江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期6月期末调研测试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．（2025高一下·南京期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：
.
故选：B.
【分析】利用两角差的正弦公式化简求代数式的值.
2．（2025高一下·南京期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，得出在上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和数量积求投影向量的公式，从而得出在上的投影向量.
3．（2025高一下·南京期末）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度为（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，
则由正弦定理可得，即，解得米，
在直角中，由，得米.
故选：C.
【分析】利用正弦定理，在中求出，再利用正切公式在直角中求.
4．（2025高一下·南京期末）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】 解：复数满足，表示复数所构成图形是以点（2，0）为圆心，半径为1的圆.
A、对应复数，代入得，A不符合题意；
B、对应复数，代入得，B符合题意；
C、对应复数，代入得，C不符合题意；
D、对应复数，代入得，D不符合题意.
故选：B.
【分析】根据复数几何意义依次代入计算判断即可.
5．（2025高一下·南京期末）为了解某年级同学的体能情况，抽取100位同学进行一分钟仰卧起坐次数测试，将所得数据整理后，得到如下频率分布直方图（一分钟仰卧起坐次数60次以上的称为体能优秀），则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计100位同学在一分钟仰卧起坐次数的平均数低于70次
C．从这100位同学中随机选取一位同学，则这位同学体能优秀的概率约为
D．按照“体能优秀”的学生与“体能不优秀”的学生进行分层抽样，从这100位同学中抽取12人，则在体能优秀的同学中应抽取9人
【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、根据频率和为1，即，求得，A正确；
B、由A知，根据频率分布直方图求得平均数为，B正确；
C、体能优秀的频率为，则体能优秀的频率为，
所以体能优秀的概率约为，C错误；
D、由C知体能优秀的频率为，体能不优秀的频率为，所以体能不优秀和体能优秀的频率比为，所以12人中体能优秀的同学中应抽取人，D正确.
故选：C.
【分析】根据频率和为1求，再代入平均数公式，以及频率公式，即可判断选项.
6．（2025高一下·南京期末）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件共有个，
其中点数和大于8的事件有，共10个，
所以出现向上的点数之和大于8的概率为.
故选：B.
【分析】利用列举法求古典概型事件概率.
7．（2025高一下·南京期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（ ）
A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解： 将平移到，平移到，
∴过点作与异面直线与所成的角都是的直线，即过点作与直线与所成的角都是的直线，
∵异面直线与所成的角为，
∴直线与所成角的角平分线平分角为或，
若角平分线平分直线与所成角为，则角平分线与直线与所成的角都是，
此时将过点的角平分线平移使其经过点，故有一条；
的角平分线平分角为，即角平分线与异面直线与所成的角都是，
则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线，
此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条；
综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条.
故选：C.
【分析】将平移到，平移到结合角平分线性质考虑问题，过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外.
8．（2025高一下·南京期末）中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由，得，
即，
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，即，
则，∴，
，
∵，，∴，∴，
∴若存在最小值，则，
解得：.
故选：D.
【分析】先根据三角恒等变换，化简求得，再统一角，将转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质，求实数的取值范围 .
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.
9．（2025高一下·南京期末）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥 B．
C．事件与相互独立 D．
【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：事件A为“得到的点数为奇数”，即得到的点数为，
事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为，
事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，
A、得到点数为时，事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，A错误；
B、事件发生，得到点数为，表示发生，所以，B正确；
C、由题意知， ，
事件发生，得到点数为，即，
此时，所以事件与事件不相互独立，C错误；
D、事件发生，得到点数为，表示即，
所以，D正确，
故选：BD.
【分析】利用古典概型计算事件概率，再利用独立事件的定义，对立事件概念判断各选项.
10．（2025高一下·南京期末）已知数据，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为两组数据满足线性关系，
结合众数、平均数、方差、第80百分位数求法知，，，，
所以A正确，B错误，C正确，D正确.
故选：ACD.
【分析】利用线性关系的性质判断各选项.
