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北师大版（2024）第五章《二元一次方程组》5.4用二元一次方程组确定一次函数表达式教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 用二元一次方程组确定一次函数表达式 课时 1
课标要求 用二元一次方程组确定一次函数表达式（待定系数法）不仅仅是让学生掌握一种解题技巧，更重要的是通过它来深化对函数概念的理解，培养模型思想、转化思想和应用意识。
教材分析 《用二元一次方程组确定一次函数表达式》是北师大版八年级（上）第五章《二元一次方程组》第4节，本节内容安排了1个学时完成.主要是通过对作图像方法与代数方法的比较，探索利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.这一内容是上一课时内容的自然发展，上一课时探索了函数与方程之间的关系，并获得了方程组的图像解法，本节课研究利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，这样更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的关系，从而发展学生数形结合的意识。
学情分析 学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，同时在学习了确定一次函数的表达式的基本方法，在上一节课又学习了二元一次方程组的图像解法，这些知识为本节课的学习作好了很好的铺垫.由于上节课的惯性，学生易在图像法上停留，因为图像法很直观，容易接受，因此本节课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程.
核心素养目标 1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。
教学重点 会用二元一次方程组确定一次函数表达式。
教学难点 进一步感悟方程与函数的联系，理解如何用二元一次方程组确定一次函数表达式。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识回顾 1、已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，2），求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.把点（3，5）与（0，2）分别代入，得：解方程组得 ∴这个一次函数的解析式为y=x+22、用图象法解方程组 解：由①得y=-2x+4 由②得y= x-4作出图象：观察图象得：交点(3,-2)∴方程组的解为二元一次方程组与一次函数有何联系 二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标； 反之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解． 方程问题 函数问题 转化 独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系 回顾旧知，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣和求知欲望，
三、探究新知 探究;二元一次方程组与一次函数已知A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？分析：甲 乙A B时间距离A的路程甲230乙180小亮的解法：可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找 出交点的横坐标就行了甲：t=0,s=0 ; t=2,s=30乙：t=0,s=100; t=1,s=80小明的解法：他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数甲的函数表达式为s=kt+b,经过（0,0）和（2,30）表达式是y=15t设乙的函数表达式为s=kt+b,经过（0,100）和（1,80）表达式是y=100-20t联立解得小颖的解法：1小时后乙距A地 80千米,即乙车速度是（20km/h)2小时后甲距A地30千米,即甲车速度是（15km/h)设同时出发后t小时相遇，等量关系式：甲车行驶路程+乙车行驶路程=AB两地相隔距离20t+15t=100 解得比较三位同学的解法小亮-----用图像求解；小明-----一次函数求解；小颖---- 一元一次方程。 用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法. 根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。 设计三种方法解决问题。通过“图像法求出的结果准确吗 ”讨论，自然过渡到本节课的主要内容，揭示课题，体现教学意图。
三、典例精析 例1、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元． (1)写出y与x之间的函数表达式；(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：（1）设此一次函数表达式为： y=kx+b根据题意，可得方程组 解得k= b=-5 ∴y= x-5 (2)当y=0 时 x-5=0 x=30所以旅客最多可免费携带30千克的行李． 例题2.在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长15cm;当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度解：（1）设此一次函数表达式为： y=kx+b根据题意，可得方程组 解得 ∴y=0.5x-5 (2)当x=4 时 y=0.5x+14.5 =0.5×4+14.5 =16.5答：所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度是16.5cm探究小结：一待定系数法像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法二待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：1.设出一次函数的表达式：y=kx+b2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次方程组.3.解这个二元一次方程组得k，b.4.写出一次函数的表达式. 学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。 通过两个例题的探索，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的方法--待定系数法的方法和步骤。
