7.3频率与概率 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

7.3频率与概率
一、学习目标
1、在实际情境中，让学生体会频率估计概率的必要性和合理性，并理解用频率估计概率的意义；培养学生数学抽象的数学素养；
2、通过经历数学试验，观察、发现随机事件的统计规律性，了解通过大量重复试验，用频率估计概率的方法求随机事件发生的概率，并在试验中体会精准估计的前提条件；提升学生数学运算的数学素养；
3、通过发现随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性的过程，体会偶然性和必然性的对立统一.
二、学习重难点
重点：让学生了解用频率估计概率的必要性与合理性，同时还要注意发展学生的数据分析观念.
难点：频率和概率的意义及关系.
三、自主预习、知识梳理
1.频率与概率：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的________，记作P(A)．显然，________≤P(A)≤________.我们通常用频率来估计概率．
四、应用举例
例1.为了确定某类种子的发芽率，从一大批这类种子种随机抽取了2000粒试种，后来观察到有1806粒发了芽，试估计这类种子的发芽率
答案：因为
所以估计这类种子的发芽率为0.903
例2. 2013年，北京地区拥有科普人员48800人，其中科普专职人员7727人，其余均为科普兼职人员.2013年9月的科普日活动种，到清华大学附属中学宣讲科普知识的是科普人员张明，估计张明是科普专职人员的概率（精确到0.01）
答案：可以算得，2013年北京地区科普专职人员占所有科普人员的比例为：
因此张明是科普专职人员的概率可估计为：0.16
例3. 为了了解某次数学考试全校学生得得分情况，数学老师随机读取了若干名学生的成绩，并以 为分组，作出了如图所示的频率分步直方图，从该学校中随机选取了一名学生，估计这名学生数学考试成绩在内的概率.
答案：由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中，在内的频率为：
因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学得分在内的概率可以估计为0.1.
根据用频率估计概率的方法可知，随机抽取一名学生，这名学生该次数学成绩在内的概率可以估计为0.1
五、课堂练习
1.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为( )
A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5
2.已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是( )
A.患此疾病的病人被治愈的可能性为
B.医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C.如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈
D.医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
3.在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是( )
A. B. C. D.
4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来石（古代容量单位）,验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等）,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.213石 B.152石 C.169石 D.196石
5.某人将一枚均匀的正方体骰子,连续抛掷了100次,出现6点的次数为19,则( )
A.出现6点的概率为0.19 B.出现6点的频率为0.19
C.出现6点的频率为19 D.出现6点的概率接近0.19
6.某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统计结果如下：
环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
击中的次数 0 0 1 2 4 4 6 10 12 13 8
则估计他击中的环数不小于8的概率为( )
A.0.46 B.0.55 C.0.57 D.0.63
7.（多选）下列说法中，正确的有( )
A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B.做n次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率就是事件的概率
C.频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D.任意事件A发生的概率总满足
8.（多选）下列说法正确的有( )
A.一个人打靶10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6
B.一个骰子掷6次，一定会出现一次点数2
C.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D.大量试验后，可以用频率近似估计概率
9.某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示.
胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数
307 120 73
则使用药物后胆固醇降低的概率为___________.
10.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是_________________.
六、课后练习
1.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
2.一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为( )
A.200颗 B.300颗 C.400颗 D.500颗
3.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则( )
A.100 B.300 C.400 D.600
4.关于频率和概率，下列说法正确的是( )
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率约为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000.
A.②④ B.①④ C.①② D.②③
5.给出下列三个命题：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率是这个随机事件发生的概率.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚.为了解消费者对网上购物的满意情况，某研究机构随机对4500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如下表：
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2100 1000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者小马对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为( )
A. B. C. D.
7.（多选）下列关于频率与概率的说法中，错误的是( )
A.若有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确
8.（多选）下列说法正确的有( )
A.某地大、中、小型超市分别有20家、40家、140家，现用分层抽样的方法从这些大、中、小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市2家
B.在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是0.5
C.一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好
D.在抛币试验中，试验次数从1增加到10的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率
9.某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干名师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，其分组区间为，，，，，.
将满意度评分从低到高分为四个等级：
满意度评分/分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人.
（1）求表中a的值及不满意的人数；
（2）设事件A表示“满意度评分不低于80分”，估计事件A发生的概率；
（3）若师生的满意指数不低于0.8，则该校可录得“教学管理先进单位”的称号.根据你所学的统计知识，判断该校能否获得“教学管理先进单位”的称号.
注：满意指数.
10.某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为400瓶；如果最高气温低于，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温/℃
天数 1 17 38 22 7 5
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于各区间的概率.
