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2.3.1有理数的乘除运算
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第二单元
课题 有理数的乘除运算 课时 2.3.1
课标要求 依据义务教育数学课程标准，本节需达成：学生能理解有理数乘法法则的合理性，熟练掌握法则并进行准确运算；明确乘法交换律、结合律、分配律在有理数范围内的适用性，能运用运算律简化计算；经历从实际情境中抽象出有理数乘法模型的过程，发展运算能力、推理意识和符号意识，体会数学与生活的联系。
教材分析 有理数乘法是初中 “数与代数” 领域的核心内容，既是小学非负有理数乘法的延伸（突破 “非负” 限制），又是有理数运算体系的重要组成部分 —— 承接有理数的加减运算，为后续学习有理数除法（借助倒数转化为乘法）、乘方及整式运算奠定基础。教材编排遵循 “具象→抽象→应用” 逻辑：先以水库水位变化的实际情境引入，用正负数表示 “上升”“下降”，将连续变化问题转化为乘法运算，直观感知负数参与乘法的必要性；再通过乘法的本质（相同加数的和）与运算律（交换律、分配律）推导法则，从特殊案例归纳 “同号得正、异号得负，绝对值相乘” 的一般规律，避免法则的 “强行灌输”；最后通过 “模仿推导”“写算式找规律”“例题计算” 巩固法则，并引入倒数概念（为除法 “除以一个数等于乘它的倒数” 铺垫），形成知识闭环。
学情分析 学生已有基础：小学阶段熟练掌握非负有理数的乘法运算，理解 “乘法是加法的简便运算”；初中已学有理数的加减，能运用正负数表示相反意义的量。但存在认知障碍：一是受小学 “乘法结果均为非负” 的思维定式影响，对 “负负得正” 的符号规则难以理解；二是对 “运算律为何适用于有理数” 缺乏深层认知，难以主动用分配律简化计算；三是对倒数的理解停留在 “乘积为 1” 的表面，易与相反数混淆（如误将 - 2 的倒数记为 2），且易忽略 “0 没有倒数” 的特殊性。七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，对 “水位变化” 等具象情境易接受，但对 “负负得正” 的抽象推导需借助实例、数轴等直观工具引导，且需通过大量变式练习强化符号判断能力。
教学目标 1.理解有理数乘法法则的推导过程（基于运算律和乘法本质），能准确运用法则计算整数、分数的乘法（含正负数组合）。 2. 掌握倒数的概念，会求非零有理数的倒数 3. 能运用乘法运算律（交换律、结合律、分配律）简化有理数乘法运算。
教学重点 1.有理数乘法法则的理解与应用（核心是 “先定符号，再算绝对值” 的运算步骤）。 2.乘法运算律在有理数乘法中的灵活运用（尤其是分配律简化含加减的乘法混合运算）。
教学难点 “负负得正” 符号规则的合理性推导（突破 “负数乘负数为何得正数” 的认知困惑，需结合运算律、实际意义或数轴直观解释）。
教法与学法分析 （一）教法 情境驱动法：以 “水库水位连续变化”“温度连续升降” 等生活情境为载体，让学生在解决 “4 天共变化多少” 的问题中，自然引出负数乘正数、负数乘负数的需求，体会学习有理数乘法的必要性。 问题链引导法：设计递进式问题（如 “3×4=12，那么 (-3)×4 怎么算？”“(-3)×(-4) 的结果与 (-3)×4 有什么关系？”“用小学学过的分配律能验证这个结果吗？”），引导学生逐步推导法则，理解 “负负得正” 的逻辑必然性。 直观演示法：用数轴表示乘法的几何意义（如 3×(-2) 可看作 “从原点向左跳 3 次，每次跳 2 个单位”，结果为 - 6；(-3)×(-2) 可看作 “从原点向右跳 3 次，每次跳 2 个单位”，结果为 6），通过可视化操作突破符号理解难点。 （二）学法 自主探究法：让学生仿照课本推导 (-2)×(-5)=10 的过程，自主完成 (-3)×(-4) 的推导，通过 “亲自动手” 理解法则的来龙去脉，避免死记硬背。 合作归纳法：分组完成 “写算式找规律” 活动（如分别列举同号、异号、含 0 的乘法算式），通过小组讨论归纳 “符号规律” 和 “绝对值运算规则”，在交流中深化对法则的理解。 变式练习法：设计分层练习（基础题：整数乘法；提高题：分数乘法、含倒数的运算；挑战题：多个有理数相乘），在练习中总结易错点（如符号漏判、倒数与相反数混淆），提升运算准确性和灵活性。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 1. 乘法是相同加数加法的简便运算 甲水库的水位每天升高 ，乙水库的水位每天下降 ，预计经过4天甲、乙水库水位的总变化量各是多少？ 