素养提升小题专项训练13：三次函数（高考第T7、T8、T10、T11、T14）
单选题
1. 已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 当时，是极大值点
B. 存在实数，使得成立
C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是
D. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
2.设，函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 若，则当时，
C. 若有个零点，则的取值范围是
D. 若存在，满足，则
3. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，若关于的方程在区间上有两解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D.（1，2）
二、多选题
4. 三次函数叙述正确的是（ ）
A. 当时，函数无极值点 B. 函数的图象关于点中心对称
C. 过点的切线有两条 D. 当时，函数有3个零点
5.已知函数满足，，则（ ）
A. B. 对于任意，有三个零点
C. 对于任意，有两个极值点
D. 存在，使得点为曲线对称中心
6.设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
7.设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
8.已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则的取值范围为
9. 已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称 B.
C D.
三、填空题
10. 已知函数，若关于的不等式的解集为且，则的极小值为______．
11．若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有两个零点x1，x2，且|x2－x1|＝1，则函数f（x）所有可能的极大值为 .素养提升小题专项训练13：三次函数（高考第T7、T8、T10、T11、T14）
单选题
1. 已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 当时，是极大值点
B. 存在实数，使得成立
C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是
D. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
【答案】C
【解析】A：，令，得或.
当时，，令或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，故A正确；
B：，
所以，
整理得，
所以，解得，即存在使得，故B正确；
C：若在上单调递减，则在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
又在上单调递减，其值域为，所以，故C错误；
D：由选项A知，当时，，
令，解得，所以函数又两个零点，不符合题意；
当时，，令或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值，
且当时，，当时，，
要使存在唯一的零点，则，
解得或（舍去），所以，此时，不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值，
且当时，，当时，，
要使存在唯一的零点，且，则，
解得或（舍去），所以.
综上，的取值范围为，故D正确.
故选：C
2.(改编题) 设，函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 若，则当时，
C. 若有个零点，则的取值范围是
D. 若存在，满足，则
【答案】D
【解析】对于A选项，，
当时，，单调递增，无极值点；
当时，得或，，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时有两个极值点，故A选项错误；
对于B选项，当，时，
由上述知，在上单调递增，在上单调递减，
则，故B选项错误；
对于C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，若有个零点，
则由单调性可知必然有，解得.
而当时，，，
在区间，，中分别各有一个零点，
故C选项错误；
对于D选项，，
等价于或，，故D选项正确.
故选：D
3.(改编题) 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，若关于的方程在区间上有两解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D.（1，2）
【答案】B
【解析】对于三次函数，则，，
若，令，则（、为的两根，为三次函数的两个极值点），
令，则，所以，
依题意的极大值点和极小值点分别为，且有，
所以的对称中心为，
对于A，由，可得，，
所以，即，解得，
对于B，因为，，
当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
则的图象如下所示：
由图可知与有且仅有个交点，所以方程有三个根，故B正确；
对于C，又，若关于的方程在区间上有两解，
即与在区间上有两个交点，则，故B正确；
故选：B
二、多选题
4. （湖南省岳阳市2025届高三下学期考情信息卷（一）T10） 三次函数叙述正确的是（ ）
A. 当时，函数无极值点 B. 函数的图象关于点中心对称
C. 过点的切线有两条 D. 当时，函数有3个零点
【答案】ABD
【解析】对于A，，，，单调递增，无极值点，故A正确；
对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；
对于C：设切点，则切线方程为，
因为过点，所以，，解得，
即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；
对于D：，当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又有极大值为，所以若函数有3个零点，
则有极小值为，得到，故D正确．
故选：ABD．
5.已知函数满足，，则（ ）
A. B. 对于任意，有三个零点
C. 对于任意，有两个极值点
D. 存在，使得点为曲线对称中心
【答案】AB
【解析】对于A，由，，
可得，即，故A正确；
对于B，由A选项可得，
则，则，
当时，令，则，
令，则或，
令，则，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，
由，可得，
而，所以，
又当时，，当时，，
所以函数在和都存在一个零点，
所以对于任意，有三个零点，故B正确；
对于C，当时，，则，
由，得恒成立，
所以函数上单调递增，所以函数无极值点，故C错误；
对于D，要使点为曲线对称中心，则为定值，
而
，因为为定值，所以，解得，
所以不存在，使得点曲线对称中心，故D错误.
6.（2024年新课标全国Ⅱ卷）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
7.（2024年新课标全国Ⅰ卷）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
8.（重庆市部分区县2025届高三下学期5月三诊T11） 已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于选项AB：因为，可知有2个不同实根，
则，且，即，故A正确，B错误；
对于选项C：可得，故C正确；
对于选项D：因为，
构建
若，即，即，
且，则，可得，解得，
所以的取值范围为.
故选：ACD.
9. 已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称 B.
C D.
【答案】BCD
【解析】A选项，令，则，满足为偶函数，但的图象如下，不关于直线对称，A错误；
BD选项，为偶函数，故为奇函数，
即，即，
故，故点为曲线的对称中心，
故，则，故B，D正确；
C选项，由题意得，令，则，
由于曲线的对称中心为，结合三次函数的图象特征可知，
，则，又，故，故C正确.
故选：BCD.
三、填空题
10. 已知函数，若关于的不等式的解集为且，则的极小值为______．
【答案】
【解析】由题意可得，
即，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
共有的极小值为.
故答案为：.
11．若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有两个零点x1，x2，且|x2－x1|＝1，则函数f（x）所有可能的极大值为 .
【答案】0，
【解析】由于，所以，
由于函数恰有两个零点，所以有2个不等实数根，
所以的图象呈先增，再减，再增的趋势，
所以其中一个极值点就是零点，假设，
即是极值点又是零点，如下图：
则，此时的极大值刚好为，
即是极值点又是零点，如下图：
则，即，
设为极大值点，则，即，
显然，则，整理得，又，所以；
此时的极大值为，
故答案为：0，.
