7.2.2古典概型的应用 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

7.2.2古典概型的应用
一、学习目标
1.理解并进一步掌握古典概型的概念、概率计算公式，提升学生的数学抽象、数学运算素养
2.掌握互斥事件的概率加法公式
3.通过对现实生活中具体的概率问题的研究，感知应用概率解决实际问题的方法，体会概率知识在现实世界中的广泛应用
二、学习重难点
重点：
正确理解互斥事件的概率加法公式
难点：
能应用古典概型计算公式求复杂事件的概率
三、自主预习、知识梳理
1．建立不同的古典概型：一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把什么看作一个________(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不同的________去考虑，只要满足以下两点：
①试验中所有可能出现的基本事件只有______个，每次试验只出现其中的一个结果；
②每个试验结果出现的可能性______．就可以将问题转化为不同的________来解决，所得可能结果越____，那么问题的解决就变得越______．
2．互斥事件的概率加法公式：在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝______________.这一公式称为互斥事件的概率加法公式．
3．对立事件的概率加法公式
特别地， ，即 ，所以 ________________．
4．互斥事件概率加法公式的推广
一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝____________________________.
四、应用举例
例1 先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：两次出现的点数均为偶数点，：至少出现一个3点，求，，，.
答案：用数对来表示抛掷结果，则样本空间可记为Ω＝，则样本空间中共包含36个样本点.
A＝，A包含9个样本点.
B＝，B包含11个样本点.
所以；
；
；
因为事件A和事件B是互斥事件，所以
.
例2、某网站登录密码由四位数字组成.某同学注册时将自己生日的四个数字0，3，2，5重新编排了一个顺序作为密码.由于长时间未登录该网站，他忘记了密码.若登录时随机输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，则该同学不能顺利登录的概率是多少？
答案：
解：用事件A表示“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码”.由于事件A比较复杂，可考虑它的对立事件A，即“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，恰是密码”，显然它只有一种结果.四个数字0，3，2，5随机编排顺序，所有可能结果可用树状图表示如图
从上面的树状图可以看出，将四个数字0，3，2，5随机编排顺序，共有24种可能的结果，即样本空间共含有24个样本点，且24个样本点出现的结果是等可能的，因此可以用古典概型来解决.
由 ，得
例3、班级联欢时，主持人安排了跳双人舞、独唱和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与.把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生.将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目.
（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率.
（2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片.求：
①独唱和独奏由同一个人表演的概率；
②选出的不全是男生的概率
答案：
解：把抽取2张卡片的结果记为（i，j），其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号.
（1）依题意可知抽取的所有可能结果为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）.
共有20种可能的结果.因为每次都是随机抽取，所以可以认为每个结果出现的可能性相等，从而用古典概型来解决.
用事件A表示“选出的2人不全是男生”.
方法1：
依题意知事件A包含的样本点有（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有14种可能的结果.因此，事件A “选出的2人不全是男生”的概率是：
方法2：依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有（1，2），
（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），共有6种可能的结果.因此，
（2）与（1）中的不放回的抽取不同的是，（2）中的抽取是有放回的抽取.抽取的所有可能结果为
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）共有25种可能的结果.
因为每次都是随机抽取，所以可以认为每个结果出现的可能性相等，从而用古典概型来解决.
设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”，则事件B所包含的样本点有
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），共有5种可能的结果.
因此，
即独唱和独奏由同一个人表演的概率为 .
②设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”，包含的样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共有9种可能的结果.
因此，
即选出的不全是男生的概率为
五、课堂练习
1.四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为( )
A. B. C. D.
2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率
是( )
A.0.02 B.0.05 C.0.1 D.0.9
3.定义：我们把每个数字都比其左边数字大的正整数叫做“渐升数”，比如258，123等.在二位“渐升数”中任取一数，则该数比48小的概率为( )
A. B. C. D.
4.有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是( )
A. B. C. D.
5.口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1
7.（多选）掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中，正确的是( )
A. B. C. D.
8.（多选）同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件A表示“两枚骰子的点数之和为”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是偶数”.则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
9.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为__________.
10.有编号互不相同的五个砝码，其中5g、3g、1g砝码各一个，2g砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9g的概率是___________（结果用最简分数表示）.
六、课后练习
1.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
2.某医院派出4名男医生、2名女医生到北京各大医院观摩学习，现从这6人中任选2人去北京协和医院学习，则恰有1名男医生和1名女医生被选中的概率为( )
A. B. C. D.
3.疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从A，B，C，D，E，F六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到E社区宣传的概率为( )
A. B. C. D.
4.如图，这是一个古典概型的样本空间和事件A与B，其中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.34，那么摸出黑球的概率是( )
A.0.42 B.0.28 C.0.36 D.0.62
6.已知，，则事件“”发生的概率是( )
A. B. C. D.1
7.（多选）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件{第一个四面体向下的一面出现偶数}，事件{第二个四面体向下的一面出现奇数}，事件{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}.下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
8.（多选）某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能地随机顺序前往酒店接嘉宾，某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，，则( )
A. B. C. D.
9.将一个正方体的5个面均涂上红色，第6个面涂上蓝色，然后将其分割成27个同样大小的小正方体，则从至少有一个面涂色的小正方体中任取一个，取到恰有2个面涂色且涂不同颜色的小正方体的概率为__________.
10.某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中（每名同学只获得一个奖项）选出2名志愿者，参加运动会的服务工作.求：
（1）选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；
（2）选出的2名志愿者中，1名是获得书法比赛一等奖，1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.
