为平面的一个法向量，
又因为，与平面所成角的大小为，
所以，
化简得，
又因为，，
令，，
所以，其中，
故当时，取到最大值，
则的最大值为，故B正确；
对于选项C：当时，，则，
所以，，，
则在上的投影为，
则点P到直线的距离为；
所以，平面ABCD的一个法向量为，，
则点P到平面ABCD的距离为，
当点P到直线的距离与到平面ABCD的距离相等时，，
所以，
∵，∴方程有一个解，
则，即仅存在一个点P满足条件，故C错误；
对于D选项：因为E、F分别为的中点，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，，记，
所以点P的轨迹为平面中的线段MN，
其长度为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用向量的坐标运算得出点P的坐标为，再利用两向量垂直数量积为0可判断出选项A；直线与平面所成角的大小为，结合数量积求向量夹角公式和诱导公式以及，，令，，再结合辅助角公式得出 ，可判断出选项B；当时，，则，求出点P到平面ABCD的距离，再利用点P到直线的距离与到平面ABCD的距离相等，从而得出仅存在一个点P满足条件，则判断出选项C；利用中点的性质和向量的坐标运算，从而得出点P的轨迹为平面中的线段MN，再利用空间两点距离公式，从而得出MN的长，即得出点P的轨迹长度，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】2.2
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：，，
将样本中心点代入回归方程，
得，
解得.
故答案为：2.2.
【分析】利用回归直线过样本中心点的性质和平均数公式以及代入法，从而得出a的值.
13．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，可得，
则
，
因为随机变量，相互独立，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据正态分布的性质得出的值，再利用二项分布的概率公式求出的值，最后利用概率乘法公式得出的值.
14．【答案】328；329
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为集合中任意两个数之积皆为偶数，
则集合中最多只能有一个奇数，其他都是偶数，
先计算所有偶数有多少，
情况一：三位数偶数末位是0，则种；
情况二：末位不是0，则种，
所以，集合A中元素个数的最大值为，
集合A中元素为偶数的个数最大值为328.
故答案为：328；329.
【分析】先分析集合中元素最多只能有一个奇数，其他都是偶数，再根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出集合A中元素为偶数的个数最大值和集合A中元素个数的最大值.
15．【答案】（1）解：因为，
所以，且，
解得.
（2）解：由（1）得，，，
令，解得，
当或时，；
当时，，
所以在和单调递增，在单调递减；
所以时，取到极大值，极大值为，
又因为，
所以函数在上的最大值为19.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可得，再利用点在切线上，则，从而联立方程求解得出实数a，b的值.
（2）利用导数正负判断函数在上的单调性，从而求出函数在上的极大值，再求出函数在上的端点值，最后比较后得到函数在上的最大值.
（1），
且，解得.
（2）由（1）得，，
令，解得，
当或时，，当时，，
所以在和单调递增，在单调递减；
所以时，取到极大值，极大值为，
又，
所以函数在上的最大值为19.
16．【答案】（1）解：零假设为：数学成绩与语文成绩无关，
据表中数据，计算得：，
根据的独立性检验，我们推断
（2）解：因为A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，
B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，
利用样本数据，则，，
所以，
则估计的值是．
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算出的值，最后与的临界值比较得出不成立，认为数学成绩与语文成绩有关．
（2）根据条件概率公式结合样本数据，从而估计出的值.
（1）零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得
根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关．
（2）A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，
B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，
利用样本数据，则有，，
所以，
故估计的成为是．
17．【答案】解：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，，
则，．
由题意可知的取值可能为0，1，2，
则，
，
，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2
则．
（2）由题意，得小组中2人答对的概率为，
3人答对的概率，
则．
，
令，得，，，
所以，在上，单调递增；
在上，单调递减，
所以时，最大．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先计算出甲，乙两组各自通过初赛的概率，从而确定的可能取值，再利用对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式， 从而得出相应概率，则得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（2）根据题意，从而列出“优秀小组”的概率的计算公式，再求导判断函数在上的单调性，从而可得函数的最大值和函数的取最大时的的值.
18．【答案】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以底面ABC，
所以，
又因为，，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
（2）证明：由（1）知BA，BC，两两垂直，如图所示，
以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，，，，
设，
因为，，
所以，
所以．
（3）解：设平面DFE的法向量为，
因为，，
所以，
则，
令，
则且平面的法向量为，
设平面与平面DEF的二面角的平面角为，
则．
根据平方关系，可知，
所以，当取最大值时，取得最小值，
可知，
当时，取最小值为，
此时取最大值为，
则，此时．
【知识点】函数的最大（小）值；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据空间中点、线、面的位置关系，通过直三棱柱的结构特征得出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，由线面垂直判定定理证出平面.