五、尝试 基础达标：1. 若方程组 没有解，由此一次函数y=2-x 与y=1.5-x 的图像必定（ B ）A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断2.以方程2x+y=14 的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为( C )A. y=2x+14 B. y=2x-14 C. y=-2x+14 D. y=-x+73．已知直线y＝kx＋b过点(－1，3)和点B(1，1)，则k，b的值为( B )A．k＝1，b＝2 B．k＝－1，b＝2C．k＝1，b＝－2 D．k＝－1，b＝－24.如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，关于x，y的方程组 的解是（ D ）5.如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为( B )A.y= x+2 B. y=x+2 C. y=x 2 D. y= x 2解答提示：先写出A、B的坐标，然后用待定系数法求一次函数的表达式式。6.已知函数y=2x+b的图象经过点（a，7）和（-2，a），求这个函数的表达式。解：将（a，7）和（-2，a）代入y=2x+b解得所以该函数的表达式为：y = 2x + 57．已知y－3与x－1成正比例，当x＝3时，y＝7，那么y与x的函数关系式是 .【解析】解:设正比例函数的表达式是y-3=k(x-1)把x=3,y=7代入y-3=k(x-1)，即7-3=k(3-1)求出k=2,把k=2代入y-3=k(x-1)，得到y-3=2(x-1)化简得:y=2x+1能力提升：8．老李与老张两人骑摩托车分别从A，B两地同时出发相向而行，图中L1、L2分别表示两辆摩托车与A地的距离s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系．(1)甲、乙两辆摩托车的速度差为老李0.6小时行24千米，速度是24÷0.6=40（千米/时）老张0.5小时行24千米，速度是24÷0.5=48（千米/时）速度差：48-40=8千米/小时；(2)经过h两车相距6 km.解：设x小时两车相距6千米相遇前相距6千米。得40x+48x+6=24, x=相遇后相距6千米。得40x+48x-6=24, x=所以经过 小时或 小时相距6千米拓展迁移甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图所示，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了 0.5 h；(2)求线段DE对应的函数表达式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？【解析】：（2）线段DE经过（2.5，80）和（4.5，300）用待定系数法求出线段DE的表达式，注意DE是线段，所以自变量X的取值范围是2.5≤x≤4.5)答案是y＝110x－195(2.5≤x≤4.5)（3）：求出OA的解析式，再和DE的解析式联立成二元一次方程组，解得：x＝3.9，这时间是货车出发时间，轿车不货车晚1小时出发。故轿车出发时间是3.9－1＝2.9(小时)．10、如图，甲、乙两人在同一直道上骑行，其中甲骑摩托车，乙骑自行车，图中L1，L2分别表示甲、乙两人骑行过程中，与甲的出发点的距离y(km)和甲的骑行时间x(h)之间的关系．(1)求L1，L2对应的函数表达式；(2)当乙开始骑行时，求甲、乙之间的距离； (3)求甲追上乙所用的时间解：（1）设L1对应的函数表达式为y＝kx(k≠0)． 把(6，180)代入，可得180＝6k，解得k＝30，所以L1对应的函数表达式为y＝30x(x≥0)． 设L2对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0)． 把(2，100)，(10，180)代入，可得 解得：所以L2对应的函数表达式为y＝10x＋80(x≥2)．(2）：在y＝30x中，当x＝2时，y＝30×2＝60，∴100－60＝40(km)．所以当乙开始骑行时，甲、乙之间距离40Km,（3）：解方程组 解得：∴甲追上乙所用的时间为4 h． 学生完成课堂作业。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 一待定系数法像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法二待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：1.设出一次函数的表达式：y=kx+b2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次方程组.3.解这个二元一次方程组得k，b.4.写出一次函数的表达式. 引导学生课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次方程组.3.求这个二元一次方程组得k，b.4.写出一次函数的表达式. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．已知直线y＝kx＋b过点(－1，3)和点B(1，1)，则k，b的值为( B )A．k＝1，b＝2 B．k＝－1，b＝2 C．k＝1，b＝-2 D．k＝－1，b＝－22．一次函数y＝kx＋b满足x＝3时，y＝0；x＝－2时，y＝10，则一次函数的表达式为( B )A．y＝2x＋6 B．y＝－2x＋6 C．y＝－2x－6 D．y－2x＝63．若点(5，－18)、点(－7，6)、点(a，12)在一条直线上，则a的值为( C )A．－16 B．－12 C．－10 D．－84、某航空公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，若超过规定质量，则须购买行李票．已知行李票费用是行李质量的一次函数；行李质量60 kg行李票费用6元，行李质量80 kg行李票费用10元．旅客最多可免费携带行李的质量是( C ) A．10 kg B．20 kg C．30 kg D．40 kg5、为响应“节约用水”的号召，市自来水公司决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示．若该用户本月用水21吨，则应交水费( C )A．52.5元 B．45元 C．42元 D．37.8元6、如图，弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，关系式是： .由图可知，不挂物体时，弹簧的长度为 10cm .某公司销售人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(千件)之间的关系如图所示，则销售人员的销售量3千件时的月收入是 1400 元 第5题 第6题 第7题能力提升：如图，已知一次函数y＝kx＋3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与一次函数y＝ x－2的图象相交于点C，已知点C的纵坐标为1，下列结论：①关于x的方程kx＋8＝0的解为x＝18；②过点AD的直线为y＝ x－2；③四边形BOEC的面积为；④方程组的 的解为 ，其中正确的有 ．