11．（2025高一下·南京期末）已知正方体的棱长为2，点为线段上的动点，则（ ）
A．的最小值为
B．与始终保持垂直
C．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为
D．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为
【答案】B,C
【知识点】空间中两点间的距离公式；棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A：∵分别在平面，平面内，把这两个平面展开为一个平面，可得：，
在展开图中，在中，
由余弦定理，可得：，
∴，故A错误；
对于B：∵，且平面，
∴平面，
又∵平面，
∴，
同理可证，
又∵平面，
∴平面，
又∵平面，
∴，故B正确；
对于C：连接平面，且为等边三角形的中心，
由选项B可得平面，
在三棱锥中，
利用等体积法，得：，
以为球心，为半径的球面与平面的交线为圆，设该圆的半径为，
由勾股定理，可得：，
所以该圆的周长为，故C正确；
对于D、设为，BC两边中点，
当经过的平面截正方体所得截面为时，
此时菱形的面积为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用两平面展开图和等边三角形的性质以及余弦定理，则得出的长，则得出的最小值，则判断出选项A；利用已知条件和线面垂直的定义得出线线垂直，则判断出选项B；根据球的几何性质判断出选项C；根据正方体的特殊截面求解，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12．（2025高一下·南京期末）在正四棱台中，，，，则该棱台的体积 ．
【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：∵为正四棱台，∴四边形为等腰梯形，
又，，
∴，
∴四棱台的体积.
故填：.
【分析】根据正四棱台性质求出棱台的高，进而求棱台的体积.
13．（2025高一下·南京期末）已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为 .
【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得，，
.
故填：.
【分析】根据数据平均数和方差的计算公式，计算求解.
14．（2025高一下·南京期末）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 ，此时 .
【答案】7；8
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：设直线上有一动点，满足，
则，
∴点到直线的距离大于等于，
取中点为，可得，
当时，取得最小值7，
∴.
故填：①，②.
【分析】根据向量的线性运算可得动点到定直线AB的距离大于等于，再利用极化恒等式求解的最小值，进而求.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·南京期末）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）∵ ，∴，
∴，
∵是纯虚数，且，解得，
，∴；
（2）∵，
∴，
∵在复平面对应的点在第一象限，，解得，
实数的取值范围是.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）先化简，根据纯虚数定义求出m，求出，再利用除法法则化简，进而求模长；
（2）化简，根据其所在象限得到不等式，求出实数的取值范围.
（1），
∵是纯虚数，，解得，
，则；
（2），
复数，
∵在复平面对应的点在第一象限，，
解得，
实数的取值范围是.
16．（2025高一下·南京期末）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为D，的中点为E.求证：
（1）平面；
（2）.
【答案】（1）连接，可得为的中点，又为的中点，∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵棱柱是直三棱柱，∴平面.
∵平面，∴.
又∵平面，，
∴平面.
又∵平面，∴.
∵，∴矩形是正方形，∴.
∵平面，，∴平面.
又∵平面，∴.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；
（2）利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直可得线线垂直.
（1）在直棱柱中，为的中点，则为的中点，
连接，可得为的中点，因此.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面.
因为平面，所以.
又因为平面，平面，，
所以平面.
又因为平面，所以.
因为，所以矩形是正方形，因此.
因为平面，，所以平面.
又因为平面，所以.
17．（2025高一下·南京期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.
【答案】（1）记事件A“甲家庭回答正确这道题”，事件B“乙家庭回答正确这道题”，事件C“丙家庭回答正确这道题”，
由题意知，
由，解得，所以，
由解得，所以
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）3个家庭回答正确的概率，
有2个家庭回答正确的概率为
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式来计算求解；
（2）求出有3个家庭和2个家庭回答正确的概率，相加即可.
（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，
由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，
则，
解得，
由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是，
则
即.
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率，
有1个家庭回答正确的概率为
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
18．（2025高一下·南京期末）已知向量，，设函数.
（1）化简并写出的最小正周期；
（2）若，且，求的值；
（3）在锐角中，若，，求周长的取值范围.
【答案】（1）
的最小正周期为.
