7.1.4随机事件的运算 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

7.1.4随机事件的运算
学习目标
理解事件之间的关系及其运算。
学习重难点
重点： 事件之间的关系及运算
难点： 互斥事件与对立事件区分，用集合运算表示事件
三、自主预习、知识梳理
1．事件的关系及运算
定义 表示法 图示
包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B___________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) ________(或__________)
并事件 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的_____(或____) ________(或_________)
交事件 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的______(或______) ______(或________)
互斥事件 给定事件A，B，若事件A，B_______ ______________，则称A与B互斥 AB＝_____(或A∩B＝_______)
对立事件 给定样本空间Ω与事件A，由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件记为 P（A）＋P（）＝______
应用举例
例1　(1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　A　)
A．两次都中靶　　 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶　　 D．只有一次中靶
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　D　)
A．恰有一次击中　　 B．三次都没击中
C．三次都击中　　 D．至多击中一次
[解析]　(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.
(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.
例2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
[解析]　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3．
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．
且易知事件C1与事件D1相等，
即C1＝D1．
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5．
例3　设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A发生，B，C不发生；
(4)A，B都发生，C不发生；
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
(6)A，B，C中恰好有两个发生.
[解析]　(1)ABC　(2)A∪B∪C
(3)A　(4)AB　(5)(A∪B)
(6)AB∪AC∪BC
五、课堂练习
1.下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品，合格率高于与合格率低于
2.“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件D为“两个黑匣子都研究”.则( )
A.A与C是互斥事件 B.B与D是对立事件
C.B与C是对立事件 D.C与D是互斥事件
3.从高二某班级中抽出三名学生，设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，则( ).
A.甲与丙互斥 B.任何两个均互斥
C.乙与丙互斥 D.任何两个均不互斥
4.一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是( )
A.至多有一次击中目标 B.三次都击不中目标
C.三次都击中目标 D.只有一次击中目标
5.若，则互斥事件A与B的关系是( )
A.A，B没有关系 B.A，B是对立事件 C.A，B不是对立事件 D.以上都不对
6.一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次正面向上”的互斥事件是( )
A.至多有一次正面向上 B.两次都正面向上
C.只有一次正面向上 D.两次都反面向上
7.（多选）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张，则对于事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”下列说法错误的有( )
A.是互斥事件 B.是互斥但不对立事件
C.是对立事件 D.是即不互斥也不对立事件
8.（多选）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，则下列四组事件中，互为对立事件的有( )
A.“这张牌是红心”与“这张牌是方块”
B.“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”
C.“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”
D.“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”
9.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，给出如下四组事件：
①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；
②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；
③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”；
④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”.
其中互为对立事件的有____________.（写出所有正确的编号）
10.某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是_____________.
六、课后练习
1.袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个球，其中是互斥而不对立事件的是( )
A.至少有一个白球与全部都是红球 B.至少有一个白球与至少有一个红球
C.恰有一个白球与恰有一个红球 D.恰有一个白球与全部都是红球
2.湘西州有甲、乙两个草原供游客休闲旅游，暑假期间龙龙和他的家人到湘西州旅游.记事件“只去甲草原”，事件“至少去一个草原”，事件“至多去一个草原”，事件“不去甲草原”，事件“一个草原也不去”.下列命题正确的是( )
A.E与G是互斥事件 B.F与I是对立事件
C.F与G是互斥事件 D.G与I是互斥事件
3.有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( ).
A.至多有1次中靶 B.2次都中靶
C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
4.如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么( ).
A.是必然事件 B.是必然事件
C.C与D一定互斥 D.C与D一定不互斥
5.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是( ).
A.至少有1件次品与至多有1件正品
B.至少有1件次品与2件都是正品
C.至少有1件次品与至少有1件正品
D.恰有1件次品与2件都是正品
6.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”.则( )
A.事件1与事件3互斥 B.事件1与事件2互为对立事件
C.事件2与事件3互斥 D.事件3与事件4互为对立事件
7.（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则( )
A.A与B为互斥事件 B.B与C为对立事件
C.与为互斥事件 D.与C为对立事件
8.（多选）从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：“至少有一个女生”，“至少有一个男生”，“恰有一个男生”，“两个都是女生”，“恰有一个女生”.下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.，
9.某电路如图所示，用A表示事件“灯泡变亮”，用B，C，D依次表示事件“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则__________.（用B，C，D间的运算关系式表示）
10.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽5件，现给出以下四个事件：“恰有1件次品”，“至少有2件次品”，“至少有1件次品”，“至多有1件次品”，并给出以下结论：①；②是必然事件；③；④.其中正确的结论为__________.（填序号即可）
答案及解析
三、知识梳理
1.一定发生；B A；A B；和；并；A＋B；A∪B；积；交；AB；A∩B；不能同
五、课堂练习
1.答案：B
解析：根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，
对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，为互斥事件；
对于B，统计一个班级数学期中考试成绩，
平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；
对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，为互斥事件；
对于D，检查某种产品，合格率高于与合格率为，为互斥事件；
故选：B.
