7.1.1随机现象、7.1.2样本空间、7.1.3随机事件 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

7.1.1随机现象、7.1.2样本空间、7.1.3随机事件
学习目标
了解随机实验的概念及特点，样本点与样本空间的关系
理解三种事件的定义，会判断三种事件。
学习重难点
随机事件的理解和判断
样本点与样本空间的关系理解
三、自主预习、知识梳理
确定性现象：在一定条件下_______出现的现象（包括确定发生和确定不发生）.
2．随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现____________，且每次试验前______________________________的现象.
3．随机现象的特点：（1）结果至少有____________；（2）事先__________会出现哪一种结果.
4．试验：在概率与统计中，观察随机现象或为某种目的进行的实验统称为试验，一般用_______表示.
5．试验结果：观察或实验的结果称为___________.
6．试验的特点：（1）可以在_________下重复进行；（2）每次试验的具体结果_________；（3）所有可能结果是______________.
7．样本空间：试验 E 的所有可能结果组成的集合称为试验 E 的样本空间，记作______.
8．样本点：样本空间 的元素（即试验 的每种可能结果）称为样本点，记作______.
9．随机事件：在每次试验中，当一个事件发生时，其对应子集中的__________必出现一个；反之，当该子集中的一个样本点出现时，这个事件___________.
10．基本事件：只包含______________的事件，其特点是__________、_________.
11．列举试验所有可能结果的方法称为___________.
四、应用举例
例1　在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾；
(6)同性电荷相互排斥.
[解析]　结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知.
(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.
(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.
(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件.
(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.
(5)在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件.
(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件.
例2　下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素.
[解析]　(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}.
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.
(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.
典例3　一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)一共有多少个样本点？
(2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示.
[解析]　(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球].
(2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}.
五、课堂练习
1.以下现象是确定性现象的是( ).
A.抛掷一枚硬币，出现反面 B.某人买彩票中奖
C.标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾 D.明天下雨
2.下列现象：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列说法中不正确的是( )
A.“在标准大气压下，水加热到时会沸腾“是不可能事件
B.“某彩票中奖的概率为，则买10000张这种彩票一定能中奖“是必然事件
C.“实数的绝对值不小于零“是必然事件
D.“将一枚骰子抛掷两次，所得点数之和大于7“是随机事件
4.下列说法正确的有( )
①任意事件A的概率总满足；
②若事件A的概率为0，则A是不可能事件；
③若事件A的概率为0.5，则A是随机事件；
④概率等于1的事件不一定为必然事件.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.下列事件中，是随机事件的是( )
A.在只装有5个红球的袋子中摸出1个球，是红球
B.在标准大气压下，水在结冰
C.打开电视机，正在转播足球比赛
D.地球绕着太阳转
6.下列事件中，是随机事件的是( )
①明天本市会下雨；
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14：
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.
A.①③ B.③④ C.①④ D.②③
7.（多选）下列现象为随机现象的是( )
A.当x是实数时，
B.某班一次数学测试，及格率低于75%
C.从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团上的数字是偶数
D.从一副扑克牌中任意抽出一张是红桃5
8.（多选）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是( )
A.事件“都是红色卡片“是随机事件
B.事件“都是蓝色卡片“是不可能事件
C.事件“至少有十张蓝色卡片“是必然事件
D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片“是随机事件
9.①某人射击一次，中靶;②从一副扑克牌中抽到红桃A;③种下一粒种子，发芽;④掷一枚骰子，出现5点.其中是随机现象的是__________.
10.某棋类游戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处.玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数（比如玩家一开始掷出的骰子点数为3，则走到炸弹所在位置），若踩到炸弹则返回起点重新开始，若走到终点则游戏结束.已知小明掷完三次骰子后，最后一步踩在终点，游戏恰好结束，则所有不同的情况种数为__________.
六、课后练习
1.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是( )
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
2.对满足的非空集合A，B，有下列四个命题：
①“若，则“是必然事件；②“若，则“是不可能事件；
③“若，则“是随机事件；④“若，则“是必然事件.
其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.9
4.一个不透明袋中装有6个白球，3个红球，这9个球除颜色外完全相同，现从中任取4个球，则下列现象为确定性现象的是( )
A.4个都是白球 B.至少有一个红球 C.4个都是红球 D.至少有一个白球
5.下列现象中随机现象的个数是( )
(1)某路口单位时间内发生交通事故的次数;
(2)任意实数的平方是非负数;
(3)一个射击运动员每次命中的环数;
(4)—辆出租车一天的载客数量.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.先后抛掷质地均匀的一角、五角的硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是( )
A.至少有一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都正面向上
D.两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上
7.（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是( )
A.5件都是正品 B.至少有1件次品 C.有3件次品 D.至少有3件正品
8.（多选）下列现象是随机现象的是( ).
