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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第五章
课标要求 二元一次方程组》是初中数学“数与代数”领域的核心内容，是学生从“一元”向“多元”思维过渡的关键节点，也是后续学习一次函数、线性规划及其他高阶数学知识的重要基础。根据2022版新课标，对《二元一次方程组》的内容要求、学业质量要求可以归纳为以下几点：一、内容要求理解概念： 理解二元一次方程及其解的概念，掌握解法： 掌握二元一次方程组代入消元法（简称“代入法”）和加减消元法（简称“加减法”）*二元一次方程组两种基本解法。思想本质： 理解“消元”是解二元一次方程组的基本思想，即将“二元”问题转化为“一元”问题来解决，体会**化归（转化）**的数学思想。灵活运用： 能根据方程组的特点，选择恰当的、简便的方法求解。应用建模：能根据具体问题中的数量关系，设出两个未知数，列出二元一次方程组，建立数学模型。解决问题： 能通过解所列的方程组，得到实际问题的答案，并根据问题的实际意义检验结果的合理性。问题类型： 能解决包括行程问题、工程问题、配套问题、利润问题、分配问题等在内的各类应用题。二、 学业质量要求（核心素养体现）新课标强调核心素养的落实。本章学习主要体现以下核心素养：运算能力：学生需要完成“实际问题 → 数学模型（方程组）→ 求解模型 → 解释实际结果”的完整建模过程。推理意识： 知道“为什么可以这样解”，而不是死记硬背解题步骤。应用意识： 主动运用所学知识解决生活中的问题，感受数学“有用、有趣”。
内容分析 二元一次方程组是中学数学的重要内容，它是数学解决问题的基本工具，是刻画现实世界的一个最有效的数学模型和重要手段，是一元一次方程的继续和发展，也是学习线性方程和平面几何的基础，同时与一次函数存在密切的联系。它也是学习数学乃至无理化学和其他学科的重要基础。把握好本章学习，有利于激发学生的自主创新、积极探索的热情，培养学生分析问题解决问题的能力。本章教学内容分为三大块;从问题到方程组。选择含有两个未知量的情景，引出二元一次方程组，展现二元一次方程组是刻画现实世界的有效的数学模型，让学生体会数学来源于生活有服务于生活。解方程组，通过学生尝试、比较、探索等方法发现解二元一次方程组的方法（代入法、消元法），体会转化思想。用方程组解决问题，设置具有一定挑战性的问题和思考下的现实问题，用二元一次方程组解决这些丰富多彩具有现实意义的实际问题，既培养学生的方程组的数学模型思想，有培养学生的自主探究解决问题的能力。
学情分析 学生学习了一元一次方程的解法，初步感受了方程的模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。在此基础上，学生进一步研究二元一次方程组的概念、解法和运用。引导学生从熟悉的一元一次方程入手，探究二元一次方程组的概念个解法以及用二元一次方程组解决实际问题，使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数解决问题的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 教学目标1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识二元二次方程(组)及其有关概念。2、根据转化思想，抓住“消元”这一基本策略，熟练掌握二元二次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法。3、经历分析和解决问题的过程，体会二元二次方程(组)的教学模型作用，进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力。（二）教学重点、难点重点：1、二元一次方程组的两种解法（代入法和加减法）。 这是本章的“工具”，必须让学生熟练掌握。2、列二元一次方程组解应用题。 这是本章的“灵魂”，是数学知识应用于实践的最终体现。难点：1、“消元”思想的理解。 学生容易机械地模仿解题步骤，但难以理解为什么要“消元”以及“消元”的本质是“转化”。2、应用题中“等量关系”的寻找与建立。 这是学生普遍感到困难的地方。当问题涉及两个未知数和多个等量关系时，学生往往不知如何下手，或者找错等量关系。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数501认识二元一次方程组1502二元一次方程组的解法（代入消元）1503二元一次方程组的解法（加减消元）1504二元一次方程组的应用（古题今解）1505二元一次方程组的应用（增收节支）1506二元一次方程组的应用（行程问题）1507二元一次方程组与一次函数1508用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1509三元一次方程组1510解决问题的策略 逐步确定1511回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识二元一次方程组1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。1、完成课前练习题。2、思考情景中问题。3、学生独立对问题1、2列出相应的方程,通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义4、完成做一做，5、类比出二元一次方程组的概念，6、完成做一做。7、探究二元一次方程的解的含义8、完成做一做，9、类比出二元一次方程组的解10、完成做一做11、完成课堂练习12、引导学生课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结二元一次方程组的解法（代入消元）1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，学会用代入消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，转化的思想。 3、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。 1、回顾知识，唤醒记忆。2、根据情景，学生列出二元一次方程组，3、利用两种方法解二元一次方程组，并验证答案的正确性，4、学生自学例题1并对例题1、2写出检验过程。5、根据“变、代、求、写”的步骤，说一说。5、小组讨论归纳总结出代入消元法。6、拓展提高学习整体代入法。7、学生完成课堂练习。8、课堂总结环节一：知识回顾环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的解法（加减消元）1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，会用加减消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 3、培养学生学会自主探索，与他人合作， 与人交流思维过程的习惯。1、学生回顾知识。