6.2.2分层随机抽样 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

6.2.2分层随机抽样
学习目标
1．结合具体的实际问题，理解分层抽样的必要性和重要性；
2．通过解决实际统计问题的过程，学会辨别适用分层抽样的实际问题，并会用分层抽样的方法抽取样本．
二、学习重难点
重点：理解分层抽样的必要性和重要性，以及分层随机抽烟过的方法选取和应用．
难点：根据分层抽样的特点应用在实际问题上，理解分布的意义．
三、自主预习、知识梳理
1．分层抽样的概念
当总体由有____________的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常将总体中各个个体按某种特征分成若干个____________的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中____________进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
2．分层抽样的优点
（1）使样本具有较强的________.
（2）在________抽样时，可灵活地选用不同的抽样方法.
四、应用举例
例1：某地农田分布在山地、丘陵、平原、洼地不同的地形上，要对这个地区的农作物产量进行调查，应当如何抽样？
解：因为不同类型农田的产量有较大差异，所以应当采用分层随机抽样的方法，对不同类型的农田按其占总数的比例抽取样本．
例2：某公司有1000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收人者，800名属于低收入者，要对该公司员工的具体收人情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样抽样比较合理？并写出具体过程．
解：可以采用分层随机抽样的方法．具体过程如下：
按照该公司员工收入水平分成三层：高收人者、中等收人者、低收入者．
按照样本容量的比例随机抽取各层次员工．高等收入者：中等收入者：低收入者=50 : 150 : 800=1 : 3 : 16
高收入者（人），中等收入者（人），低收入者（人）．
将100人组到一起，得到一个样本．
五、课堂练习
1.随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是( )
A.110 B.115 C.120 D.125
2.某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张.某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5:3:2，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为( )
A.5 B.10 C.20 D.30
3.为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
4.某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取( )
A.5人 B.6人 C.7人 D.8人
5.某学校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别为1600，1200，2000，现按年级采用分层随机抽样的方法从中选取120人，若按照样本比例分配，则高二年级被选中的学生人数为( )
A.50 B.40 C.30 D.20
6.分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同
7.某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项运动），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用分层随机抽样的方法，则样本容量n的取值不可能是( )
A.5 B.6 C.20 D.24
8.某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法正确的有( )
A.应该采用分层抽样法抽取
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
9.某中学高一年级有男生640人，女生480人.为了解该年级男 女学生的身高差异，应采用__________（从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为__________.
10.一个田径队有男运动员20人，女运动员10人，比赛后立刻用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为6的样本进行兴奋剂检查，其中男运动员应抽______________人.
六、课后练习
1.某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为( )
A.1000 B.900 C.800 D.700
2.某市教育局想了解全市所有学生对电影《长津湖之水门桥》的评价，决定从全市所有学校中选取3所学校按学生人数用分层随机抽样的方法抽取一个样本，若3所学校学生人数之比为，且学生人数最少的一个学校抽出120人，则这个样本的容量为( )
A.560 B.540 C.450 D.400
3.某医用口罩生产厂家生产A、B、C三种不同口罩，A、B、C三种口罩产量之比为.为了调查这三种口罩的质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，样本中B种口罩数量比A种多40只，比C种多80只，则( )
A.240 B.280 C.320 D.360
4.简单随机抽样与分层随机抽样的共同点是( )
A.都是从总体中逐个抽取
B.将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
C.抽样过程中每个个体被抽取的机会相同
D.将总体分成几层，分层进行抽取
5.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
6.为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中分别有高一、高二、高三学生600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三学生( )
A.5人 B.6人 C.7人 D.8人
7.某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查他们的身体健康状况，需要抽取一个样本量为m的样本，用分层随机抽样的方法进行抽样调查，若样本中的中年人人数为6，则n和m的值可以是下列四个选项中的哪组( )
A.， B.， C.， D.，
8.已知某高中共有学生2040人，其中高一段学生有800人，高二段学生有600人，为了了解学生的体质健康水平，现从三个年级段中采取分层随机抽样的方法，抽取一个容量为51的样本，检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为，，，下列说法正确的是( )
A.体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段
B.体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段
C.高二段抽取了15人
D.估计该校学生体质健康水平的优秀率为（百分比保留一位小数）
9.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格.由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是__________件.
