第12讲 函数的图象
一、知识梳理
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
2、图象变换
常用结论
1.记住几个重要结论
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x都满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.图象的左、右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.
3.图象的上、下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行.
二、核心原则
图象的表示方法
（1） 描点法 ：适用于已知函数解析式，通过关键点（如零点、极值点）绘制图象。
（2） 变换法 ：通过平移（左加右减、上加下减）、对称（关于x轴、y轴、原点）、伸缩（横向/纵向缩放）等变换，由基本函数（如一次、二次、指数、对数函数）图象生成目标图象。
图象识别要点
（1） 定义域与值域 ：确定图象的横向和纵向范围。
（2） 单调性 ：上升/下降趋势反映函数的增减性。
（3） 奇偶性 ：对称性（偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称）。
（4） 周期性 ：重复性特征（如三角函数）。
解题核心思想
（1） 数形结合 ：通过图象分析函数性质（单调性、极值、零点等）。
（2） 动态变换 ：理解平移、对称、伸缩对解析式的影响。
（3） 分段处理 ：对分段函数逐段作图并拼接。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：作函数图象
解题策略 ： 步骤 ：确定定义域→分析性质（奇偶性、单调性）→选取关键点→描点连线。
【例1】已知函数.
(1)请画出函数的图象，并求的解集；
(2)，，求的最大值.
【详解】（1）∵，∴.
函数图象如右所示：
由图可知的解集为.
（2）由（1）知，的图象与轴交点的纵坐标为，
且各部分所在直线斜率的最小值为，
故当且仅当，时，恒成立，
此时有最大值.
即的最大值是.
题型2：函数图象识别
解题策略 ：（1） 排除法 ：根据定义域、奇偶性排除错误选项。
（2） 特征点验证 ：如f(0)f(0)、f(1)f(1)等特殊值是否匹配。
【例2】函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由，且定义域为R，所以为奇函数，排除A、B；
，排除D.
故选：C.
题型3：根据图象选解析式
解题策略 ：观察图象特征（如渐近线、周期性、对称性）反向匹配解析式。
【例2】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
【详解】对于A， 在处无意义，故A错误；
对于B：的定义域为，故B错误；
对于C：的定义域为，
且，则为偶函数，故C错误；
对于D，满足图中要求，故D正确.
故选：D.
题型4：图象变换
解题策略 ：（1） 平移 ：（2） 伸缩 ：
【例3】函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，所以，其定义域为，
且，所以为偶函数，故排除BC；
又时，，
当时，，故排除A，
故选：D.
题型5：实际问题的函数图象
解题策略 ：建立变量关系式（如路程-时间、面积-边长），分段分析动态过程。
【例4】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
详解】当时，，是一条过原点的线段；
当时，，是一段平行于轴的线段；
当时，，图象为一条线段.
故选：A．
题型6：利用图象研究性质
解题策略 ：（1） 单调性 ：观察上升/下降区间。（2） 极值 ：图象的峰谷点对应极大/极小值。
【例5】函数的图象如图所示，其单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题图可知，函数的单调递增区间为.
故选：C.
题型7：图象解方程/不等式
解题策略 ：（1） 零点问题 ：图象与x轴交点的横坐标。（2） 不等式 ：比较函数图象与直线的上下关系。
【例6】已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【详解】由题意，令，解得或，
作出的图象，如图，
由图可知，直线与图象有3个交点，
直线与图象有4个交点，
所以原方程有7个解，
即函数有7个零点.
故选：C.
题型8：图象求参数范围
解题策略 ：结合交点个数、切线条件等分析参数临界值。
【例7】已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】若函数恰有3个零点，
即函数与的图象有3个交点，
，
当时，，当时，，
函数的图象如下，
结合图象可得.
故选：A.