2、尝试用多种方法解二元一次方程。3、观察方程组系数的特点，尝试用加减消元法解二元一次方程组。4、自学例题3，发现未知数的系数相同，直接用加减消元法解二元一次方程组。5、自学例题4，学生小组讨论；当未知数的系数不相等时怎样变成未知数系数的绝对值相等？变换根据是什么？如何使用加法或减法消元。6、判断解方程组过程中的错误，并改正。7、完成课堂练习。8、学生课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的应用（古题今解）1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。1、思考解二元一次方程组的两种基本方法并完成习题2、3。2、回顾小学解决鸡兔同笼的几种方法，并选择你喜欢的方法解答。3、通过小组交流合作,同学之间相互提问、相互补充,用二元一次方程解决鸡兔同笼问题，并由两名学生代表板书解析过程，通过互相评价激发学生学习热情.4、尝试用二元一次方程解古题。5、通过交流合作，学习经典的3个例题，学生参与、讨论、质疑、补充.学生代表板书解析过程，学生评价，相互学习相互促进6、学生完成课堂练习。7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：古题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的运用（增收节支）1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。1、回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题。3、分析题中的数量关系填写表格4、题目中有哪些等量关系？5、写出解方程的过程.6、先读题，找出题目中的关键语句（独立完成）7、小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格8、尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组的运用（行程问题）1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。1、完成预习题，从而激发兴趣，进入新课。2、分析题意，完成表格和填空3、找出等量关系。4、试着用方程解决问题.5、弄清题意画线段图分析例题1和2，找出等量关系。6、试着用方程解决问题。7、小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤。8、分析数字问题位置互换后的表示方法，利用数量关系列方程求解9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组与一次函数1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.1、回顾知识，完成习题。2、探究一，小组交流讨论4个问题。3、探究小结；x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。5、两点法作出一次函数的图像，6、小组交流；方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系 7、探究小结：方程组的解就是两直线的交点坐标；8、探究两直线平行于方程组解的关系。9、探究小结：当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.10、完成课堂作业11、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结。用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系。根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。6、完成课堂作业7、引导学生进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结。三元一次方程组1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.1、问题抢答，激发兴趣。2、完成课前检测。3、根据等量关系列三元一次方程组。4、根据二元一次方程组的概念类比出三元一次方程组的概念5、教师指导解三元一次方程组。6、小组交流讨论例题2、3.方程组的解法。7、小组归纳三元一次方程组的解法及消元时注意的问题。8、完成课堂作业9、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结解决问题的策略 逐步确定1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。思考问题小组交流：按问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程探究问题解决策略：逐步确定。3、完成课堂作业4、引导学生进行课堂总结环节一：情境引入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成1、展示课前布置的思维导入，说明制作本图的亮点。2、学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。3、小组交流合作完成5个例题的学习。4、完成课堂作业5、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结
《二元一次方程组》单元教学设计
活动1：复习旧知
活动2：情景导入
活动3：探究新知
任务一：认识二元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：问题导入
活动3：探究新知
任务二：解二元一次方程组（代入消元）
活动4：典例精析
二元一次方程组
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：课前检测
活动3：探究新知
活动4：典例精析
任务三：解二元一次方程组（加减消元）
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：古题导入
任务四：二元一次方程组的应用（古题今解）
活动3：探究新知
活动4：典例精析
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：预习交流
活动2：情境导入
任务五：二元一次方程组的应用（增收节支）支 ）
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：预习交流
二元一次方程组
任务六：二元一次方程组的应用（行程问题）
活动2：情境导入
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：探究新知
任务七：二元一次方程组与一次函数
活动3：课堂练习
活动4：课堂总结
活动1：知识回顾
活动2：探究新知
活动3：典例精析
