素养提升小题训练27：知识网络交汇问题（高考第T7、T8、T10、T11、T14）
一、单选题
1. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由，可得，
所以曲线在处的切线方程是，
令得，所以
.
故选：A．
2. 已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A. 23 B. 12 C. 20 D.
【答案】D
【解析】由题意可知：，
当时，；
当时，，
两式相减可得：，整理得：，
所以，或，
当是公差为的等差数列，且时，最小，可能最大，
此时，解得，此时；
当且是公差为的等差数列时，最大，可能最大，
此时，解得，此时；
综上所述：的最大值为.
故选：D.
3. 在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在中，成等差数列，所以，
又，所以，设所成等比数列得公比为，则
，，
由正弦定理可得，
整理可得，，
又，即，
整理可得，
所以解得，故，于是，所以，
故选：D.
4. 已知，若，当取得最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】已知，根据两角和与差的正弦公式展开可得：
，移项可得：．
因为，所以，，等式两边同时除以，得到．
根据两角差的正切公式可得：．
令，因为，所以，则．
根据基本不等式：，当且仅当，即，时等号成立．
所以，即当时，取得最大值．
因为，当时，．
当取得最大值时，，
故选：A．
5.已知函数的定义域为，且，，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，即，
设，则，
所以，即，
所以，
，故选C.
6.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意的，，则，，
所以，在中，，，，且，则，，
，
则，
所以， 由正弦定理得，，
即.
故选：C．
二、多选题
7. 已知数列满足，则（ ）
A. 数列为递增数列 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】设，对其求导可得．
因为恒成立，所以在上单调递增．
已知，则，依次有，,
，设，，对求导得．
当时，，所以，在上单调递减．
则，即，所以为递增数列，A选项正确．
由上述分析可知，所以不存在，使得，B选项错误．
要证，即证．
设，，对求导得．
令，求导得，当时，，
所以上单调递减．则，
所以在上单调递增．
所以，即，
所以，，C选项正确.
由选项C知，移项可得，
两边同时乘以得.
两边同时取倒数得，移项可得.
因为，所以，即.
利用累加法：
.
已知，则，所以，两边同时取倒数得，
移项可得，选项D正确.
故选：ACD.
8. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】ABD
【解析】由，得该圆心为，半径为，
易知该圆过原点，由，当时，
得，作出函数图象，如图，
由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点，
当时，圆与函数的图象有1个交点，
当时，圆与函数的图象有2个交点，
当时，圆与函数的图象有4个交点，
根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可.
故选：ABD
9. 某数学研究小组发现，函数的图象是双曲线，设其焦点为M，N，点P为其图象上任意一点，则（ ）
A. 直线是它的一条渐近线 B. 它的离心率为
C. 点是它的一个顶点 D.
【答案】ABD
【解析】因为函数中，当时，，
所以函数在第一象限的图象夹在直线和轴之间且无限接近于两直线，
因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，
所以直线和轴是双曲线的渐近线，所以正确；
因为两渐近线的夹角为，所以双曲线的焦点所在的直线是两渐近线的角平分线所在直线，即，
由，可得或，
所以顶点坐标为，，所以错误；
两顶点之间的距离为，
因为焦点为M，N，点P为其图象上任意一点，
根据双曲线的定义可得，所以正确；
若将双曲线绕其对称中心中心（原点）顺时针旋转可使直线变为轴，其渐近线变为直线，
则双曲线的离心率，所以正确.
故选：.
10. 如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】设记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，
则，其中，
计算易得，故A、C正确，B错误；
由原方程组可得，
则，所以为常数列，且①.
同理，且，所以②，
由①②可知，=，所以，故D正确.
故选：.