（2），
由，得，
所以，
所以
；
（3）因为，又为锐角三角形，
所以，则，
由正弦定理得，
所以
可得三角形的周长，
由为锐角三角形，得，解得，
因为都在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用向量积的坐标运算，结合三角恒等变换化简，再求出周期；
（2）利用变换角，再由两角差正弦公式化简求值；
（3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性求取值范围.
（1）
故最小正周期为.
（2）因为，由，则，
所以，
则
；
（3）因为，又为锐角三角形，
所以，则，
由正弦定理，
可得三角形的周长
，
由为锐角三角形，可得，
因为都在上单调递增，
所以在上单调递减，
即
所以的取值范围为.
19．（2025高一下·南京期末）如图，在四棱锥中， ，.现设.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，侧棱PC上点M满足，证明：M是侧棱的中点；
（3）当时，求三棱锥的外接球体积的最小值.
【答案】（1）∵.，平面，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
（2）作交于，作交于，连.
当时，有设，由相似得.
∵，∴，
则在 中，由勾股定理得.
在中，，，，
由余弦定理得：，
解得或1（舍），
∴，
为侧棱的中点.
（3）设和的外接圆圆心分别和， 三棱锥的外接球半径为R
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，
在中，由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
在中，由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
过点作于，连接，显然四边形为矩形，
∴，即，
∴
，
当时，取得最小值，，
∴三棱锥外接球的体积最小值为，
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；解三角形
【解析】【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直；
（2）作平行线，结合余弦定理，求出，利用中位线证明；
（3）球心在过三角形外接圆圆心作该面的垂线上来研究外接球半径问题.
（1）因为..平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）作交于，作交于，连.
当时，有设，由相似得.
因为，所以，
则在直角三角形中，由勾股定理得.
在中，，，由余弦定理得：
，解得或1（舍），
从而.为侧棱的中点.
（3）设和的外接圆圆心分别和，
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，
在中，因为，所以由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
在中，所以由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
过点作于，连接，设，显然四边形为矩形，
所以.所以，
即，
所以，
故当时，取得最小值，即，
此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时.
1 / 1江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期6月期末调研测试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．（2025高一下·南京期末）（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·南京期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·南京期末）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度为（ ）米.
A． B． C． D．
4．（2025高一下·南京期末）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·南京期末）为了解某年级同学的体能情况，抽取100位同学进行一分钟仰卧起坐次数测试，将所得数据整理后，得到如下频率分布直方图（一分钟仰卧起坐次数60次以上的称为体能优秀），则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计100位同学在一分钟仰卧起坐次数的平均数低于70次
C．从这100位同学中随机选取一位同学，则这位同学体能优秀的概率约为
D．按照“体能优秀”的学生与“体能不优秀”的学生进行分层抽样，从这100位同学中抽取12人，则在体能优秀的同学中应抽取9人
6．（2025高一下·南京期末）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·南京期末）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（ ）
A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条
8．（2025高一下·南京期末）中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.
9．（2025高一下·南京期末）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥 B．
C．事件与相互独立 D．
10．（2025高一下·南京期末）已知数据，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高一下·南京期末）已知正方体的棱长为2，点为线段上的动点，则（ ）
A．的最小值为
B．与始终保持垂直
C．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为
D．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12．（2025高一下·南京期末）在正四棱台中，，，，则该棱台的体积 ．
13．（2025高一下·南京期末）已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为 .
14．（2025高一下·南京期末）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 ，此时 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·南京期末）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
16．（2025高一下·南京期末）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为D，的中点为E.求证：
（1）平面；
（2）.
17．（2025高一下·南京期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.
18．（2025高一下·南京期末）已知向量，，设函数.
（1）化简并写出的最小正周期；
（2）若，且，求的值；
（3）在锐角中，若，，求周长的取值范围.
19．（2025高一下·南京期末）如图，在四棱锥中， ，.现设.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，侧棱PC上点M满足，证明：M是侧棱的中点；
（3）当时，求三棱锥的外接球体积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：
.
故选：B.
【分析】利用两角差的正弦公式化简求代数式的值.
2．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，得出在上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和数量积求投影向量的公式，从而得出在上的投影向量.