如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过4天甲水库的水位变化量为 乙水库的水位变化量为 注意事项： 强调正、负号规定要清晰，让学生理解不同情境下正、负所代表的实际意义，为后续有理数乘法符号规则做铺垫。 引导学生观察相同加数加法与乘法的转换关系，理解乘法本质，尤其是负数参与时的运算逻辑。 拓展：填空 = 呈现水库水位变化情境并明确正负数规定，示范甲水库计算，布置拓展填空并巡视。 用加法算水库水位变化并转化为乘法，完成拓展填空。 衔接小学乘法本质，引入负数乘法，为法则推导铺垫。
环节二：新知讲解 2. 推导有理数乘法法则 尝试·思考 你认为 的结果应该是多少？ 呢？你是怎么做的？请说一说你的理由。 实际上，为了保证小学数学中学过的乘法运算律在有理数范围内仍然成立，即有理数的乘法要满足交换律，就要有 同时，要满足乘法对加法的分配律，就要有 因此 总结有理数乘法（multiplication）法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。 注意事项： 运算律推导过程要细致讲解，让学生理解“为何要保证运算律成立”，明白这是有理数乘法法则合理构建的基础，避免死记硬背。 对比异号、同号相乘的推导过程，突出符号确定的逻辑，帮助学生区分不同符号情况的计算规则。 3.推导练习 思考·交流 （1）请你仿照上面的方法说明 （2）再写一些算式进行计算。你能发现什么规律？与同伴进行交流。 （1）说明(-2)×(-5)=10： 为保证乘法运算律在有理数范围成立，先看乘法交换律 ，(-2)×(-5)=(-5)×(-2) 。 再利用乘法对加法的分配律，(-2)×(-5)+(-2)×5=(-2)×[(-5)+5]=(-2)×0=0 。 因为(-2)×5=-10，所以(-2)×(-5)=-[(-2)×5]=-(-10)=10 。 拓展：推导 先依交换律 ，再想 可看作个相加（结合乘法本质 ）得 ，所以 ； 推导 ，用分配律， ，因 ，所以 （2）写算式找规律：算式示例： （异号两数相乘，得负，绝对值相乘 ）； （异号两数相乘，得负，绝对值相乘 ）； （同号两数相乘，得正，绝对值相乘 ）； （同号两数相乘，得正，绝对值相乘 ）。 规律：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，积仍为 ，和有理数乘法法则一致 。 计算： (1） (2） (3） (4） 解：（1） (2） (3） (4) 用问题链引导用运算律推导乘法结果，数轴演示算理，总结法则并讲解例题。 按问题链推导结果，观察数轴，完成推导练习和例题计算。 让学生理解法则推导逻辑，突破 “负负得正” 难点，掌握运算步骤。
环节三：延申探究 4. 倒数概念 一个数乘-1，所得的积就是它的相反数。 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数（reciprocal），也称这两个有理数互为倒数。例如，与 、与互为倒数 找不同数的倒数，包括整数:如的倒数是 、分数:正、负分数，像 倒数 ， 倒数 、特殊数:的倒数是 ，的倒数是 ，强调没有倒数，因乘任何数都为 ，无法得 ， 结合乘法计算理解倒数作用，如计算 ，因为互为倒数，所以结果为 ，反过来，已知一个数与另一个数乘积为 ，可快速判断倒数关系，比如（、不为 ），则、互为倒数，在简便运算中（后续学乘法分配律逆用等 ），倒数能简化计算，提前渗透其应用价值，让学生明白学倒数不只是记概念，还有实际运算用途。 讲解倒数概念时，对比倒数与相反数（一个数乘得相反数 ），区分两者不同，结合例子让学生判断倒数关系，如的倒数、的倒数等，强化对倒数的理解，同时注意没有倒数（因为乘任何数都为，无法得 ）这一特殊点。 定义倒数并举例，对比倒数与相反数，说明倒数运算价值。 找不同数的倒数，对比概念，体会倒数在运算中的作用。 明确倒数概念，避免与相反数混淆，为后续除法铺垫。
环节四：巩固内化，拓展延伸 1.某潜水员在水下作业，初始位置在水面下2米（记为米）。 若他先下潜米/分钟，持续分钟，此时位置如何表示？ 下潜为负方向，应为米 若之后他上升米/分钟，持续分钟，最终位置是多少？（米，强化“负次数”的实际意义） 2. 判断：若两个数的乘积是负数，则这两个数中至少有一个数是正数，另一个是负数，该说法是否正确？（√ ） 3.现有三个有理数 a、b、c，且 a×b×c＞0，请写出所有满足条件的 a、b、c 的符号组合，并各举一组具体数值验证。 满足条件的符号组合有 2 种，分别是①三个数均为正；②两个数为负、一个数为正。