任务八：用二元一次方程组求一次函数（待定系数法）
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：课前检测
活动3：探究新知
任务九：三元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：情景引入
二元一次方程组
活动2：探究新知
活动3：课堂练习
任务十：解决问题的策略
逐步确定
活动4：课堂总结
活动1：知识架构
活动2：知识梳理
活动3：典例精析
任务十一：回顾与思考
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
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北师大版（2024）第五章《二元一次方程组》5.3二元一次方程组的运用（行程问题）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 二元一次方程组的运用（行程问题） 课时 1
课标要求 培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，用数学的语言表达思想。
教材分析 本节课的教学内容是义务教育课程标准北师大版八年级数学上次第5章第3节内容，在前两节的基础上，进一步让学生体会列方程解决实际问题的一般步骤。本节教学内容是数字问题和行程问题。为此教材从小长方形拼成大长方形引入，逐步找到解决问题的关键所在；找等量关系，学会用方程组刻画现实世界，进一步培养学生应用数学的能力。
学情分析 学生在本节前已经学习了二元一次方程组的解法，通过学习了鸡兔同笼、增收节支。学生已经初步体会到列方程解决问题的一般步骤，学生初步具有应用数学的能力
核心素养目标 1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
教学重点 用二元一次方程组刻画数字问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。
教学难点 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、预习交流 （1）一个两位数，十位上的数是6，个位上的数是4，这个两位数是 64 .（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为 10b+a ，若交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为 10a+b ． （3）23，45是两个两位数，把较大的两位数写在较小的两位数的左边，则得到一个四位数，那么这个四位数是 4523 .有两个两位数a和b ，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 100a+b ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 100b+a 如图，单位（cm),是由8块相同的小长方形拼成的一个较大的长方形，能找出题中相等的量吗？如何求出小长方形的长和宽？分析：相等的量长=3宽长+宽=40解：设长方形的长为xcm，宽为ycm.解得答：小长方形的长是30cm,宽是10cm 学生活动1：完成预习题，从而激发兴趣，进入新课 通过前四个问题的分析，让学生掌握，已知一个数各个数位的数字，怎样用代数式表示这个数。为后续教学奠基。通过对第5个问题的解答，领会用方程解决问题的关键是找等量关系，为后续教学奠基。
二、情景导入 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？分析；如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么 时刻百位数字十位数字个位数字代数式12:00 xy10x+y13:00yx10y+x14:00x0y100x+y(1)12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 （10y+x）-(10x+y) ； (2) 13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 (100x+y)-((10y+x) ； (3)12：00~13：00与13：00~14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？ 相等。 解：如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：解这个方程组，得 答：12:00时看到的里程碑上的数是16． 1、分析题意，完成表格和填空找出等量关系。3、试着用方程解决问题 创设情境，激发学生兴趣，体会将一个复杂问题分解成几个简单问题的思维方法。
三、探究新知 例1: 火车以40m/s的速度经过乙隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共有30s,其中火车整个车身在隧道的时间是20s,求隧道长和火车的长度。画图分析数量关系：30s行驶的路程是隧道长+火车长20s行驶的路程是隧道长-火车长解：隧道长xm,火车长ym.得方程组：解这个方程组，得 答：隧道长1000m,火车长200m.． 例2: 甲、乙两人相距42km,如果两人同时从两地相向而行，2小时后相遇,如果两人同时从两地同向而行,14小时后乙追上甲,求二人的速度 等量关系式：解:设甲乙二人的速度分别为每小时x千米,每小时y千米,根据题意得:整理得解得答:甲乙二人的速度分别为9千米/小时, 12千米/小时.例3: 两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边接着写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数. 分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y,在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为：100x+y 。在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x 。解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则整理得 解得答:这两个两位数分别是45和23.小结：一、列方程解应用题步骤1·审题 (找等量关系）2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验·作答二、行程问题画线段图分析，理清题中的未知量，已知量，找出等量关系。 三、数字问题一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列出方程(组)。 1、弄清题意画线段图分析例题1和2，找出等量关系。2试着用方程解决问题。小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤。4.分析数字问题位置互换后的表示方法，利用数量关系列方程求解。 设计例题1,2其目的是让学生体会分析行程问题一般采用线段图分析。例题3人学生体会数字问题一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列出方程(组)。让学生再次体验列方程解决问题的过程，体会方程是刻画现实世界有效的数学模型，通过交流和总结，培养学生口头表达能力，增强反思总结的意识。