3．【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，
则由正弦定理可得，即，解得米，
在直角中，由，得米.
故选：C.
【分析】利用正弦定理，在中求出，再利用正切公式在直角中求.
4．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】 解：复数满足，表示复数所构成图形是以点（2，0）为圆心，半径为1的圆.
A、对应复数，代入得，A不符合题意；
B、对应复数，代入得，B符合题意；
C、对应复数，代入得，C不符合题意；
D、对应复数，代入得，D不符合题意.
故选：B.
【分析】根据复数几何意义依次代入计算判断即可.
5．【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、根据频率和为1，即，求得，A正确；
B、由A知，根据频率分布直方图求得平均数为，B正确；
C、体能优秀的频率为，则体能优秀的频率为，
所以体能优秀的概率约为，C错误；
D、由C知体能优秀的频率为，体能不优秀的频率为，所以体能不优秀和体能优秀的频率比为，所以12人中体能优秀的同学中应抽取人，D正确.
故选：C.
【分析】根据频率和为1求，再代入平均数公式，以及频率公式，即可判断选项.
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件共有个，
其中点数和大于8的事件有，共10个，
所以出现向上的点数之和大于8的概率为.
故选：B.
【分析】利用列举法求古典概型事件概率.
7．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解： 将平移到，平移到，
∴过点作与异面直线与所成的角都是的直线，即过点作与直线与所成的角都是的直线，
∵异面直线与所成的角为，
∴直线与所成角的角平分线平分角为或，
若角平分线平分直线与所成角为，则角平分线与直线与所成的角都是，
此时将过点的角平分线平移使其经过点，故有一条；
的角平分线平分角为，即角平分线与异面直线与所成的角都是，
则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线，
此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条；
综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条.
故选：C.
【分析】将平移到，平移到结合角平分线性质考虑问题，过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外.
8．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由，得，
即，
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，即，
则，∴，
，
∵，，∴，∴，
∴若存在最小值，则，
解得：.
故选：D.
【分析】先根据三角恒等变换，化简求得，再统一角，将转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质，求实数的取值范围 .
9．【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：事件A为“得到的点数为奇数”，即得到的点数为，
事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为，
事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，
A、得到点数为时，事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，A错误；
B、事件发生，得到点数为，表示发生，所以，B正确；
C、由题意知， ，
事件发生，得到点数为，即，
此时，所以事件与事件不相互独立，C错误；
D、事件发生，得到点数为，表示即，
所以，D正确，
故选：BD.
【分析】利用古典概型计算事件概率，再利用独立事件的定义，对立事件概念判断各选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为两组数据满足线性关系，
结合众数、平均数、方差、第80百分位数求法知，，，，
所以A正确，B错误，C正确，D正确.
故选：ACD.
【分析】利用线性关系的性质判断各选项.
11．【答案】B,C
【知识点】空间中两点间的距离公式；棱柱的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A：∵分别在平面，平面内，把这两个平面展开为一个平面，可得：，
在展开图中，在中，
由余弦定理，可得：，
∴，故A错误；
对于B：∵，且平面，
∴平面，
又∵平面，
∴，
同理可证，
又∵平面，
∴平面，
又∵平面，
∴，故B正确；
对于C：连接平面，且为等边三角形的中心，
由选项B可得平面，
在三棱锥中，
利用等体积法，得：，
以为球心，为半径的球面与平面的交线为圆，设该圆的半径为，
由勾股定理，可得：，
所以该圆的周长为，故C正确；
对于D、设为，BC两边中点，
当经过的平面截正方体所得截面为时，
此时菱形的面积为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用两平面展开图和等边三角形的性质以及余弦定理，则得出的长，则得出的最小值，则判断出选项A；利用已知条件和线面垂直的定义得出线线垂直，则判断出选项B；根据球的几何性质判断出选项C；根据正方体的特殊截面求解，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：∵为正四棱台，∴四边形为等腰梯形，
又，，
∴，
∴四棱台的体积.
故填：.
【分析】根据正四棱台性质求出棱台的高，进而求棱台的体积.
13．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得，，
.