验证示例：①a=2，b=3，c=4，2×3×4=24＞0；②a=-2，b=-3，c=4，(-2)×(-3)×4=24＞0。 呈现潜水员情境题，组织小组辩论，引导总结多有理数相乘符号规则。 计算潜水员位置，参与辩论并举例验证，归纳符号规则。 强化知识应用，深化符号规则理解，提升合作与推理能力。
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ ① 掌握了有理数乘法法则——两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与0相乘仍得0；能判断多个有理数相乘的符号 ② 理解了倒数的概念——乘积为1的两个非零有理数互为倒数，明确1的倒数是1、-1的倒数是-1、0没有倒数，能区分倒数与相反数 ③ 知道乘法交换律（）、结合律、分配律 ④ 能准确计算整数、分数（含正负数）的乘法，比如； 会用乘法运算律简化计算，例如用分配律计算； 2.本课主要学习方法或数学思想 情境探究法、自主推导与合作归纳法 从特殊到一般思想、转化思想、数形结合思想 引导学生梳理知识收获、学习方法与数学思想。 回顾并总结本节课的知识、方法与思想。 帮助学生构建知识体系，提炼学习方法，培养数学思维。
板书设计 2.3.1 有理数的乘法运算 一、情境引入：乘法的本质（相同加数的和） 水库水位变化问题 规定：上升为正，下降为负 甲水库（每天升高3cm，4天）： 乙水库（每天下降3cm，4天）： 拓展填空（巩固乘法本质） 二、有理数乘法法则推导 1. 特殊案例推导（结合运算律） 问题1： （乘法交换律） 问题2： （乘法分配律） 因，故 2. 数轴直观解释（数形结合） ：从原点向左跳3次，每次4个单位→ 终点 ：从原点向左跳-3次（即向右跳3次），每次4个单位→ 终点 3. 总结：有理数乘法法则 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0； 多个有理数相乘：负因数个数为偶数→ 积正；负因数个数为奇数→ 积负。 三、倒数概念（为除法铺垫） 1. 定义 若两个非零有理数的乘积为1，则这两个数互为倒数（如与，与）。 2. 特殊情况 数倒数说明无倒数任何数
3. 对比：倒数 vs 相反数 倒数：乘积为1； 相反数：和为0（如的相反数是，倒数是）。 四、有理数乘法运算律（简化计算） 运算律字母表示示例交换律结合律分配律
能清晰呈现本节课 “情境引入 — 法则推导 — 倒数概念 — 例题练习 — 课堂小结” 的知识脉络，直观展示有理数乘法的核心法则、关键概念及运算步骤，帮助学生梳理知识体系，便于理解和记忆。
作业设计 基础训练 1.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2.下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. B. C. D. 3.若三个有理数相乘，积为负数，则这三个数中负数的个数可能是（ ） A. 个 B. 个 C. 个或个 D. 个或个 4.计算：。。的倒数是；的倒数是。 5.计算： （1） （2） （3） 能力提升 6.下列运算中，运用了乘法交换律的是（ ） A. B. C. D. 7.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8.某水库的水位每天下降，记为，那么天后水位的总变化量是。 拓展练习 9.用乘法分配律计算：，结果为。 10.某股票在连续个交易日内的涨跌情况如下（上涨为正，下跌为负）：每天下跌元。 （1）用乘法表示这天的总变化量； （2）计算这天的总变化量是多少元。
教学反思 本节课围绕“有理数乘法运算”，严格依据教案“情境具象→法则推导→概念深化→应用巩固”的逻辑展开，以“水库水位升降”具象情境将连续加法转化为有理数乘法，结合填空拓展强化乘法本质理解，贴合七年级学生具象思维特点；按“运算律推导+数轴直观”双路径推导法则，让学生自主归纳“同号得正、异号得负”，落实推理意识；通过“倒数与相反数对比”及“潜水员位置计算、股票涨跌”实际情境，强化知识迁移与应用意识；按“基础训练→能力提升→拓展练习”分层设计习题，兼顾不同水平学生。 但存在不足：“负负得正”推导深度不足，部分学生仅记规则而不懂算理；倒数与相反数区分不深入，应用中易混淆；连续乘法运算步骤衔接薄弱，易错漏符号；运算律主动运用意识不足，简化计算能力待提升。
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第二章 有理数及其运算
