素养提升小题训练17：函数的构造问题 （高考第T7、T8、T10、T11、T14）
单选题
1.已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.（四川省广安市三区联考2026届高三上学期8月T8） 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
3.（河北省石家庄市2025届高三下学期5月三模T7）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.（江西省宜春市2025届高三下学期二模T8） 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、多选题
6.已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7.（湖北省恩施高中、夷陵中学、郧阳中学2025届高三下学期5月T11）下列不等关系中，正确的是（ ）
A. B．
C. D．
8. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增
C. D.
9. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ）
A. B. C. 1 D.
10. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增
C. D.
三、填空题
11.（四川省成都市石室中学2026届高三零诊模拟T14） 若恒成立，则实数______．
12.已知定义在上的函数满足：，则 ；若，对任意的，都有，则当时，不等式的解集为素养提升小题训练17：函数的构造问题 （高考第T7、T8、T10、T11、T14）
单选题
1.已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
因为，，
为奇函数，
又因为，由函数单调性可知为的增函数，
，则，
，，，
，．
故选A．
2.（四川省广安市三区联考2026届高三上学期8月T8） 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，则，
，，即在R上单调递减，
又，则不等式等价于，
，即，
，解得.所以不等式的解集为.
故选：C.
3.（河北省石家庄市2025届高三下学期5月三模T7）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】构造函数，其中，则，
故函数为偶函数，
当、且时，都有成立，
不妨设，则，即，
故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，
因为，则，
当时，由得，即，解得；
当时，由得，即，解得
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
4. 已知函数，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，符合题意；
当时，存在，使得，即，显然不满足题意；
当时，由得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
由得，
设，则，
所以在上单调递减，又，所以，
综上，，即的取值范围是.
故选：B
5.（江西省宜春市2025届高三下学期二模T8） 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式可化为，，又，
所以，故，
由已知不等式在上恒成立，
因为有意义，故，又，所以，
当时，不等式恒成立，
设，，则，
因为，所以，所以函数在上单调递增，
所以，故，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，所以，所以的取值范围为故选：C.
二、多选题
6.已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】构造函数 ， ，
当 时， ， 时， ， 时， ，
在处取最大值， ， ，
函数图像如下：
， ，A正确；B错误；
， ，
，C正确，D错误；
故选：AC.
7.（湖北省恩施高中、夷陵中学、郧阳中学2025届高三下学期5月T11）下列不等关系中，正确的是（ ）
A. B．
C. D．
【答案】ACD
【解析】对A.当 ，，令，可得，所以，故A对；
对B. 当时，恒成立，令，可得，故B错；
对C. 法1：因为，所以，令，可得C对.
法2：构造函数，易证：在单调递增，所以，，可得，
可知，.故C对；
对D. 构造函数，，，，所以， 在，可得，令，所以，故D对.
故选ACD.
8. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增
C. D.
【答案】ACD
【详解】令，而是定义在上的奇函数，则，
，即在R上也是奇函数，
而，当时，，
所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减，
综上，时，时，，故，
显然时，故时，时，
所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对；
由，显然在上单调递增，且，
在上单调递减，在上单调递增，且周期为，，
所以在上不一定单调，B错.
故选：ACD
9. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
所以可化为，
即；令，
则有对于定义域内任意，都有，
所以在上单调递减，所以在上，；
因为，所以，即，
因为，所以，即；
令，，当时，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
可化为，，因为所以；
由，可知当时，，当时，，
根据在上的单调性以及的正负情况，
有：若，则在上恒成立，所以，
即在上恒成立；令，则，
，解得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递增减，
所以时，取得最大值，，所以；
因为，，均满足题意，不合题意，所以ACD正确，B错误.
故选：ACD.
【归律总结】隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为，即.
10. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增
C. D.
【答案】ACD
【详解】令，而是定义在上的奇函数，则，
，即在R上也是奇函数，
而，当时，，
所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减，
综上，时，时，，故，
显然时，故时，时，
所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对；
由，显然在上单调递增，且，
在上单调递减，在上单调递增，且周期为，，
所以在上不一定单调，B错.
故选：ACD
三、填空题
11.（四川省成都市石室中学2026届高三零诊模拟T14） 若恒成立，则实数______．
【答案】##
【解析】因为恒成立，即恒成立，即恒成立，
设，则恒成立，
又，则在上单调递增，
可得恒成立，即恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即恒成立（当且仅当时取等号），
所以，解得故答案为：
12.已知定义在上的函数满足：，则 ；若，对任意的，都有，则当时，不等式的解集为
【答案】
【详解】由，令，得，解得；
设，则，由，得，即，设，则在上单调递减．由，得，即．
所以解得，即不等式的解集为．
故答案为：2；.