11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则三棱锥体积为定值
B. 若，则动点所围成的图形的面积为
C. 若，则的最小值为3
D. 若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】对A,因为动点在正方体内及其边界上，
且，则的轨迹为线段．
由于，平面，所以，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对B,易知平面，
动点在正方体内及其边界上，且，
所以动点所围成的图形是矩形，则面积为，故B正确；
对C，设边上的高为,则，
由正弦定理可得，所以，故，
以为点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，设，，
则，
又因为，整理得：，
所以空间动点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体，
又因为，所以，故C错误；
对D,在棱上取，则．
因为异面直线与所成角为，则直线与所成角为，
故空间动点轨迹是以为旋转轴，
为母线的共顶点的双圆锥，直线是圆锥的一条母线，
又动点在底面内，故动点的轨迹在平面与双圆锥的截痕（椭圆）上，
椭圆以为长轴，球是底面与圆锥封闭几何体的内切球，
球与底面的切点为椭圆靠近顶点的焦点．
如图，即，
即，则，所以椭圆的离心率，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________．
【答案】##
【解析】题意，因为项数为6且，
所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理，
可构成的数列个数为个，
由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等，
①则若中没有0，则数列为，不符合题意，
②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，
③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义；
④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为，
若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意，
综上，符合题意的“好数列”只有4个，
所以数列是“好数列”的概率为.
故答案为：
13. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，点，沿轴将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥体积最大时，____________.
【答案】##
【解析】由于直线过焦点，且与抛物线交于两个不同的点，故设其方程为，联立方程，消去得，，
所以，所以，当，即时，三棱锥体积最大．
故答案为：．
14. 袋中装有大小相同的三个小球，其编号分别为1，2，3.每次从袋中随机地摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取.设第次摸取小球的编号为（），则在中：圆的个数的均值为__________；有且只有是焦点在轴上的椭圆的概率为_________.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】，表示圆，则，
则符合的组对有：，则，
又，所以；
首项表示焦点在轴上的椭圆，则，
当时，，要使，只需要考虑从1到5五个位置第一次出现1的情况，共6种；
当时，或，两种情况，要使，
只需要考虑从1到5五个位置出现3的次数，
如果有5个3，有1种情况；如果有4个3，有2种情况；如果有3个3，有3种情况；
如果有2个3，考虑1第一次出现的位置，有4种情况；如果有1个3，考虑1第一次出现的位置，有5种情况；
如果有0个3，有6种情况；
所以只有是焦点在轴上的椭圆的情况数有，
所以只有是焦点在轴上的椭圆的概率.
故答案为：2；.
15. (改编)已知点M是抛物线上一动点，过点M作直线MN与圆相切于点N，则面积的最小值为
【答案】4
【解析】由题意得：表示以圆心，以为半径的圆，可知，
所以，
设，则，
令，则， 令，则，所以单调递增，即单调递增.又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减.
所以，即面积的最小值为素养提升小题训练27：知识网络交汇问题（高考第T7、T8、T10、T11、T14）
一、单选题
1. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A. 23 B. 12 C. 20 D.
3. 在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，若，当取得最大值时，（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，且，，设，则（ ）
A. B. C. D.
6.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7. 已知数列满足，则（ ）
A. 数列为递增数列 B.
C. D.
8.（山东省青岛市2026届高三上学期部分学生8月调研检测T11） 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 某数学研究小组发现，函数的图象是双曲线，设其焦点为M，N，点P为其图象上任意一点，则（ ）
A. 直线是它的一条渐近线 B. 它的离心率为
C. 点是它的一个顶点 D.
10. 如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则三棱锥体积为定值
B. 若，则动点所围成的图形的面积为
C. 若，则的最小值为3
D. 若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为
三、填空题
12. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________．
13. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，点，沿轴将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥体积最大时，____________.
14.（成都市2026届高中毕业班摸底T14） 袋中装有大小相同的三个小球，其编号分别为1，2，3.每次从袋中随机地摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取.设第次摸取小球的编号为（），则在中：圆的个数的均值为__________；有且只有是焦点在轴上的椭圆的概率为_________.
15. (改编)已知点M是抛物线上一动点，过点M作直线MN与圆相切于点N，则面积的最小值为