2.3.1有理数的乘除运算
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解有理数乘法法则的推导过程，能准确运用法则计算整数、分数的乘法；
01
掌握倒数的概念，会求非零有理数的倒数
02
能运用乘法运算律（交换律、结合律、分配律）简化有理数乘法运算。
03
02
新知导入
甲水库的水位每天升高 3cm ，乙水库的水位每天下降 3cm ，预计经过4天甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过4天甲水库的水位变化量为
乙水库的水位变化量为
02
新知导入
拓展：填空
=
5
2
02
新知导入
尝试·思考
你认为 的结果应该是多少？ 呢？你是怎么做的？请说一说你的理由。
实际上，为了保证小学数学中学过的乘法运算律在有理数范围内仍然成立，即有理数的乘法要满足交换律，就要有
同时，要满足乘法对加法的分配律，就要有
因此
02
新知导入
有理数乘法（multiplication）法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。
02
新知导入
思考·交流
（1）请你仿照上面的方法说明 （2）再写一些算式进行计算。你能发现什么规律？与同伴进行交流。
先看乘法交换律 ，(-2)×(-5)=(-5)×(-2) 。
再利用乘法对加法的分配律:
(-2)×(-5)+(-2)×5=(-2)×[(-5)+5]=(-2)×0=0 。
因为(-2)×5=-10，所以(-2)×(-5)=-[(-2)×5]=-(-10)=10 。
02
新知导入
拓展：
①推导
先依交换律 ，再想 可看作个相加（结合乘法本质 ）得 ，所以 ；
②推导
用分配律， ，因 ，所以
02
新知导入
思考·交流
（2）写算式找规律：算式示例：
（异号两数相乘，得负，绝对值相乘 ）；
（异号两数相乘，得负，绝对值相乘 ）；
（同号两数相乘，得正，绝对值相乘 ）；
（同号两数相乘，得正，绝对值相乘 ）。
02
新知导入
计算：
(1） (2）
(3） (4）
解：（1）
(2）
(3）
(4)
02
新知导入
一个数乘-1,所得的积就是它的相反数。
如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数（reciprocal），也称 这两个有理数互为倒数。例如，与 、与互为倒数
如的倒数是 、 倒数 ， 倒数 、的倒数是 ，的倒数是 ，没有倒数
课堂练习
04
课堂练习
1.某潜水员在水下作业，初始位置在水面下20米（记为米）。
若他先下潜米/分钟，持续分钟，此时位置如何表示？
下潜为负方向，应为米（水平面以下26米）
若之后他上升米/分钟，持续分钟，最终位置是多少？
米（水平面以下11米）
04
课堂练习
2.判断：若两个数的乘积是负数，则这两个数中至少有一个数是正数，另一个是负数，该说法是否正确？（ ）
3.现有三个有理数 a、b、c，且 a×b×c＞0，请写出所有满足条件的 a、b、c 的符号组合，并各举一组具体数值验证。
解答：满足条件的符号组合有 2 种，分别是①三个数均为正；②两个数为负、一个数为正。
验证示例：①a=2，b=3，c=4，2×3×4=24＞0；②a=-2，b=-3，c=4，(-2)×(-3)×4=24＞0。
√
05
课堂小结
有理数减法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与0相乘仍得0；能判断多个有理数相乘的符号
有理数乘法法则
倒数的概念
乘法交换律a×b=b×a、结合律(a×b)×c=a×(b×c)、分配律a×(b+c)=a×b+a×c
乘法运算率
乘积为1的两个非零有理数互为倒数，明确1的倒数是1、-1的倒数是-1、0没有倒数，能区分倒数与相反数
1.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各数中，与互为倒数的是（ ）
B. C. D.
3.若三个有理数相乘，积为负数，则这三个数中负数的个数可能是（ ）
A. 0个 B. 2个 C. 1个或3个 D. 0个或2个
06
作业布置
【基础达标】必做题：
B
B
C
4.计算：。。的倒数是________；的倒数是________。
5.计算：
（1）
（2）
（3）
06
作业布置
-10
-6
3
-
06
作业布置
解：（1）=
（2）=
（3）=
06
作业布置
能力提升
6.下列运算中，运用了乘法交换律的是（ ）
B.