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
答案及解析
三、自主预习、知识梳理
1.常数；概率；0；1
五、课堂练习
1.答案：C
解析：在所给的数据中，在之间的数据有
498,501,500,501,499共5个，
所以数据在之间的频率为：.
用频率估计概率，则所求概率为0.25.
故选：C
2.答案：A
解析：某医院治疗一种疾病的治愈率为，
对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确；
对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为，
不一定有一位病人被治愈，故B错误；
对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误；
对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故D错误
故选：A.
3.答案：A
解析：在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于，
所以可以用近似的代替，即，
故选：A.
4.答案：C
解析：根据题意,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则样本中夹谷的频率为,
则这批米内夹谷约为（石,
故选：C.
5.答案：B
解析：由题可得，出现6点的频率为
故选：B.
6.答案：B
解析：击中的环数不小于8的频率为，因此估计其概率为0.55.故选B.
7.答案：AC
解析：根据频率和概率的定义易得A，C正确；对于B，因为概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，所以不能说频率就是概率，故B错误；对于D，任意事件A发生的概率总满足，故D错误.故选AC.
8.答案：CD
解析：A.一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，那么此人中靶的频率为0.6，故A错误；B.虽然一个骰子掷6次出现一次点数2的概率是，但掷6次不一定会出现一次点数2.故B错误；C.根据古典概型的概率公式可知C正确；D.大量试验后，可以用频率近似估计概率，故D正确.故选CD.
9.答案：
解析：依题意知，使用药物后胆固 降低的人数为307，又实验总次数为500，所以使用药物后胆固醇降低的概率为.故答案为.
10.答案：0.03
解析：在一年内挡风玻璃破碎的频率为，用频率来估计挡风玻璃破碎的概率.
六、课后练习
1.答案：D
解析：用频率估计概率，可知某一结果出现的概率在之间.
对于A，抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，A不符合；
对于B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，B不符合；
对于C，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率为，C不符合；
对于D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，D符合.故选D.
2.答案：B
解析：设白色围棋子的数目为n，由已知可得，解得，即白色围棋子的数目大约有300颗.
故选B.
3.答案：B
解析：当且仅当最高气温低于时，这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，由表格数据知，最高气温低于的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.故选B.
4.答案：A
解析：①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学投篮命中的频率为，错误；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016，抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005，如果他抛掷36000次硬币，从频率角度来说，正面向上的频率可能大于0.5005，正确；
③概率只是预测事件发生的可能性，某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1806粒种子发芽，错误；
④将一个均匀的骰子抛掷一次，出现点数大于2的概率为，则抛掷6000次，出现点数大于2的次数大约为4000，正确.故选A.
5.答案：A
解析：概率反映的是事件发生的可能性大小，随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，故①②③均不正确.
6.答案：C
解析：由题意得，，因为随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.由此估计在网上购物的消费者小马对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C.
7.答案：AC
解析：对于A，从产品中任取100件，可能有10件次品，也可能多于或少于10件次品，A错误；
对于B，抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，符合频率定义，B正确；
对于C，大量重复试验中事件发生的频率通常在某一常数附近摆动，此常数为概率，因此可用频率估计概率，但频率不是概率，C错误；
对于D，10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确”的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确.故选AC.
8.答案：AC
解析：对于选项A，用分层抽样的方法从这些大、中、小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市的数量为，故选项A正确；
对于选项B，随机事件发生的概率P满足，即事件发生的概率不一定为0.5，故选项B不正确；
对于选项C，一组数据的标准差越小，方差就越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好，故选项C正确；
对于选项D，当试验的次数很大时，随机事件的频率接近其概率，试验次数从1增加到10的过程中，试验的次数太少，随机事件发生的频率不一定接近其概率，故选项D不正确.
故选AC.
9.答案：（1），不满意的人数为60
（2）0.6
（3）能
解析：（1）由题中频率分布直方图可得，
设不满意的人数为x，则，解得，
故不满意的人数为60.
（2）“满意度评分不低于80分”的频率为，
故事件A发生的概率估计值为0.6.
（3）师生的满意指数，
所以该校能获得“教学管理先进单位”的称号.
10.答案：（1）456瓶
（2）元或200元或-400元；估计Y大于零的概率为
解析：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间和最高气温低于的天数为，
估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率为.
前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为（瓶）.
（2）当最高气温大于等于时，需求量为600，
（元）；
当最高气温在时，需求量为400，
（元）；
当最高气温低于时，需求量为300，
（元）.
则当最高气温大于等于时，.
由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温大于等于的天数为，
估计Y大于零的概率为.