故填：.
【分析】根据数据平均数和方差的计算公式，计算求解.
14．【答案】7；8
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：设直线上有一动点，满足，
则，
∴点到直线的距离大于等于，
取中点为，可得，
当时，取得最小值7，
∴.
故填：①，②.
【分析】根据向量的线性运算可得动点到定直线AB的距离大于等于，再利用极化恒等式求解的最小值，进而求.
15．【答案】（1）∵ ，∴，
∴，
∵是纯虚数，且，解得，
，∴；
（2）∵，
∴，
∵在复平面对应的点在第一象限，，解得，
实数的取值范围是.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）先化简，根据纯虚数定义求出m，求出，再利用除法法则化简，进而求模长；
（2）化简，根据其所在象限得到不等式，求出实数的取值范围.
（1），
∵是纯虚数，，解得，
，则；
（2），
复数，
∵在复平面对应的点在第一象限，，
解得，
实数的取值范围是.
16．【答案】（1）连接，可得为的中点，又为的中点，∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵棱柱是直三棱柱，∴平面.
∵平面，∴.
又∵平面，，
∴平面.
又∵平面，∴.
∵，∴矩形是正方形，∴.
∵平面，，∴平面.
又∵平面，∴.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；
（2）利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直可得线线垂直.
（1）在直棱柱中，为的中点，则为的中点，
连接，可得为的中点，因此.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面.
因为平面，所以.
又因为平面，平面，，
所以平面.
又因为平面，所以.
因为，所以矩形是正方形，因此.
因为平面，，所以平面.
又因为平面，所以.
17．【答案】（1）记事件A“甲家庭回答正确这道题”，事件B“乙家庭回答正确这道题”，事件C“丙家庭回答正确这道题”，
由题意知，
由，解得，所以，
由解得，所以
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）3个家庭回答正确的概率，
有2个家庭回答正确的概率为
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式来计算求解；
（2）求出有3个家庭和2个家庭回答正确的概率，相加即可.
（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，
由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，
则，
解得，
由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是，
则
即.
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率，
有1个家庭回答正确的概率为
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
18．【答案】（1）
的最小正周期为.
（2），
由，得，
所以，
所以
；
（3）因为，又为锐角三角形，
所以，则，
由正弦定理得，
所以
可得三角形的周长，
由为锐角三角形，得，解得，
因为都在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用向量积的坐标运算，结合三角恒等变换化简，再求出周期；
（2）利用变换角，再由两角差正弦公式化简求值；
（3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性求取值范围.
（1）
故最小正周期为.
（2）因为，由，则，
所以，
则
；
（3）因为，又为锐角三角形，
所以，则，
由正弦定理，
可得三角形的周长
，
由为锐角三角形，可得，
因为都在上单调递增，
所以在上单调递减，
即
所以的取值范围为.
19．【答案】（1）∵.，平面，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
（2）作交于，作交于，连.
当时，有设，由相似得.
∵，∴，
则在 中，由勾股定理得.
在中，，，，
由余弦定理得：，
解得或1（舍），
∴，
为侧棱的中点.
（3）设和的外接圆圆心分别和， 三棱锥的外接球半径为R
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，
在中，由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
在中，由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
过点作于，连接，显然四边形为矩形，
∴，即，
∴
，
当时，取得最小值，，
∴三棱锥外接球的体积最小值为，
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；解三角形
【解析】【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直；
（2）作平行线，结合余弦定理，求出，利用中位线证明；
（3）球心在过三角形外接圆圆心作该面的垂线上来研究外接球半径问题.
（1）因为..平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）作交于，作交于，连.
当时，有设，由相似得.
因为，所以，
则在直角三角形中，由勾股定理得.
在中，，，由余弦定理得：
，解得或1（舍），
从而.为侧棱的中点.
（3）设和的外接圆圆心分别和，
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，
在中，因为，所以由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
在中，所以由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径.
过点作于，连接，设，显然四边形为矩形，
所以.所以，
即，
所以，
故当时，取得最小值，即，
此时三棱锥外接球的体积最小值为，此时.
1 / 1