（2）由（1）知BA，BC，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示， 从而证出成立.
（3）设出点的坐标，求出平面DFE的法向量和平面的法向量，根据数量积求向量夹角公式和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值，再利用同角三角函数基本关系式得出面与面DFE所成的二面角的正弦的最小值，并求出此时对应的的长.
（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以，
因为，，所以，
又，平面，平面，
所以平面．
（2）由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示，
以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，，，．设．
因为，，
所以，所以．
（3）设平面DFE的法向量为，因为，，
所以，即．令，则
且平面的法向量为，
设平面与平面DEF的二面角的平面角为，
则．
根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值，
可知，当时，取最小值为，
此时取最大值为，则，
此时．
19．【答案】（1）解：因为恒成立，
所以函数单调递增，则函数无极值，
所以不存在点F.
（2）解：设是函数的一个点F，
则；
当时，，函数无极值；
当时，令，得，
由，得，
设，则在单调递增，且，
得，
所以，
当时，是极小值点，
所以是函数的一个点F，
综上所述，．
（3）解：因为，则，是的两根，
所以，，，，
由，，
则，
化简得：，
则，
得，
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数无极值点，则判断出函数不存在点F.
（2）先求出函数极值点，再根据得出，构造函数，再利用函数的单调性求解得出的值.
（3）根据题意得出，是的两根且，，由韦达定理表示出，的关系式，再由可得的关系式，再根据已知条件解不等式，从而得出实数a的取值范围.
（1）恒成立，故函数单调递增，
函数无极值，所以不存在F点；
（2）解设是函数的一个F点，；
当时，，函数无极值；
当时，令，得：．
由，得：．
设，则在单调递增，
且，得，所以．
当时，是极小值点，所以是函数的一个F点，
综上，．
（3），则，是的两根．
所以：，，．
由，，则，
所以化简得：．
则：，得：．
所以，得．
1 / 1江苏省镇江第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·镇江期末）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：每个人选择方案有3种，则4人不同的选择方案有种.
故答案为：B.
【分析】利用分步计数乘法原理计算即可.
2．（2025高二下·镇江期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】组合数公式的推导；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意知，，
由组合数性质，解得n＝6，
∴＝，
令x＝1，得展开式各项系数之和为.
故答案为：C.
【分析】由已知条件金额和组合数性质，从而解出n的值，再令x＝1得出的展开式的各项系数之和.
3．（2025高二下·镇江期末）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为在平行六面体中，，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据空间向量线性运算法则计算即可.
4．（2025高二下·镇江期末）已知数据，，…，的平均数为，标准差为，则数据，，…，的平均数和标准差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为数据，，…，的平均数为，标准差为，方差为，
根据平均数与方差的定义和结论，
可得数据，，…，的平均数和方差分别为，，
所以，数据，，…，的标准差为.
故答案为：.
【分析】根据平均数的性质和方差的性质，从而求出数据，，…，的平均数和方差，进而求出数据，，…，的标准差.
5．（2025高二下·镇江期末）若函数满足，则的值为( )
A．3 B．1 C．0 D．－1
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，
令x=1，得 ，解得，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出 ，令x=1，从而求出的值，再利用导函数代值得出的值．
6．（2025高二下·镇江期末）已知，，，若共面，则实数（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为向量 共面，
所以存在实数，使得
所以，，
所以，
解得．
故答案为：B．
【分析】利用向量 共面，则存在实数，使得，再利用向量的坐标运算和向量坐标相等的判断方法，从而解方程组得出x，y，m的值.
7．（2025高二下·镇江期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点坐标为，，
所以，切线斜率为，
所以，切线方程为，
因为切线过坐标原点，所以，
整理得，
又因为曲线有2条过原点的切线，
所以该方程有2个实数解，
所以，
解得或.
故答案为：.
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义得出切线的斜率，利用代入法得出切线方程，再结合切线方程过原点且有两解，从而得出实数a的取值范围.
8．（2025高二下·镇江期末）已知实数、、，满足，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
令，可得.
当时，，此时，函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
，
则，可得，
，
则，，
所以，，
可得，
因为函数在区间上单调递增，
所以，
，
因此，.
故答案为：A.