C.
D.
7.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
A
D
06
作业布置
8.某水库的水位每天下降，记为，那么天后水位的总变化量是_______。
拓展练习
9.用乘法分配律计算：，结果为__________。
-6
-32
06
作业布置
10.某股票在连续个交易日内的涨跌情况如下（上涨为正，下跌为负）：每天下跌元。
（1）用乘法表示这天的总变化量；
（2）计算这天的总变化量是多少元。
答案：（1）；
（2）解：（元），即总变化量是下跌1.5元。
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分课时学案
课题 2.3.1有理数的乘除运算 单元 第二单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.理解有理数乘法法则的推导过程（基于运算律和乘法本质），能准确运用法则计算整数、分数的乘法（含正负数组合）。 2. 掌握倒数的概念，会求非零有理数的倒数 3. 能运用乘法运算律（交换律、结合律、分配律）简化有理数乘法运算。
重点 1.有理数乘法法则的理解与应用（核心是 “先定符号，再算绝对值” 的运算步骤）。 2.乘法运算律在有理数乘法中的灵活运用（尤其是分配律简化含加减的乘法混合运算）。
难点 “负负得正” 符号规则的合理性推导（突破 “负数乘负数为何得正数” 的认知困惑，需结合运算律、实际意义或数轴直观解释）。
教学过程
导入新课 1. 乘法是相同加数加法的简便运算(填空) 甲水库的水位每天升高 ，乙水库的水位每天下降 ，预计经过4天甲、乙水库水位的总变化量各是多少？ 如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过4天甲水库的水位变化量为 乙水库的水位变化量为 【注意事项：强调正、负号规定要清晰，理解不同情境下正、负所代表的实际意义，为后续有理数乘法符号规则做铺垫。观察相同加数加法与乘法的转换关系，理解乘法本质，尤其是负数参与时的运算逻辑。】 拓展：填空 =
新知讲解 2. 推导有理数乘法法则 尝试·思考 你认为 的结果应该是多少？ 呢？你是怎么做的？请说一说你的理由。 实际上，为了保证小学数学中学过的乘法运算律在有理数范围内仍然成立，即有理数的乘法要满足交换律，就要有 同时，要满足乘法对加法的分配律，就要有 因此 总结有理数乘法（multiplication）法则：两数相乘，同号得_______，异号得_______，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为_______。 3.推导练习 思考·交流 （1）请你仿照上面的方法说明 （2）再写一些算式进行计算。你能发现什么规律？与同伴进行交流。 回答： 拓展：推导 推导 （2）写算式找规律：算式示例： 回答： 计算： (1） (2） (3） (4） 解： 4. 倒数概念(填空) 一个数乘-1,所得的积就是它的_________。 如果两个有理数的乘积为_________，那么称其中一个数是另一个数的倒数（reciprocal），也称这两个有理数互为_______。例如，与 、与互为倒数 再如的倒数是 分数:正、负分数，像 倒数 ， 倒数 特殊数:的倒数是 ，的倒数是 ， 强调没有倒数，因乘任何数都为 ，无法得 ，
课堂练习 1.某潜水员在水下作业，初始位置在水面下2米（记为米）。 若他先下潜米/分钟，持续分钟，此时位置如何表示？ 若之后他上升米/分钟，持续分钟，最终位置是多少？ 2. 判断：若两个数的乘积是负数，则这两个数中至少有一个数是正数，另一个是负数，该说法是否正确？（ ） 3.现有三个有理数 a、b、c，且 a×b×c＞0，请写出所有满足条件的 a、b、c 的符号组合，并各举一组具体数值验证。
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么 2.本节课你有哪些收获 有什么体会 请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么
课后作业 基础训练 1.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2.下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. B. C. D. 3.若三个有理数相乘，积为负数，则这三个数中负数的个数可能是（ ） A. 个 B. 个 C. 个或个 D. 个或个 4.计算：。。的倒数是；的倒数是。 5.计算： （1） （2） （3） 能力提升 6.下列运算中，运用了乘法交换律的是（ ） A. B. C. D. 7.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8.某水库的水位每天下降，记为，那么天后水位的总变化量是。 拓展练习 9.用乘法分配律计算：，结果为。 10.某股票在连续个交易日内的涨跌情况如下（上涨为正，下跌为负）：每天下跌元。 （1）用乘法表示这天的总变化量； （2）计算这天的总变化量是多少元。
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