(填正确的序号)解：（1）直线 y＝ x－2 ，经过点C的纵坐标为1,则C( ,1),代入y＝kx＋3k=- ，方程kx＋8＝0即- x+8=0 ,x=18,故选项①正确；（2）求出A( ，0） D(0,-2)用系数法求出AD的解析式是y= x-2,故②正确；（3）B(0,3),C( ,1),E（3，0） 连接OC,四边形BOEC的面积等于三角形BOC的面积+三角形OCE的面积= 故③正确；（4）由于K=- ，代入方程组 解得 故④不正确所以正确的有①②③ .拓展迁移：9、某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2013年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示：从2013年开始，该市荔枝种植面积y(万亩)随着时间x(年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该市2016年荔枝种植面积为多少万亩？答案：(1)y与x之间的关系式为y＝x－1 989；(2)27(万亩)10、周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．解：(1)小明骑车速度：100÷5＝20(km/h).在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5(h)．（2)妈妈驾车速度：20×3＝60(km/h)设直线BC解析式为y＝20x＋b，把点B(1，10)代入得b＝－10.∴y＝20x－10 .设直线DE解析式为y＝60x＋c，把点D( ，0)，代入得c＝－80，∴y＝60x－80，∴ y＝20x－10， y＝60x－80， 解得x＝1.75，y＝25.∴交点F(1.75，25)．答：小明出发1.75小时(105分钟)被妈妈追上，此时离家25 km.(3)：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n(km)，由题意得：n÷20－n÷60＝10÷60∴n＝5.∴从家到乙地的路程为5＋25＝30(km)．
教学反思
3k+b=5
b=2
K=1
b=2
2x+y=4
2x-3y=12
x
o
y
y=-2x+4
x=3
y=2
y=15t
y=100-20t
代数法
5=60k+b
10=90k+b
15=k+b
16=3k+b
k=0.5
b=14.5
x+y=2
2x+2y=3
y-ax=b
kx -y=0
A. x=-2 B. x=-3
y=-3 y=2
C, x=3 D x=-3
y=-2 y=-2
7 = 2a + b
a = -4 + b
a=1
b=5
100=2m+n
180=10m+n
m=10
n=80
y=30x
y=10x+80
x=4
y=120
y = 0.5x + 10
x=4.5
y=1
kx-y+3=0
2x-3y-2=0
x=3.3
y=
kx-y+3=0
2x-3y-2=0
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第五章
课标要求 二元一次方程组》是初中数学“数与代数”领域的核心内容，是学生从“一元”向“多元”思维过渡的关键节点，也是后续学习一次函数、线性规划及其他高阶数学知识的重要基础。根据2022版新课标，对《二元一次方程组》的内容要求、学业质量要求可以归纳为以下几点：一、内容要求理解概念： 理解二元一次方程及其解的概念，掌握解法： 掌握二元一次方程组代入消元法（简称“代入法”）和加减消元法（简称“加减法”）*二元一次方程组两种基本解法。思想本质： 理解“消元”是解二元一次方程组的基本思想，即将“二元”问题转化为“一元”问题来解决，体会**化归（转化）**的数学思想。灵活运用： 能根据方程组的特点，选择恰当的、简便的方法求解。应用建模：能根据具体问题中的数量关系，设出两个未知数，列出二元一次方程组，建立数学模型。解决问题： 能通过解所列的方程组，得到实际问题的答案，并根据问题的实际意义检验结果的合理性。问题类型： 能解决包括行程问题、工程问题、配套问题、利润问题、分配问题等在内的各类应用题。二、 学业质量要求（核心素养体现）新课标强调核心素养的落实。本章学习主要体现以下核心素养：运算能力：学生需要完成“实际问题 → 数学模型（方程组）→ 求解模型 → 解释实际结果”的完整建模过程。推理意识： 知道“为什么可以这样解”，而不是死记硬背解题步骤。应用意识： 主动运用所学知识解决生活中的问题，感受数学“有用、有趣”。
内容分析 二元一次方程组是中学数学的重要内容，它是数学解决问题的基本工具，是刻画现实世界的一个最有效的数学模型和重要手段，是一元一次方程的继续和发展，也是学习线性方程和平面几何的基础，同时与一次函数存在密切的联系。它也是学习数学乃至无理化学和其他学科的重要基础。把握好本章学习，有利于激发学生的自主创新、积极探索的热情，培养学生分析问题解决问题的能力。本章教学内容分为三大块;从问题到方程组。选择含有两个未知量的情景，引出二元一次方程组，展现二元一次方程组是刻画现实世界的有效的数学模型，让学生体会数学来源于生活有服务于生活。解方程组，通过学生尝试、比较、探索等方法发现解二元一次方程组的方法（代入法、消元法），体会转化思想。用方程组解决问题，设置具有一定挑战性的问题和思考下的现实问题，用二元一次方程组解决这些丰富多彩具有现实意义的实际问题，既培养学生的方程组的数学模型思想，有培养学生的自主探究解决问题的能力。
学情分析 学生学习了一元一次方程的解法，初步感受了方程的模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。在此基础上，学生进一步研究二元一次方程组的概念、解法和运用。引导学生从熟悉的一元一次方程入手，探究二元一次方程组的概念个解法以及用二元一次方程组解决实际问题，使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数解决问题的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 教学目标1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识二元二次方程(组)及其有关概念。2、根据转化思想，抓住“消元”这一基本策略，熟练掌握二元二次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法。3、经历分析和解决问题的过程，体会二元二次方程(组)的教学模型作用，进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力。（二）教学重点、难点重点：1、二元一次方程组的两种解法（代入法和加减法）。 这是本章的“工具”，必须让学生熟练掌握。2、列二元一次方程组解应用题。 这是本章的“灵魂”，是数学知识应用于实践的最终体现。难点：1、“消元”思想的理解。 学生容易机械地模仿解题步骤，但难以理解为什么要“消元”以及“消元”的本质是“转化”。2、应用题中“等量关系”的寻找与建立。 这是学生普遍感到困难的地方。当问题涉及两个未知数和多个等量关系时，学生往往不知如何下手，或者找错等量关系。