两角和、差及倍角公式
一、知识梳理
1.两角和、差及二倍角公式
2.两角和与差的正切公式的常用变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
3.辅助角公式
asin α+bcos α= ,其中sin φ=,cos φ=.
二、核心原则
（1） 公式体系
两角和差公式 ：
二倍角公式 ：
辅助角公式 ：
（2） 解题思想
角的代换 ：利用互补、互余或倍角关系统一角度 。
函数名统一 ：通过弦切互化（如切化弦）简化表达式。
整体代换 ：将复杂部分视为整体 。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：公式的直接应用
策略 ：直接套用两角和差或二倍角公式计算。
【例1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
.
故选：A.
题型2：公式的逆用与变形
策略 ：逆用公式合并或拆分表达式
【例2】计算：（ ）
A． B．1 C． D．
【详解】因为，
所以，
所以
，
故选：D．
题型3：角的变换
策略 ：将非特殊角转化为特殊角的和差。
【例3】已知cos=,sin=-,α∈,β∈,则cos(α+β)= ( )
A.- B. C.- D.
【详解】∵α∈,β∈,∴-<-α<0,<+β<,又cos=,sin=-,∴sin=-,cos=-,∴cos(α+β)=-cos(π+α+β)=-cos=-coscos-sinsin=-×-×=-.故选A.
题型4：给值求值问题
策略 ：根据已知条件求相关三角函数值，注意象限符号。
【例4】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由得，
所以．
故选：A．
题型5：综合应用（含参数范围）
策略 ：结合函数性质（如单调性、周期性）确定参数范围。
【例5】函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
，
，，
故选：C．
四、典例欣赏
【例6】已知α,β均为锐角,2cos α=sin(α+β),则下列说法正确的是 ( ACD )
A.若β=,则α=
B.若α+2β=,则sin β=
C.若β>,则α+β>
D.α的最小值为
[解析] 对于A选项,若β=,则由2cos α=sin(α+β),得2cos α=sin=sin αcos+cos αsin=sin α+cos α,
即cos α=sin α,可得tan α=,
又α为锐角,所以α=,故A正确;
对于B选项,若α+2β=,则α=-2β,
由2cos α=sin(α+β),得2cos=sin,
所以2sin 2β=cos β,则2×2sin βcos β=cos β,因为β为锐角,所以cos β≠0,则sin β=,故B错误;
对于D选项,由2cos α=sin(α+β),得2cos α=sin αcos β+cos αsin β,则tan α==,
令y=tan α,x=sin β,则y>0,0y2=,可得(1+y2)x2-4x+4-y2=0,
可将其看作是关于x的一元二次方程,由判别式法可得Δ=(-4)2-4(1+y2)(4-y2)≥0,可得y2≥3,即tan α≥,
又α为锐角,所以α的最小值为,且当x=,即β=时,α取得最小值,故D正确;
对于C选项,由D选项可知,α≥,而β>,所以 α+β>,故C正确.
故选ACD.两角和、差及倍角公式
一、知识梳理
1.两角和、差及二倍角公式
2.两角和与差的正切公式的常用变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
3.辅助角公式
asin α+bcos α= ,其中sin φ=,cos φ=.
二、核心原则
（1） 公式体系
两角和差公式 ：
二倍角公式 ：
辅助角公式 ：
（2） 解题思想
角的代换 ：利用互补、互余或倍角关系统一角度 。
函数名统一 ：通过弦切互化（如切化弦）简化表达式。
整体代换 ：将复杂部分视为整体 。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：公式的直接应用
策略 ：直接套用两角和差或二倍角公式计算。
【例1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型2：公式的逆用与变形
策略 ：逆用公式合并或拆分表达式
【例2】计算：（ ）
A． B．1 C． D．
题型3：角的变换
策略 ：将非特殊角转化为特殊角的和差。
【例3】已知cos=,sin=-,α∈,β∈,则cos(α+β)= ( )
A.- B. C.- D.
题型4：给值求值问题
策略 ：根据已知条件求相关三角函数值，注意象限符号。
【例4】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型5：综合应用（含参数范围）
策略 ：结合函数性质（如单调性、周期性）确定参数范围。
【例5】函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
四、典例欣赏
【例6】已知α,β均为锐角,2cos α=sin(α+β),则下列说法正确的是 ( )
A.若β=,则α=
B.若α+2β=,则sin β=
C.若β>,则α+β>
D.α的最小值为