2.答案：D
解析：事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；
事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”三种情况；
事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”或“两个黑匣子都不研究”三种情况：
事件D为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确：
对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确.故选D.
3.答案：A
解析：不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件，则事件甲“三名学生全不是男生”与事件丙“三名学生至少有一名是男生”为互斥事件.
4.答案：B
解析：一个人连续射击三次事件“至少有一次击中目标”的对立事件是“三次都击不中目标”.故选B.
5.答案：B
解析：根据对立事件的定义知，若A，B为对立事件，则其和事件的概率为1；若A，B为互斥事件，且，则A，B为对立事件.
6.答案：D
解析：对于A，至多有一次正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；
对于B，两次都正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；
对于C，只有一次正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；
对于D，两次都反面向上与至少有一次正面向上，不能够同时发生，是互斥事件.
故选D.
7.答案：CD
解析：根据题意可得，事件“甲分得红牌“与事件“丁分得红牌”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.故选CD.
8.答案：BD
解析：从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，A.“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；B.“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；C.“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；D.“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件.故答案为BD.
9.答案：②④
解析：从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，
①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；
②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；
③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；
④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件.
故答案为②④.
10.答案：2次都中靶
解析：事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”.
六、课后练习
1.答案：D
解析：对于A，事件“至少有一个白球”包含“2个白球”“1红1白”，与事件“全部都是红球”不可能同时发生，但必有一个发生，故为对立事件，不符合题意；
对于B，事件“至少有一个红球”包含“2个红球”“1红1白”，结合A知两个事件的交事件为“1红1白”，不是互斥事件，不符合题意；
对于C，两事件均为“1红1白”，为同一事件，不符合题意；
对于D，结合C知两事件不可能同时发生，但可能同时不发生，即“2个白球”，是互斥而不对立事件，符合题意.故选D.
2.答案：B
解析：事件F包含“只去甲草原”“只去乙草原”“甲、乙两个草原都去”三种情况；
事件G包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”三种情况；
事件H包含“只去乙草原”“一个草原也不去”两种情况.
对于A，C，D，两个事件均有可能同时发生，都不是互斥事件；
对于B，事件F与I不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，故B正确.故选B.
3.答案：C
解析：根据对立事件的概念，连续射击2次，
事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.
故选：C.
4.答案：B
解析：由于事件A与B互斥，即，
则（U为全集）是必然事件.
故选：B
5.答案：D
解析：A项中至少有1件次品与至多有1件正品是同一事件，不是互斥事件，它们都包括了“1件正品、1件次品”和“2件都是次品”的情况，故不满足条件.
B项中至少有1件次品与2件都是正品是对立事件，故不满足条件.
C项中至少有1件次品与至少有1件正品不是互斥事件，它们都包括了“1件正品、1件次品”的情况，故不满足条件.
D项中恰有1件次品与2件都是正品是互斥事件，但不是对立事件.因为除此之外还有“2件都是次品”的情况，故满足条件.
6.答案：B
解析：由题可知，事件1可表示为，事件2可表示为，
事件3可表示为，事件4可表示为，
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误.故选B.
7.答案：CD
解析：对于A，B，两个事件均有可能同时发生，A，B错误；
对于C，事件为甲、乙都中奖，事件为甲、乙都不中奖，两事件不可能同时发生，所以与为互斥事件，C正确；
对于D，事件表示甲、乙都不中奖，事件与C不可能同时发生，但必有一个发生，故两事件为对立事件，D正确.故选CD.
8.答案：AD
解析：对于A，事件C，E均为“1个男生1个女生”，则，A正确；
对于B，事件A为“1个男生1个女生或2个女生”，B为“1个男生1个女生或2个男生”，则，B错误；对于C，事件D为“两个都是女生”，E为“1个男生1个女生”，包含的样本点不相同，则，C错误；
对于D，事件B为“1个男生1个女生或2个男生”，D为“两个都是女生”，则，，D正确.故选AD.
9.答案：（或）
解析：由题图可得“灯泡变亮”即“开关Ⅱ与开关Ⅲ至少有一个闭合”且“开关Ⅰ闭合”，因此.
10.答案：①②
解析：由于事件A“恰有1件次品”和事件B“至少有2件次品”的和表示事件“至少有1件次品”，即事件C，故，即①成立.
由于事件B“至少有2件次品”和事件D“至多有1件次品”至少有一个发生，故是必然事件，即②成立.
由于，而，所以，故③不成立.
由于，而，所以，故④不成立.
故答案为①②.