【分析】先构造函数，利用导数的正负判断函数的单调性，由可得，，，再由函数在上的单调性判断出、的大小关系，从而得出、、三个数的大小关系.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分．
9．（2025高二下·镇江期末）下列命题中正确的是（ ）
A．数据的第25百分位数是1
B．若事件的概率满足且，则相互独立
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，则
【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；二项分布；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于选项：将8个数据从小到大排列，
因为，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项：由，
可得，
则，
可得，
所以相互独立，故B正确；
对于选项C：因为，
所以，故C正确；
对于选项D：因为随机变量，
由正态曲线的对称性，可得，
则，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据百分位数求解方法判断出选项A；根据条件概率公式和独立事件定义，则判断出选项B；根据二项分布的方差和方差的性质判断出选项C；根据正态分布的性质判断出选项D，从而找出真命题的选项.
10．（2025高二下·镇江期末）已知，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．，，，…，这8个数中最大
【答案】A,B,C
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，
则.
对于：因为，故正确；
对于：令，可得，
则，故正确；
对于：对两边求导，
得，
令，得，
则，故正确；
对于：根据二项式系数的对称性和增减性，
可知，，，…，这8个数中与最大，故错误.
故答案为：.
【分析】令，则，从而得出，则可判断选项；利用赋值法和已知条件，可判断选项；对两边求导，再结合赋值法可判断选项；根据二项式系数的对称性和单调性，则可判断选项，从而找出正确的选项.
11．（2025高二下·镇江期末）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ）
A．当时，有且仅有一点P满足；
B．若与平面所成角的大小为，则的最大值为；
C．当时，满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等的点P有两个；
D．E、F分别为的中点，若存在，使成立，则点P的轨迹长度为．
【答案】B,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；含三角函数的复合函数的值域与最值；与直线有关的动点轨迹方程；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
则，，，
则，
∴.
对于选项A：当时，，，，
则，
则，
所以满足条件的P点有无数个，故A错误；
对于选项B：因为平面，
所以为平面的一个法向量，
又因为，与平面所成角的大小为，
所以，
化简得，
又因为，，
令，，
所以，其中，
故当时，取到最大值，
则的最大值为，故B正确；
对于选项C：当时，，则，
所以，，，
则在上的投影为，
则点P到直线的距离为；
所以，平面ABCD的一个法向量为，，
则点P到平面ABCD的距离为，
当点P到直线的距离与到平面ABCD的距离相等时，，
所以，
∵，∴方程有一个解，
则，即仅存在一个点P满足条件，故C错误；
对于D选项：因为E、F分别为的中点，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，，记，
所以点P的轨迹为平面中的线段MN，
其长度为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用向量的坐标运算得出点P的坐标为，再利用两向量垂直数量积为0可判断出选项A；直线与平面所成角的大小为，结合数量积求向量夹角公式和诱导公式以及，，令，，再结合辅助角公式得出 ，可判断出选项B；当时，，则，求出点P到平面ABCD的距离，再利用点P到直线的距离与到平面ABCD的距离相等，从而得出仅存在一个点P满足条件，则判断出选项C；利用中点的性质和向量的坐标运算，从而得出点P的轨迹为平面中的线段MN，再利用空间两点距离公式，从而得出MN的长，即得出点P的轨迹长度，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题（本大题共3小题，共15分．第14题，第一空2分，第二空3分．）
12．（2025高二下·镇江期末）已知x，y的取值如表：若x，y具有线性相关关系，且回归方程为，则 .
0 1 3 4
4.3 4.8 6.7
【答案】2.2
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：，，
将样本中心点代入回归方程，
得，
解得.
故答案为：2.2.
【分析】利用回归直线过样本中心点的性质和平均数公式以及代入法，从而得出a的值.
13．（2025高二下·镇江期末）随机变量，相互独立，且，，则 .
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，可得，
则
，
因为随机变量，相互独立，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据正态分布的性质得出的值，再利用二项分布的概率公式求出的值，最后利用概率乘法公式得出的值.
14．（2025高二下·镇江期末）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且集合A中的元素任意两个之积皆为偶数，则集合A中元素为偶数的个数最大值为 ，集合A中元素个数的最大值为 ．
【答案】328；329
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为集合中任意两个数之积皆为偶数，
则集合中最多只能有一个奇数，其他都是偶数，
先计算所有偶数有多少，
情况一：三位数偶数末位是0，则种；
情况二：末位不是0，则种，
所以，集合A中元素个数的最大值为，
集合A中元素为偶数的个数最大值为328.
故答案为：328；329.
【分析】先分析集合中元素最多只能有一个奇数，其他都是偶数，再根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出集合A中元素为偶数的个数最大值和集合A中元素个数的最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·镇江期末）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值：
（2）求函数在上的最大值．
【答案】（1）解：因为，
所以，且，
解得.
（2）解：由（1）得，，，
令，解得，
当或时，；
当时，，
所以在和单调递增，在单调递减；
所以时，取到极大值，极大值为，
又因为，
所以函数在上的最大值为19.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可得，再利用点在切线上，则，从而联立方程求解得出实数a，b的值.