五、尝试 基础达标：1.有一个两位数， 已知甲、乙两数的和为13，乙数比甲数少5，则甲数是 9 ，乙数是 4 .2.个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143.这个两位数是 49 3. 小亮和小明做加法游戏，小明在第一个加数的后面多写一个0，所得和是242；小亮在另一个加数的后面多写一个0，所得和是341，原来的两个加数分别是 21和32 .4.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y,则 解得： 答：这个两位数是 56。5.A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？解：设甲速度为xkm/h，乙速度为ykm/h,则 解得：答：甲、乙二人的速度分别是4km/h和5km/h。6.汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？解：设从甲地到乙地上坡路有x千米，下坡路有y千米,则 解得： 答：从甲地到乙地上、下坡路各是70千米和84千米。能力提升：7．为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m，缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，依题意得：解得：答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，∴用水量超过12立方米．设用水量为a立方米，依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，解得：a＝16．答：当缴纳水费为64.4元时，用水量16立方米拓展迁移8.下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价，单位元。（收盘价：股票每天交易结束时的价格）：星期一星期二星期三星期四星期五甲1212.512.912.4512.75乙13.513.313.913.413.75某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则他账户上星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元.这个人持有甲、乙股票各多少股？通过理解题意可知本题的等量关系，“星期二比星期一获利200元”“星期三比星期二获利1300元”，根据等量关系列出方程组解答．解：设此人持有A，B两种股票分别为x股，y股，依题意得方程组(12.5 12)x+(13.3 13.5)y=200(12.9 12.5)x+(13.9 13.3)y=1 300，解得 x=1000 y=1500.答：该人持有A，B两种股票分别为1000股和1500股9.某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．解：设火车长为x m，速度为y m/s，根据题意，得 EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT 解得答：火车长为200m，速度为20m/s. 完成课堂作业 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 一、列方程解应用题步骤1·审题 (找等量关系）2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验·作答二、行程问题画线段图分析，理清题中的未知量，已知量，找出等量关系。 三、数字问题一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列出方程(组)。 引导学生进行小结。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 列方程解应用题步骤1·审题 (找等量关系）2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验·作答关键：找等量关系（表格、线段图）. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 145 元．2. 某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 18 间.3.将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形改变拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则每个小长方形的面积为（ B ）A 120m B．135m C．108m D．96m4.小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张．若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ C ）A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：435. 小亮和小明做加法游戏，小明在第 一个加数的后面多写一个0，所得和 是242；小亮在另一个加数的后面多 写一个0，所得和是341，求原来的 两个加数分别是多少 解：设第一个加数为x，另一个加数为y,则 解得： 答：原来的两个加数分别是21和32。6.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．由题意列方程组得：解得答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．能力提升：7.儿子问父亲今年多大，父亲笑着对儿子说：“我像你这么大时，你才1岁；当你像我这么大时，我已经 67岁了！”你知道父子俩今年各多少岁吗？你有几种解决问题的方法？解法一：设儿子今年x岁，父亲今年y岁，如图所示，则 解得： 答：父子俩今年分别是23岁和45岁。解法二：如图所示，无论是哪一年，父子年龄差不变。 故年龄差=（67-1）÷3=22（岁） 所以，22+1=23（岁）………儿子 22+23=45（岁）………父亲 答：父子俩今年分别是23岁和45岁。 解法三：设父子的年龄差为x岁，则儿子今年（x+1）岁， 父亲今年（2x+1）岁,父亲x年后67岁,则 2x+1+x=67, x=22. ∴ x+1=23, 2x+1=45 答：父子俩今年分别是23岁和45岁。