产品类别 A B C
产品数量/件 1500
样本容量 150
10.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组）（单位：人）.学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为___________.
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
答案及解析
三、自主预习、知识梳理
明显差异；互不交叉；所占比例
代表性；各层
五、课堂练习
1.答案：C
解析：设在老年人中发放的调查问卷份数为x，
则，
解得．
所以在老年人中发放的调查问卷份数是120.
故选：C．
2.答案：B
解析：样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为.
故选:B.
3.答案：A
解析：依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为.
故选:A.
4.答案：C
解析：采用分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取18人，
已知高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，
则应从高三抽取的人数为.
故选:C.
5.答案：C
解析：设高二年级被选中的学生人数为x，
则.
故选：C.
6.答案：C
解析：保证每个个体等可能抽样是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取故选C.
7.答案：AC
解析：当样本容量为n时，抽样比为，则需抽取足球运动员（人），篮球运动员（人），乒乓球运动员（人），所以n是6的整数倍，故选AC.
8.答案：ABD
解析：易知应采用分层抽样法抽取，A正确；由题意可得高一年级的人数为，高二年级的人数为，则高一年级应抽取的人数为，高二年级应抽取的人数为，所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故B正确；
乙被抽到的可能性与甲一样大，故C错误；
该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故D正确.故选ABD.
9.答案：分层随机；48
解析：因为男 女学生的身高存在明显差异，所以应采取分层随机抽样的方法抽取样本.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为.
故答案为:分层随机，48.
10.答案：4
解析：每个个体被抽到的概率都等于，.故男运动员应抽4人.
六、课后练习
1.答案：D
解析：因为从全校学生中随机抽取400名学生组成志愿者，
且每人被抽中的概率都是，
所以全校的总人数为人，
因为高一、高二、高三的人数之比为，
所以该校高二年级的人数为人.
故选：D
2.答案：B
解析：设样本的容量为n，依题意得，解得，所以这个样本的容量为540.故选B.
3.答案：A
解析：设样本中A、B、C三种口罩分别有a只，b只，c只，则即，，则，，故.
故选A.
4.答案：C
解析：两种抽样方法的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同.故选C.
5.答案：C
解析：依题意，分别设阅读过《西游记》《红楼梦》的学生组成的集合为A，B.设随机调查的100位学生组成的集合为全集U，则，，，则，如图所示.所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为，故选C.
6.答案：C
解析：依题意知应抽取的高三学生的人数为.故选C.
7.答案：ABD
解析：若样本中的中年人人数为6，则老年人人数为，青年人人数为，所以，得，将选项依次代入，可知选项A，B，D符合，故选ABD.
8.答案：ABC
解析：高一段学生有800人，高二段学生有600人，则高三段学生有（人）.
高一段体质健康水平不优秀的人数为；
高二段体质健康水平不优秀的人数为；
高三段体质健康水平不优秀的人数为.
所以体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段，A选项正确.
高一段体质健康水平优秀的人数为；
高二段体质健康水平优秀的人数为；
高三段体质健康水平优秀的人数为.所以体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段，B选项正确.
高二段抽取了（人），C选项正确.
估计该校学生体质健康水平的优秀率为，D选项错误.
故选ABC.
9.答案：700
解析：设从A，B，C三种产品中共抽取x件，则，所以，
所以在样本中A产品与C产品共有（件），
设C产品的样本容量为y，则，所以，所以C产品的数量是（件）.
10.答案：30
解析：依题意，篮球组60人抽取12人，则分层抽样的抽样比为，
由分层抽样的意义知，书画组40人抽取的人数为人，从而乐器组抽取的人数为，
于是得，解得，
所以a的值为30.
故答案为：30.