第四单元 三角函数与解三角形
第19讲 任意角和弧度制与三角函数的概念
一、知识梳理
1.任意角
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形.
(2)角的分类:
按旋转 方向 正角 按 时针方向旋转而成的角
负角 按 时针方向旋转而成的角
射线没有旋转
按终边 位置 前提:角的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合
象限角 角的终边在第几象限,这个角就是第几象限角
轴线角 角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= .(相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍)
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.
(2)公式(表中α为弧所对的圆心角,l为弧长,r为半径,S为扇形面积):
角α的弧度数 的绝对值 |α|=
角度与弧度 的换算 ①1°= rad,②1 rad=°
弧长公式 l=
扇形面积公式 S=lr=
3.三角函数的概念
(1)三角函数的概念
三角函数 正弦 余弦 正切
终边上任 意点定 义法 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O 的距离为r=OP=
sin α= cos α= tan α= (x≠0)
单位圆 定义法 设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y)
sin α= cos α= tan α= (x≠0)
(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
二、核心原则
（1） 任意角与弧度制
角的概念 ：角由射线绕端点旋转形成，需明确始边、终边、顶点等要素。
弧度制 ：1弧度定义为长度等于半径的弧所对的圆心角，弧度与角度换算关系为：
应用要点 ：弧长公式 ，扇形面积公式 。
（2） 三角函数定义
单位圆定义
一般定义 ：
（3） 解题思想
数形结合 ：通过图形分析角的位置及三角函数值符号。
分类讨论 ：针对象限角、参数范围等分情况处理。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：终边相同的角
策略 ：所有与角 αα 终边相同的角可表示为集合}。
【例1】下列与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【详解】与角终边相同的角的集合为,
取， ，其他均不符合，
故选：B.
题型2：象限角判定
策略 ：（1）根据角范围确定象限：第一象限：第二象限：依此类推。
【例2】已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【详解】由为第三象限角，得,
则,
当 ，此时在第二象限；
当 ，此时在第四象限.
故是第二或第四象限角.故选：C.
题型3：弧度制与角度制互化
策略 ：（1）角度转弧度 ；（2）弧度转角度。
【例3】将化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】.故选：C.
题型4：扇形弧长与面积计算
策略 ：弧长，面积 。 最值问题 ：结合二次函数求极值。
【例4】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
(1)若，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【详解】（1）设扇形的弧长为l．
因为，即，
所以．
（2）由题设条件，知，则，
所以扇形的面积．
当时，S有最大值36，
此时，
所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．
题型5：三角函数定义应用
策略 ：已知终边上点坐标 ，再求三角函数值。
【例5】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上，
此时；
若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上，
此时.
故选：B.
题型6：三角函数值符号判定
策略 ：（1）根据象限确定符号：第一象限：全正；
第二象限：正弦正；第三象限：正切正；第四象限：余弦正。
【例6】若，则点位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【详解】因为，则，
所以点位于第二象限.
故选：B.
四、典例欣赏
【例7】应用单位圆证明:若α∈,则sin α<α
【详解】证明:如图,设角α的终边与单位圆交于点P,A(1,0),O为坐标原点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,过点A作AT⊥x轴,与OP交于T,连接AP,由题意得sin α=MP,tan α=AT,
∵S△POA∴OA·MP<α·OA2∴MP<α第19讲 任意角和弧度制与三角函数的概念
一、知识梳理
1.任意角
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形.
(2)角的分类:
按旋转 方向 正角 按 时针方向旋转而成的角
负角 按 时针方向旋转而成的角
射线没有旋转
按终边 位置 前提:角的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合
象限角 角的终边在第几象限,这个角就是第几象限角
轴线角 角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= .(相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍)
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.
(2)公式(表中α为弧所对的圆心角,l为弧长,r为半径,S为扇形面积):
角α的弧度数 的绝对值 |α|=
角度与弧度 的换算 ①1°= rad,②1 rad=°
弧长公式 l=
扇形面积公式 S=lr=
3.三角函数的概念
(1)三角函数的概念
三角函数 正弦 余弦 正切
终边上任 意点定 义法 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O 的距离为r=OP=
sin α= cos α= tan α= (x≠0)
单位圆 定义法 设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y)
sin α= cos α= tan α= (x≠0)
(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
二、核心原则
（1） 任意角与弧度制
角的概念 ：角由射线绕端点旋转形成，需明确始边、终边、顶点等要素。
弧度制 ：1弧度定义为长度等于半径的弧所对的圆心角，弧度与角度换算关系为：
应用要点 ：弧长公式 ，扇形面积公式 。
（2） 三角函数定义
单位圆定义
一般定义 ：
（3） 解题思想
数形结合 ：通过图形分析角的位置及三角函数值符号。
分类讨论 ：针对象限角、参数范围等分情况处理。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：终边相同的角
策略 ：所有与角 αα 终边相同的角可表示为集合}。
【例1】下列与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
题型2：象限角判定
策略 ：（1）根据角范围确定象限：第一象限：第二象限：依此类推。
【例2】已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
题型3：弧度制与角度制互化
策略 ：（1）角度转弧度 ；（2）弧度转角度。
【例3】将化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型4：扇形弧长与面积计算
策略 ：弧长，面积 。 最值问题 ：结合二次函数求极值。
【例4】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
(1)若，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
题型5：三角函数定义应用
策略 ：已知终边上点坐标 ，再求三角函数值。
【例5】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（ ）
A． B． C． D．
题型6：三角函数值符号判定
策略 ：（1）根据象限确定符号：第一象限：全正；
第二象限：正弦正；第三象限：正切正；第四象限：余弦正。
【例6】若，则点位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
四、典例欣赏
【例7】应用单位圆证明:若α∈,则sin α<α