拓展迁移：8.汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度为42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（列方程组不求解）解：设从甲地到乙地上坡路是x千米，下坡路是y千米。依题意得9.甲、乙两人分别从相距 30千米的 A，B两地同时相向而行,经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到 B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，你能求出甲、乙两人的速度吗？解：设甲的速度为为 X 千米/时，乙的速度为 y 千米/时。 （1）当两人相遇之前相距3千米时，根据题意，得: 解得（2）当两人相遇之后相距3千米时，根据题意，得: 解得 综上，甲的速度为 4千米/时，乙的速度为 5千米/时；或甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时。
教学反思
x=3y
x+y=40
x=3y
x+y=40
x+y=7
(100x+y)-(10y+x)=(10y+x）-（10x+y）
x=1
y=6
x+y=40×30
x-y=40×20
x=1000
y=200
分析: 1
甲
乙
相遇
2
甲
乙
追上
S甲+S乙=42
S乙- S甲=42
2x+2y=42
14y-14x=42
x+y=21
y-x=3
x=9
y=12
x+y=68
(100x+y)-(100y+x)=2178
x+y=68
x-y=22
x=45
y=23
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第五章 二元一次方程组
5.3二元一次方程组的运用（行程问题）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。
2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。
3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
学习重点：用二元一次方程组刻画数字问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。
学习难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
预习自测
（1）一个两位数，十位上的数是6，个位上的数是4，这个两位数是 .
（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为 ，若交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为 ．
（3）23，45是两个两位数，把较大的两位数写在较小的两位数的左边，则得到一个四位数，那么这个四位数是 .
有两个两位数a和b ，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 。
如图，单位（cm),是由8块相同的小长方形拼成的一个较大的长方形，能找出题中相等的量吗？如何求出小长方形的长和宽？
分析，相等的量： .
解：设长方形的长为xcm，宽为ycm.
解得
答：小长方形的长是30cm,宽是10cm
教学过程
创设情境、导入新课
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
分析；如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么(填写下表）
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 代数式
12:00 -----
13:00 ------
14:00
(1)12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 ；
(2) 13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 ；
(3)12：00~13：00与13：00~14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？ 。
解：如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：
解这个方程组，得
答：12:00时看到的里程碑上的数是16．
二、合作交流、新知探究
例1: 火车以40m/s的速度经过乙隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共有30s,其中火车整个车身在隧道的时间是20s,求隧道长和火车的长度。
画图分析
数量关系：30s行驶的路程是隧道长+火车长；20s行驶的路程是隧道长-火车长
解：隧道长xm,火车长ym.得方程组：
解这个方程组，得
答：隧道长1000m,火车长200m.．
例2: 甲、乙两人相距42km,如果两人同时从两地相向而行，2小时后相遇,如果两人同时从两地同向而行,14小时后乙追上甲,求二人的速度
等量关系式： 。
解:设甲乙二人的速度分别为每小时x千米,每小时y千米,根据题意得:
整理得
解得
答:甲乙二人的速度分别为9千米/小时, 12千米/小时.
例3: 两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边接着写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数.
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y,
在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为： 。
在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为 。
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则
整理得
解得
答:这两个两位数分别是45和23.
小结：一列方程解应用题步骤
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
二行程问题
画线段图分析，理清题中的未知量，已知量，找出等量关系。
三数字问题
一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列出方程(组)。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.有一个两位数， 已知甲、乙两数的和为13，乙数比甲数少5，则甲数是 ，乙数是 .
2.个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143.这个两位数是 .