答案及解析
三、自主预习、知识梳理
1.基本事件；角度；①有限②相同；古典概型；少；简单
2.P(A)＋P(B)；
3.1－P(A)
4.P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
五、课堂练习
1.答案：C
解析：由题意可知，中心对称图形有正方形、正六边形和圆，共3个，分别用A，B，C，D表示正方形、正五边形、正六边形和圆，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两张卡片上都是中心对称图形的结果有6种，（两张卡片都是中心对称图形）.故选C.
2.答案：C
解析：由题意知，该题是一个古典概型，因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型公式求得概率是.故选C.
3.答案：D
解析：十位是1的“渐升数”有12，13，…，19，共8个，十位是2的“渐升数”有23，24，…，29，共7个，
……，
十位是7的“渐升数”有78，79，共2个，
十位是8的“渐升数”有89，共1个.
故二位“渐升数”共有个，比48小的共有个，所以由古典概型概率的计算公式得所求的概率为.故选D.
4.答案：C
解析：设2人分别为A，B，则2人自2至6层离开电梯的所有可能情况为，，，，，，，…，，共25种，2人在相同层离开电梯的情况为，，，，，共5种，
所以2人在不同层离开电梯的概率.
5.答案：A
解析:记两个标有数字1的小球分别为A，a，两个标有数字2的小球分别为B，b，两个标有数字3的小球分别为C，c.从中任取两个小球的所有可能结果有Aa，AB，Ab，AC，Ac，aB，ab，aC，ac，Bb，BC，Bc，bC，bc，Cc，共15种情况，其中满足两个小球上的数字之和大于4的有BC，Bc，bC，bc，Cc，共5种情况.所以两个小球上的数字之和大于4的概率为.
6.答案：B
解析：5件产品中有件次品，记为a，b，有件合格品，记为c，d，e，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，
故选：B.
7.答案：BC
解析：由题知，掷两枚硬币有正正，反反，正反，反正，共4个基本事件，，，，，.故选BC.
8.答案：BCD
解析：设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，
样本点为，
则样本空间为，则，
事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，
，
所以，故A错误；
事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，
所以，故B正确；
事件C表示“两枚骰子的点数相同”，
，
所以，故C正确；
事件D表示“至少一枚骰子的点数是偶数”，
，
所以，故D正确.
故选：BCD
9.答案：
解析：记另外3位棋手分别为A，B，C，则样本空间{（甲乙A，BC），（甲乙B，AC），（甲乙C，AB），（甲AB，乙C），（甲AC，乙B），（甲BC，乙A），（乙AB，甲C），（乙AC，甲B），（乙BC，甲A），（ABC，甲乙）}，共10个样本点，设事件E为“甲和乙分在不同小组”，则为“甲、乙分在同一小组”，故{（甲乙A，BC），（甲乙B，AC），（甲乙C，AB），（ABC，甲乙）}，共4个样本点，所以.
10.答案：
解析：共有5个砝码，从中选3个有十种情况，其中3个砝码总质量为9克，有和两种组合，则从这些砝码中随机选取三个砝码，总质量为9克的概率为.
六、课后练习
1.答案：D
解析：记“”为事件A，由于a，，
则事件A包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16个，
而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等.
因此他们“心有灵犀”的概率.
故选：D.
2.答案：B
解析：设4名男医生分别为a，b，c，d，2名女医生分别为A，B，则从中任选2人有，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中恰有1名男医生和1名女医生的有，，，，，，，，共8个基本事件，因此所求概率.故选B.
3.答案：D
解析：从A，B，C，D，E，F六个社区中随机选出两个的结果有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中该小组到E社区宣传的结果有，，，，，共5种，因此所求概率为.
4.答案：A
解析：选项A，，所以，故A正确；
选项B，，故B错误；
选项C，因为，所以，故C错误；
选项D，因为，所以，故D错误.故选A.
5.答案：B
解析：.故选B.
6.答案：C
解析：，可能为，，，，，，.
当时，，满足条件的a，b为，，2，3；，，3；，.
当时，满足条件的a，b为，；
当，时，没有满足条件的a，b.
当时，满足条件的a，b为，；
当，时，没有满足条件的a，b.
事件“”发生的概率.故选C.
7.答案：ABD
解析：由古典概型的概率计算公式，得，，所以，A正确；，D正确；而事件A，B，C不可能同时发生，故，所以C不正确；又，，，所以，B正确.故选ABD.
8.答案：ACD
解析：三辆车到达酒店的顺序可能为，，，，，共6种情况，
方案一坐到“3号”车包含，，，共3种情况，
所以方案一坐到“3号”车的概率.
方案二坐到“3号”车包含，，共2种情况，
所以方案二坐到“3号”车的概率.
所以，，，A，C，D正确.
故选ACD.
9.答案：
解析：由题意知，将正方体分割成27个同样大小的小正方体，至少有一个面涂色的小正方体的个数为26，恰有2个面涂色且涂不同颜色的小正方体的个数为4，由古典概型的概率计算公式得所求概率.
10.答案：（1）（2）
解析：（1）把4名获得书法比赛一等奖的同学编号为1，2，3，4；
2名获得绘画比赛一等奖的同学编号为5，6.
从6名同学中任选2名的所有可能结果有，，，，，，，，，，，，，，，共15个.
从6名同学中任选2名，都是获得书法比赛一等奖的同学的所有可能结果有，，，，，，共6个.
所以选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率.
（2）从6名同学中任选2名，1名是获得书法比赛一等奖，另1名是获得绘画比赛一等奖的同学的所有可能结果有，，，，，，，，共8个.
所以选出的2名志愿者中，1名是获得书法比赛一等奖，1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.