A.连续两次抛掷同一枚骰子，两次都出现2点 B.走到十字路口，遇到红灯
C.异性电荷相互吸引 D.抛一石块，下落
9.(1)随机现象的发生能够人为控制其发生或不发生;(2)随机现象的结果是可以预知的;(3)不可能事件反映的是确定性现象;(4)已经发生的事件一定是必然事件.以上说法正确的有__________.
10.下列事件中必然事件为_________，不可能事件为_________，随机事件为_________（填序号）.
①13个人中至少有两个人生肖相同；
②车辆随机到达一个路口，遇到红灯；
③函数在定义域内为增函数；
④任意买一张电影票，座位号是2的倍数.
答案及解析
三、自主预习、知识梳理
1.必然
2.不同结果；无法预言会出现哪一种结果
3. 2 种；不知道
4.E
5.试验结果
6.相同条件；不能预知；明确可知的
7.
8.
9.样本点；必然发生
10.一个样本点；不能分解；不能同时发生
11.列举法
五、课堂练习
1.答案：C
解析：A，B，D都是随机现象，故选C.
2.答案：B
解析：①②是随机现象，③④是确定性现象.故选B.
3.答案：B
解析：在标准大气压下，水加热到才会沸腾，所以A中事件是不可能事件；
某彩票中奖的概率为，仅代表中奖的可能性大小，所以买10000张这种彩票不一定能中奖，即B中事件不是必然事件；
实数的绝对值不小于零，所以C中事件是必然事件；将一枚骰子抛掷两次，所得点数之和最小为2，最大为12，故“将一枚骰子抛掷两次，所得点数之和大于7“是随机事件.故选B.
4.答案：C
解析：任意事件A发生的概率满足，①错误；不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，②错误；③正确；④正确，比如说在0和5之间随机取一个实数，这个数不等于3.35264的概率是1，但不是必然事件，综上所述，故选C.
5.答案：C
解析：对于A，在只装有5个红球的袋子中摸出1个球一定是红球，所以是必然事件，所以A不符合题意.对于B，在标准大气压下，水在结冰是不可能事件，所以B不符合题意.对于C，打开电视机，有可能正在转播足球比赛，所以是随机事件，所以C符合题意.对于D，地球绕着太阳转是不可能事件，所以D不符合题意，故选C.
6.答案：A
解析：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件：②不可能发生，是不可能事件：④一定发生，是必然事件.故选A.
7.答案：BCD
解析：当时，；当时，，所以不可能等于2，故A不是随机现象.由随机现象的定义知B，C，D均是随机现象.
8.答案：ABD
解析：袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片“是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片“是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片“是随机事件，故C错误：在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片“是随机事件，故D正确，故选ABD.
9.答案：①②③④
解析：随机现象有两个特点:（1)结果至少有2种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
10.答案：21
解析：设小明掷三次骰子的点数为，，则符合题意的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种.
六、课后练习
1.答案：D
解析：由定义知A，B，C均正确.随机事件是样本空间的子集，由子集的定义可知D错.故选D.
2.答案：C
解析：对于①②，当时，显然存在满足，的元素，因此“若，则“是随机事件，故①②错误；
对于③，当时，“若，则“可能成立，也可能不成立，是随机事件，故③正确；
对于④，因为，所以“若，则“一定成立，是必然事件，故④正确.
故正确的命题有2个.故选C.
3.答案：C
解析：由题意得样本点为（数学，计算机），（数学，航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共6个，故选C.
4.答案：D
解析：
5.答案：C
解析：(2)是确定性现象，(1)(3)(4)都是随机现象.
6.答案：A
解析：至少有一枚硬币正面向上包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上““一角硬币正面向上，五角硬币反面向上““一角硬币反面向上，五角硬币正面向上“3个样本点，故A符合题意；只有一枚硬币正面向上包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上““一角硬币反面向上，五角硬币正面向上“2个样本点，故B不符合题意；两枚硬币都正面向上包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上“1个样本点，故C不符合题意；两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上““一角硬币反面向上，五角硬币正面向上“2个样本点，故D不符合题意.故选A.
7.答案：AB
解析：在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品““至少有1件次品“都是随机事件，A，B正确；在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，则“有3件次品“不是随机事件，是不可能事件，C错误；在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品“为必然事件，不是随机事件，D错误.
8.答案：AB
解析：
9.答案：(3)
解析：随机现象不能人为控制，结果无法预知，所以(1)(2)错误；已经发生的事件以后不一定发生，所以(4)错误.
10.答案：①；③；②④
解析：因为共有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故①是必然事件；车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件；因为，所以函数在定义域内为减函数，所以③是不可能事件；买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故④是随机事件.