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数501认识二元一次方程组1502二元一次方程组的解法（代入消元）1503二元一次方程组的解法（加减消元）1504二元一次方程组的应用（古题今解）1505二元一次方程组的应用（增收节支）1506二元一次方程组的应用（行程问题）1507二元一次方程组与一次函数1508用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1509三元一次方程组1510解决问题的策略 逐步确定1511回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识二元一次方程组1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。1、完成课前练习题。2、思考情景中问题。3、学生独立对问题1、2列出相应的方程,通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义4、完成做一做，5、类比出二元一次方程组的概念，6、完成做一做。7、探究二元一次方程的解的含义8、完成做一做，9、类比出二元一次方程组的解10、完成做一做11、完成课堂练习12、引导学生课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结二元一次方程组的解法（代入消元）1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，学会用代入消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，转化的思想。 3、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。 1、回顾知识，唤醒记忆。2、根据情景，学生列出二元一次方程组，3、利用两种方法解二元一次方程组，并验证答案的正确性，4、学生自学例题1并对例题1、2写出检验过程。5、根据“变、代、求、写”的步骤，说一说。5、小组讨论归纳总结出代入消元法。6、拓展提高学习整体代入法。7、学生完成课堂练习。8、课堂总结环节一：知识回顾环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的解法（加减消元）1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，会用加减消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 3、培养学生学会自主探索，与他人合作， 与人交流思维过程的习惯。1、学生回顾知识。2、尝试用多种方法解二元一次方程。3、观察方程组系数的特点，尝试用加减消元法解二元一次方程组。4、自学例题3，发现未知数的系数相同，直接用加减消元法解二元一次方程组。5、自学例题4，学生小组讨论；当未知数的系数不相等时怎样变成未知数系数的绝对值相等？变换根据是什么？如何使用加法或减法消元。6、判断解方程组过程中的错误，并改正。7、完成课堂练习。8、学生课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的应用（古题今解）1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。1、思考解二元一次方程组的两种基本方法并完成习题2、3。2、回顾小学解决鸡兔同笼的几种方法，并选择你喜欢的方法解答。3、通过小组交流合作,同学之间相互提问、相互补充,用二元一次方程解决鸡兔同笼问题，并由两名学生代表板书解析过程，通过互相评价激发学生学习热情.4、尝试用二元一次方程解古题。5、通过交流合作，学习经典的3个例题，学生参与、讨论、质疑、补充.学生代表板书解析过程，学生评价，相互学习相互促进6、学生完成课堂练习。7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：古题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的运用（增收节支）1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。1、回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题。3、分析题中的数量关系填写表格4、题目中有哪些等量关系？5、写出解方程的过程.6、先读题，找出题目中的关键语句（独立完成）7、小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格8、尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组的运用（行程问题）1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。1、完成预习题，从而激发兴趣，进入新课。2、分析题意，完成表格和填空3、找出等量关系。4、试着用方程解决问题.5、弄清题意画线段图分析例题1和2，找出等量关系。6、试着用方程解决问题。7、小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤。8、分析数字问题位置互换后的表示方法，利用数量关系列方程求解9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组与一次函数1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.1、回顾知识，完成习题。2、探究一，小组交流讨论4个问题。3、探究小结；x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。5、两点法作出一次函数的图像，6、小组交流；方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系 7、探究小结：方程组的解就是两直线的交点坐标；8、探究两直线平行于方程组解的关系。9、探究小结：当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.10、完成课堂作业11、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结。用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系。根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。6、完成课堂作业7、引导学生进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结。三元一次方程组1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.1、问题抢答，激发兴趣。2、完成课前检测。3、根据等量关系列三元一次方程组。4、根据二元一次方程组的概念类比出三元一次方程组的概念5、教师指导解三元一次方程组。6、小组交流讨论例题2、3.方程组的解法。7、小组归纳三元一次方程组的解法及消元时注意的问题。8、完成课堂作业9、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结解决问题的策略 逐步确定1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。思考问题小组交流：按问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程探究问题解决策略：逐步确定。3、完成课堂作业4、引导学生进行课堂总结环节一：情境引入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成1、展示课前布置的思维导入，说明制作本图的亮点。2、学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。3、小组交流合作完成5个例题的学习。4、完成课堂作业5、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结