（2）利用导数正负判断函数在上的单调性，从而求出函数在上的极大值，再求出函数在上的端点值，最后比较后得到函数在上的最大值.
（1），
且，解得.
（2）由（1）得，，
令，解得，
当或时，，当时，，
所以在和单调递增，在单调递减；
所以时，取到极大值，极大值为，
又，
所以函数在上的最大值为19.
16．（2025高二下·镇江期末）某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩 合计
优秀 不优秀
数学成绩 优秀 50 30 80
不优秀 40 80 120
合计 90 110 200
（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”．请利用样本数据，估计的值．
附：．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：零假设为：数学成绩与语文成绩无关，
据表中数据，计算得：，
根据的独立性检验，我们推断
（2）解：因为A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，
B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，
利用样本数据，则，，
所以，
则估计的值是．
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算出的值，最后与的临界值比较得出不成立，认为数学成绩与语文成绩有关．
（2）根据条件概率公式结合样本数据，从而估计出的值.
（1）零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得
根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关．
（2）A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，
B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，
利用样本数据，则有，，
所以，
故估计的成为是．
17．（2025高二下·镇江期末）某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立．
（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；
（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值．
【答案】解：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，，
则，．
由题意可知的取值可能为0，1，2，
则，
，
，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2
则．
（2）由题意，得小组中2人答对的概率为，
3人答对的概率，
则．
，
令，得，，，
所以，在上，单调递增；
在上，单调递减，
所以时，最大．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先计算出甲，乙两组各自通过初赛的概率，从而确定的可能取值，再利用对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式， 从而得出相应概率，则得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（2）根据题意，从而列出“优秀小组”的概率的计算公式，再求导判断函数在上的单调性，从而可得函数的最大值和函数的取最大时的的值.
18．（2025高二下·镇江期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．．
（1）证明：平面
（2）证明：
（3）当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．
【答案】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以底面ABC，
所以，
又因为，，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
（2）证明：由（1）知BA，BC，两两垂直，如图所示，
以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，，，，
设，
因为，，
所以，
所以．
（3）解：设平面DFE的法向量为，
因为，，
所以，
则，
令，
则且平面的法向量为，
设平面与平面DEF的二面角的平面角为，
则．
根据平方关系，可知，
所以，当取最大值时，取得最小值，
可知，
当时，取最小值为，
此时取最大值为，
则，此时．
【知识点】函数的最大（小）值；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据空间中点、线、面的位置关系，通过直三棱柱的结构特征得出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，由线面垂直判定定理证出平面.
（2）由（1）知BA，BC，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示， 从而证出成立.
（3）设出点的坐标，求出平面DFE的法向量和平面的法向量，根据数量积求向量夹角公式和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值，再利用同角三角函数基本关系式得出面与面DFE所成的二面角的正弦的最小值，并求出此时对应的的长.
（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以，
因为，，所以，
又，平面，平面，
所以平面．
（2）由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示，
以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，，，．设．
因为，，
所以，所以．
（3）设平面DFE的法向量为，因为，，
所以，即．令，则
且平面的法向量为，
设平面与平面DEF的二面角的平面角为，
则．
根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值，
可知，当时，取最小值为，
此时取最大值为，则，
此时．
19．（2025高二下·镇江期末）设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”．
（1）判断函数是否存在F点；
（2）设函数，当存在F点，求k的值；
（3）设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围．
【答案】（1）解：因为恒成立，
所以函数单调递增，则函数无极值，
所以不存在点F.
（2）解：设是函数的一个点F，
则；
当时，，函数无极值；
当时，令，得，
由，得，
设，则在单调递增，且，
得，
所以，
当时，是极小值点，
所以是函数的一个点F，
综上所述，．
（3）解：因为，则，是的两根，
所以，，，，
由，，
则，
化简得：，
则，
得，
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数无极值点，则判断出函数不存在点F.
（2）先求出函数极值点，再根据得出，构造函数，再利用函数的单调性求解得出的值.
（3）根据题意得出，是的两根且，，由韦达定理表示出，的关系式，再由可得的关系式，再根据已知条件解不等式，从而得出实数a的取值范围.
（1）恒成立，故函数单调递增，
函数无极值，所以不存在F点；
（2）解设是函数的一个F点，；
当时，，函数无极值；
当时，令，得：．
由，得：．
设，则在单调递增，
且，得，所以．
当时，是极小值点，所以是函数的一个F点，
综上，．
（3），则，是的两根．
所以：，，．
由，，则，
所以化简得：．
则：，得：．
所以，得．
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