同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、知识梳理
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系: .
(2)商数关系: .
2.诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α+2kπ(k∈Z) π+α -α π-α -α +α
终边 与角 α终 边的 关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y=x对称
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α
正切 tan α -tan α -tan α
函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限
记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限
二、核心原则
（1） 同角三角函数基本关系式
平方关系 ：
商数关系 ：
变形公式 ：
（2） 诱导公式应用原则
口诀 ：“奇变偶不变，符号看象限”。
化简策略 ：负角化正角，大角化锐角，统一函数名称。
解题思想
方程思想 ：利用平方关系或商数关系列方程求值。
整体代换 ：将复杂表达式转化为单一三角函数形式。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：同角三角函数基本关系式的应用
策略 ：
【例1】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】，
故，
又且，故，
，故.
故选：A.
题型2：正、余弦齐次式的计算
策略 ：齐次式弦化切。
【例2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由得.
故选：A.
题型3：诱导公式的简单应用
策略 ：利用口诀化简角为锐角后计算。
【例3】已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
所以.
故选：D.
题型4：三角函数式的化简与求值
策略 ：（1）切化弦或弦化切统一函数名称。
（2）结合诱导公式和同角关系逐步化简。
【例4】已知，且是第二象限角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】，则，
又因为，且是第二象限角，所以.
故选：C.
题型5：三角恒等式的证明
策略 ：从复杂一侧出发，利用基本关系式和诱导公式逐步化简至另一侧。
【例5】证明：．.
【详解】左边右边，
所以．
题型6：同角关系与诱导公式综合
策略 ：（1）先利用诱导公式化简角，再应用同角关系求值。
（2）注意符号判断和隐含条件（如分母不为零）。
【例6】已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因，则，
因，则，
因，
，
则
故选：B.
四、典例欣赏
【例7】若α,β∈,且4sin2α-sin2β+=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为 ( B )
A. B. C. D.
【详解】由α,β∈,且4sin2α-sin2β+=0,得2sin α=,0则2sin α+cos β=+,
注意到2+a+b≤2(a+b),其中a,b>0,
所以+≤,当且仅当a=b>0时等号成立,
所以2sin α+cos β=+≤=,
当且仅当sin2β-=1-sin2β,即sin β=时等号成立,
所以当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为.
故选B.同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、知识梳理
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系: .
(2)商数关系: .
2.诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α+2kπ(k∈Z) π+α -α π-α -α +α
终边 与角 α终 边的 关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y=x对称
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α
正切 tan α -tan α -tan α
函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限
记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限
二、核心原则
（1） 同角三角函数基本关系式
平方关系 ：
商数关系 ：
变形公式 ：
（2） 诱导公式应用原则
口诀 ：“奇变偶不变，符号看象限”。
化简策略 ：负角化正角，大角化锐角，统一函数名称。
解题思想
方程思想 ：利用平方关系或商数关系列方程求值。
整体代换 ：将复杂表达式转化为单一三角函数形式。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：同角三角函数基本关系式的应用
策略 ：
【例1】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
题型2：正、余弦齐次式的计算
策略 ：齐次式弦化切。
【例2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型3：诱导公式的简单应用
策略 ：利用口诀化简角为锐角后计算。
【例3】已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
题型4：三角函数式的化简与求值
策略 ：（1）切化弦或弦化切统一函数名称。
（2）结合诱导公式和同角关系逐步化简。
【例4】已知，且是第二象限角，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型5：三角恒等式的证明
策略 ：从复杂一侧出发，利用基本关系式和诱导公式逐步化简至另一侧。
【例5】证明：．.
题型6：同角关系与诱导公式综合
策略 ：（1）先利用诱导公式化简角，再应用同角关系求值。
（2）注意符号判断和隐含条件（如分母不为零）。
【例6】已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
四、典例欣赏
【例7】若α,β∈,且4sin2α-sin2β+=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为 ( B )
A. B. C. D.
