第二讲 基本不等式讲义-2026届高三数学一轮复习 (原卷版+解析版)

一、基础知识梳理
常用结论
1．几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）≥2(a，b同号)．
（3）ab≤2(a，b∈R)．
（4）≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b．
2．基本不等式链
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
二、典型例题
题型一 利用基本不等式求最值
考向1 直接法求最值
已知，求的最小值．
考向2 配凑法求最值
已知，求的最小值；
求的最大值．
考向3 “1”的代换求最值
设正数x，y满足下列条件，分别求的最小值．
（1）；
（2）．
5. 已知，为正实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
考向4 消元法求最值
6.若，，且，求与的最小值．
考向5 构造不等式法求最值
若，，且，求的取值范围．
题型二：与基本不等式有关的恒（能）成立问题
已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
题型三：基本不等式的实际应用
9.（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
三、课堂练习
1.【多选】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（ ）
A.6 B.12 C.2 D.4
2.函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知，，，则的最小值是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
4.已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
5.若正实数满足，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ．
7.在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A.0.25米 B.0.5米 C.0.75米 D.1米
8.若正数满足：，（1）求的取值范围；（2）求的取值范围．
9.已知，，则的最大值为 ．
四、课后作业
1．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
3．已知，则有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值
4．已知，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知，则的最小值是（ ）
A． B．1 C．4 D．7
6．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
7．函数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
9．若（，），则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．49
10．若，且，则的最小值为 ．
11．实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．设，则 （ ）
A． B．
C． D．
14．函数在上的值域为 .
15．求下列各题的最值．
(1)已知，求的最小值；
(2)设，求函数的最大值．
参考答案
1．B
【详解】由，得，所以
，
当且仅当，即，时取得等号．
2．D
【详解】由题意，，在中，
，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，
3．C
【详解】已知，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以已知，则有最大值.
4．A
【详解】由，可得，
又因为，，所以，当且仅当时取等
5．A
【详解】由，得，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.
6．C
【详解】，当且仅当时等号成立.
7．C
【详解】因，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以当时，取最小值为3.
8．A
【详解】由于，则，故，
当且仅当，即时取等号，即的最小值为.
9．B
【详解】由题设且，
所以，当且仅当，即，时取等号.
10．3
【详解】因为，所以．
因为，所以，
则，当且仅当，即时，等号成立，则，即的最小值为3．
11．B
【详解】因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
12．B
【详解】由，则，所以，
当且仅当时，等号成立.
13．D
【详解】，则，
，
当且仅当时，等号成立，则.
14．
【详解】当时，；
当时，令，，则，
，当且仅当，即时取等号，此时，
所以所求值域为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：由，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
（2）解：由，可得，
则 ，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.