5.2实际问题中的函数模型 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

5.2实际问题中的函数模型
学习目标
1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养．
2.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养．
二、学习重难点
重点：会利用已知函数模型解决实际问题．
难点：能建立函数模型解决实际问题．
三、自主预习、知识梳理
1．常见的函数模型
(1)正比例函数模型：f (x)＝________(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f (x)＝_________(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f (x)＝____________(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f (x)＝______________(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f (x)＝______________(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f (x)＝____________(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f (x)＝_____________(a，b，n为常数，a≠0，n≠1).
2．应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤：
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
四、应用举例
例1: 某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021
x(年) 0 1 2 3
生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测年该国的国内生产总值．
解：(1)根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为．
把直线通过的两点和代入上式，解方程组，可得，．
所以它的一个函数关系式为．
(2)由(1)中得到的关系式为，计算出年和年的国内生产总值分别为
，
．
与实际的生产总值相比，误差不超过万亿元．
(3)年，即，由上述关系式，得，即预测年该国的国内生产总值约为万亿元．
例2： 如图1是某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象．
图1 图2 图3
(1)试说明图上点、点以及射线上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图、图、图中的票价分别是多少元？
解：(1)点表示无人乘车时收支差额为元，点表示有人乘车时收支差额为元，线段上的点表示亏损，延长线上的点表示盈利．
(2)图的建议是降低成本，票价不变，图的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图、中的票价是元，图中的票价是元．
例3：要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是人·天和人·天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？
解：设在软土地带工作的人数为人，则在硬土地带工作的人数为人．
根据题意，在软土地带筑路时间为，
在硬土地带筑路时间为，
其中，．
因为函数在区间上是减函数，函数在区间上是增函数，
所以全队筑路工期为：
由，即，得．从而
．
因为函数在区间上递减，在区间上递增，所以是函数的最小值点．但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求．
经计算，，．
于是，当安排人到软土地带工作，人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短．
例4：某公司每年需要某种计算机元件个，每次购买元件需手续费元，每个元件的库存费是每年元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，个元件的库存费也不少，若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？
解：首先要做一些假设：
（1）每天需同样多的元件；（2）其他费用可以作为常数看待．
将个元件所需的总费用记为元，一年总库存费记为元，购买元件总手续费记为元，其他费用记为元（为常数），则
．
若每年平均进货次（），则每次的进货量为个．假设用完个元件的时间为年，在内，时刻的库存量为，满足，，．
解得 ．
如图，阴影部分的面积是第一个时间段内需支付库存费的库存量的总和，相当于在年内每一时刻需支付库存费的库存量均为个．
在年内，每个元件的库存费为元，则个元件的库存费为(元)．
一年总库存费为：(元)．
另外，元，所以．
由基本不等式，得．
当且仅当，即时，上面的不等式取等号，此时总费用最少，故每年进货次最经济．
本例中的模型叫作存贮模型．
五、课堂练习
1.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到（包含，但不包含）的驾驶员即为饮酒驾车，及以上则认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过__________小时才能驾驶汽车（参考数据：，，，）( )
A.1 B.3 C.5 D.7
2.钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是著名科学家钱学森于1984年提出的，该弹道设计具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防性和灵活性，作战能力显著增强据报道，2019年国庆大阅兵亮相的部分东风系列中程和洲际导弹就采用了该弹道设计，这极大地提升了我国的国防实力.关心国防建设的某高一学生，在学习了“函数的应用”后，用的图象拟合某一钱学森弹道，其中x（千公里）表示弹道横向位移，y（千公里）表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据:，；，，则a，b分别为( )
A.1，3 B.3，1 C.， D.，
3.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是( )
A.56.6米 B.57.6米 C.58.6米 D.59.6米
4.近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一.现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为( )（本题取）
A.1秒 B.10秒 C.20秒 D.50秒
5.某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为（其中，k是正数）.已知经过，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间最接近（参考数据：）( )
A. B. C. D.
6.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t后的温度T将满足，其中是环境温度，h称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到需要10分钟，则热茶从降温到大约需要多少分钟（，）( )
A.12 B.14 C.16 D.18
7.（多选）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量v（单位:）与管道的半径r（单位:cm）的四次方成正比，当气体在半径为5cm的管道中时，流量为，则( )
A.当气体在半径为3cm的管道中时，流量为
B.当气体在半径为3cm的管道中时，流量为
C.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4cm
D.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为
8.（多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用（千元）、乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则( )
A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的总费用与印制证书数量x之间的函数关系式为
C.当印制证书不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D.当印制证书超过2千个时，乙厂的总费用与印制证书数量x之间的函数关系式为
9.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是，经过一段时间tmin后的温度是，则，其中表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要20min，那么降温到，需要的时长为__________min.
10.某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，若日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的关系式为，则该桶装水经营部要使日利润最大，销售单价应定为_____________元.