四、典例欣赏
【例8】(多选题)如图所示,在平面直角坐标系xOy中放置着边长为2的正方形ABCD,该正方形沿x轴滚动(无滑动滚动),点D恰好经过坐标原点,设顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则 ( AC )
A.方程f(x)=2在[-3,9]上有三个根
B.f(-x)=-f(x)
C.f(x)在[6,8]上单调递增
D.对任意x∈R,都有f(x+4)=-
【详解】当-4≤x≤-2时,B的轨迹是以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的;
当-2≤x≤2时,B的轨迹是以(0,0)为圆心,2为半径的圆的;
当2≤x≤4时,B的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆的;
当4≤x≤6时,B的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆的……
作出函数f(x)的部分图象,如图所示.
由图知,函数y=f(x)的图象与直线y=2在[-3,9]上有三个交点,
即方程f(x)-2=0在[-3,9]上有三个根,故A正确;
函数y=f(x)的图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)是偶函数,故B错误;
函数f(x)在[6,8]上单调递增,故C正确;
由图知,f(2)=2,f(-2)=2,f(2)≠-,故D错误.故选AC.第12讲 函数的图象
一、知识梳理
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
2、图象变换
常用结论
1.记住几个重要结论
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x都满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.图象的左、右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.
3.图象的上、下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行.
二、核心原则
图象的表示方法
（1） 描点法 ：适用于已知函数解析式，通过关键点（如零点、极值点）绘制图象。
（2） 变换法 ：通过平移（左加右减、上加下减）、对称（关于x轴、y轴、原点）、伸缩（横向/纵向缩放）等变换，由基本函数（如一次、二次、指数、对数函数）图象生成目标图象。
图象识别要点
（1） 定义域与值域 ：确定图象的横向和纵向范围。
（2） 单调性 ：上升/下降趋势反映函数的增减性。
（3） 奇偶性 ：对称性（偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称）。
（4） 周期性 ：重复性特征（如三角函数）。
解题核心思想
（1） 数形结合 ：通过图象分析函数性质（单调性、极值、零点等）。
（2） 动态变换 ：理解平移、对称、伸缩对解析式的影响。
（3） 分段处理 ：对分段函数逐段作图并拼接。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：作函数图象
解题策略 ： 步骤 ：确定定义域→分析性质（奇偶性、单调性）→选取关键点→描点连线。
【例1】已知函数.
(1)请画出函数的图象，并求的解集；
(2)，，求的最大值.
题型2：函数图象识别
解题策略 ：（1） 排除法 ：根据定义域、奇偶性排除错误选项。
（2） 特征点验证 ：如f(0)f(0)、f(1)f(1)等特殊值是否匹配。
【例2】函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
题型3：根据图象选解析式
解题策略 ：观察图象特征（如渐近线、周期性、对称性）反向匹配解析式。
【例2】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
题型4：图象变换
解题策略 ：（1） 平移 ：（2） 伸缩 ：
【例3】函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
题型5：实际问题的函数图象
解题策略 ：建立变量关系式（如路程-时间、面积-边长），分段分析动态过程。
【例4】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
题型6：利用图象研究性质
解题策略 ：（1） 单调性 ：观察上升/下降区间。（2） 极值 ：图象的峰谷点对应极大/极小值。
【例5】函数的图象如图所示，其单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
题型7：图象解方程/不等式
解题策略 ：（1） 零点问题 ：图象与x轴交点的横坐标。（2） 不等式 ：比较函数图象与直线的上下关系。
【例6】已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型8：图象求参数范围
解题策略 ：结合交点个数、切线条件等分析参数临界值。
【例7】已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
四、典例欣赏
【例8】(多选题)如图所示,在平面直角坐标系xOy中放置着边长为2的正方形ABCD,该正方形沿x轴滚动(无滑动滚动),点D恰好经过坐标原点,设顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则 ( AC )
A.方程f(x)=2在[-3,9]上有三个根
B.f(-x)=-f(x)
C.f(x)在[6,8]上单调递增
D.对任意x∈R,都有f(x+4)=-