3. 小亮和小明做加法游戏，小明在第一个加数的后面多写一个0，所得和是242；小亮在另一个加数的后面多写一个0，所得和是341，原来的两个加数分别是 .
4.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？
5.A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
6.汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？
能力提升：
7．为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
拓展迁移
8.下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价，单位元。（收盘价：股票每天交易结束时的价格）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲 12 12.5 12.9 12.45 12.75
乙 13.5 13.3 13.9 13.4 13.75
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则他账户上星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元.这个人持有甲、乙股票各多少股？
通过理解题意可知本题的等量关系，“星期二比星期一获利200元”“星期三比星期二获利1300元”，根据等量关系列出方程组解答．
9.某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．
总结反思、拓展升华
一列方程解应用题步骤
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数
3·列方程
4·解方程
5·检验·作答
二行程问题
画线段图分析，理清题中的未知量，已知量，找出等量关系。
三数字问题
一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列出方程(组)。
五、【作业布置】
基础达标：
1.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 元．
2. 某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 间.
3.将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形改变拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A 120m B．135m
C．108m D．96m
4.小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张．若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ）
A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43
5. 小亮和小明做加法游戏，小明在第 一个加数的后面多写一个0，所得和 是242；小亮在另一个加数的后面多 写一个0，所得和是341，求原来的 两个加数分别是多少
6.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
能力提升：
7.儿子问父亲今年多大，父亲笑着对儿子说：“我像你这么大时，你才1岁；当你像我这么大时，我已经 67岁了！”你知道父子俩今年各多少岁吗？你有几种解决问题的方法？
拓展迁移：
8.汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度为42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（列方程组不求解）
解：设从甲地到乙地上坡路是x千米，下坡路是y千米。依题意得
9.甲、乙两人分别从相距 30千米的 A，B两地同时相向而行,经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到 B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，你能求出甲、乙两人的速度吗？
课堂练习参考答案：
1、9； 4
2、49
3、21和32
4、解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y,则
解得：
答：这个两位数是 56。
5、解：设甲速度为xkm/h，乙速度为ykm/h,则
解得：
答：甲、乙二人的速度分别是4km/h和5km/h。
6、解：设从甲地到乙地上坡路有x千米，下坡路有y千米,则
解得：
答：从甲地到乙地上、下坡路各是70千米和84千米。
7、解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，依题意得：
解得：
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，∴用水量超过12立方米．
设用水量为a立方米，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量16立方米
8、解：设此人持有A，B两种股票分别为x股，y股，依题意得方程组
(12.5 12)x+(13.3 13.5)y=200
(12.9 12.5)x+(13.9 13.3)y=1 300，
解得 x=1000
y=1500.
答：该人持有A，B两种股票分别为1000股和1500股
9.解：设火车长为x m，速度为y m/s，根据题意，得
解得
答：火车长为200m，速度为20m/s.
课外作业参考答案：
145
18
B
C
5.解：设第一个加数为x，另一个加数为y,则
解得：
答：原来的两个加数分别是21和32。
6.解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．由题意列方程组得：
解得
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．
7.解法一：设儿子今年x岁，父亲今年y岁，如图所示，则
解得：
答：父子俩今年分别是23岁和45岁。
解法二：如图所示，无论是哪一年，父子年龄差不变。
故年龄差=（67-1）÷3=22（岁）
所以，22+1=23（岁）………儿子
22+23=45（岁）………父亲
答：父子俩今年分别是23岁和45岁。
解法三：设父子的年龄差为x岁，则儿子今年（x+1）岁，
父亲今年（2x+1）岁,父亲x年后67岁,则
2x+1+x=67, x=22. ∴ x+1=23, 2x+1=45
答：父子俩今年分别是23岁和45岁。
8.
9.解：设甲的速度为为 X 千米/时，乙的速度为 y 千米/时。
（1）当两人相遇之前相距3千米时，根据题意，得:
解得
（2）当两人相遇之后相距3千米时，根据题意，得:
解得
综上，甲的速度为 4千米/时，乙的速度为 5千米/时；或甲的速度为千米/时，乙的
速度为千米/时。
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