六、课后练习
1.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当，时，二氧化碳处于液态
B.当，时，二氧化碳处于气态
C.当，时，二氧化碳处于超临界状态
D.当，时，二氧化碳处于超临界状态
2.宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学.2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为，1阿秒等于.现有一条的线段，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，若要使其长度小于光在1阿秒内走的距离，则需要截（参考数据：，）( )
A.30次 B.31次 C.32次 D.33次
3.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在的保鲜时间为，在的保鲜时间为，那么在时，该果蔬的保鲜时间为( )
A. B. C. D.
4.放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为（其中h为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为（参考数据：）( )
A. B. C. D.
5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气的温度为，那么t小时后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有A、B两个物体放在空气中冷却，已知两个物体的初始温度相同，冷却2小时后，A、B两个物体的温度分别为、，假设A、B两个物体的冷却系数分别为、，则( )
A. B. C. D.
6.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于( )
A.16 B.20 C.32 D.90
7.（多选）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( )
A. B. C. D.
8.（多选）研究表明，地震时释放的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为，则( )
A.震级为2级的地震释放的能量为
B.释放能量为的地震震级为3级
C.9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍
D.释放能量之比为的两场地震的震级相差2级
9.“学如逆水行舟，不进则退；心如平原放马，易放难收。”《增广贤文》是勉励人们学习的。如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是。一年后“进步”的是“退步”的倍。如果每天的“进步”率和“退步”率都是，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是___________天.（参考数据：，）
10.调查显示，垃圾分类投放每千克可以带来约0.34元的经济收益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励x分（x为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.
（1）当时，若某家庭某月分类投放生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换___________元；
（2）为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的经济收益的，则x的最大值为___________.
答案及解析
三、自主预习、知识梳理
1.kx；；kx＋b；ax2＋bx＋c；abx＋c；mlogax＋n；axn＋b
五、课堂练习
1.答案：C
解析：由题意得血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，则，即，两边取对数得，即，
那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选C.
2.答案：B
解析：将，；，代入可得和，
解得，.
故选:B
3.答案：B
解析：依题意，，当且仅当时取等号，
所以烟花爆裂的高度是57.6米.
故选：B
4.答案：B
解析：因为这台计算机平均每秒可进行次运算，
所以次运算需要秒，
而，
所以.
故选:B.
5.答案：B
解析：由题意可知，所以，设过滤掉的污染物需要的时间为，则，所以，
所以
，
故选B.
6.答案：C
解析：根据题意得，解得，，即，则.故选C.
7.答案：AC
解析：依题意可设，k为常数.
当气体在半径为5cm的管道中时，流量为，所以，解得，
则.当时，，故A正确，B错误.
由，解得，故C正确，D错误.
故选:AC.
8.答案：ABC
解析：由题图知甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，甲厂的总费用与印制证书数量x之间的函数关系式为，故A，B正确；
当印制证书不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元，故C正确；
易知当时，乙厂的总费用与印制证书数量x之间的函数关系式为，故D不正确.
故选ABC.
9.答案：30
解析：由题得，
，代入得，解得，
所以，当时，解得，
即降温到，需要的时长为30min.
故答案为:30.
10.答案：10
解析：设该桶装水经营部的利润为元，则，所以当时，取得最大值330，即该桶装水经营部要使日利润最大，销售单价应定为10元.
六、课后练习
1.答案：D
解析：对于A选项，当，时，，根据题图可知，二氧化碳处于固态；
对于B选项，当，时，，根据题图可知，二氧化碳处于液态；
对于C选项，当，时，，且接近于4，根据题图可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当，时，，根据题图可知，二氧化碳处于超临界状态.
故选D.
2.答案：B
解析：根据已知可得，光在1阿秒内走的距离为.设截x次后，剩余的长度为（单位：m），则.令，可得，
结合函数的单调性，两边同时取对数可得
，
所以..所以应当截31次.故选B.
3.答案：D
解析：由题得，，所以时，，此时.故选D.
4.答案：D
解析：由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，即，则.
所以质量为的锶89经过30天衰减后，
质量大约为.故选D.
5.答案：A
解析：由题意可得即两式相除可得，所以，即.故选A.
6.答案：C
解析：，
当时，，
当时，，
，
故选：C
7.答案：ACD
解析：由，对于燃油汽车，即，，即；同理，对于混合动力汽车；对于电动汽车，则，，，选项C正确.，选项A正确.，则，选项B错误.，则，选项D正确.故选ACD.
8.答案：BD
解析：对于A，当时，，解得，A错误；
对于B，当时，，解得，B正确；
对于C，令9级地震释放的能量为，8级地震释放的能量为，
则，于是，C错误；
对于D，设释放的能量为，对应的震级为，释放的能量为，对应的震级为，
则，且，两式相减得，解得，D正确.故选BD.
9.答案：17
解析：设大约经过x天后“进步”的是“退步”的1000倍，则，即，则.
10.答案：（1）13
（2）36
解析：（1）该家庭月底的积分为（分），故该家庭该月积分卡能兑换（元）.
（2）设每个家庭每月分类投放的垃圾为，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为元.当时，恒成立；当时，由，可得，又，所以.故x的最大值为36.