《二元一次方程组》单元教学设计
活动1：复习旧知
活动2：情景导入
活动3：探究新知
任务一：认识二元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：问题导入
活动3：探究新知
任务二：解二元一次方程组（代入消元）
活动4：典例精析
二元一次方程组
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：课前检测
活动3：探究新知
活动4：典例精析
任务三：解二元一次方程组（加减消元）
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：古题导入
任务四：二元一次方程组的应用（古题今解）
活动3：探究新知
活动4：典例精析
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：预习交流
活动2：情境导入
任务五：二元一次方程组的应用（增收节支）支 ）
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：预习交流
二元一次方程组
任务六：二元一次方程组的应用（行程问题）
活动2：情境导入
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：探究新知
任务七：二元一次方程组与一次函数
活动3：课堂练习
活动4：课堂总结
活动1：知识回顾
活动2：探究新知
活动3：典例精析
任务八：用二元一次方程组求一次函数（待定系数法）
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：课前检测
活动3：探究新知
任务九：三元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：情景引入
二元一次方程组
活动2：探究新知
活动3：课堂练习
任务十：解决问题的策略
逐步确定
活动4：课堂总结
活动1：知识架构
活动2：知识梳理
活动3：典例精析
任务十一：回顾与思考
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
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第五章 二元一次方程组
5.1认识二元一次方程组导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。
2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。
3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。
学习重点：会用二元一次方程组确定一次函数表达式。
学习难点：进一步感悟方程与函数的联系，理解如何用二元一次方程组确定一次函数表达式。
预习自测
一、知识链接
二元一次方程组与一次函数有何联系
自学自测
1、已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，2），求这个一次函数的解析式．
2、用图象法解方程组
教学过程
一、合作交流、新知探究
探究; 二元一次方程组与一次函数
已知A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？
分析：
画线段图：
画表格分析：
时间 距离A的路程
甲
乙
小亮的解法：
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找 出交点的横坐标就行了
甲：t=0,s=0 ; t=2,s=30
乙：t=0,s=100; t=1,s=80
小明的解法：
他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数
甲的函数表达式为s=kt+b,经过（0,0）和（2,30）
表达式是y=15t
设乙的函数表达式为s=kt+b,经过（0,100）和（1,80）
表达式是y=100-20t
联立
解得
小颖的解法：
1小时后乙距A地 80千米,即乙车速度是（20km/h)
2小时后甲距A地30千米,即甲车速度是（15km/h)
设同时出发后t小时相遇，
等量关系式：甲车行驶路程+乙车行驶路程=AB两地相隔距离
20t+15t=100 解得
比较三位同学的解法
小亮-----用图像求解；
小明-----一次函数求解；
小颖---- 一元一次方程。
【强调】用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法
典例精析
例1、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设此一次函数表达式为： y=kx+b
根据题意，可得方程组 .
解得k= b=
∴y=
(2)：当y=0 时, x=
所以旅客最多可免费携带 千克的行李．
例题2.在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长15cm;当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度
解：（1）设此一次函数表达式为： y=kx+b
根据题意，可得方程组
解得
∴y= .
(2)当x=4 时
y= .
答：所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度是 cm
探究小结：
一待定系数法
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法
二待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1.设出一次函数的表达式：y=kx+b
2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.写出一次函数的表达式.
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1. 若方程组 没有解，由此一次函数y=2-x 与y=1.5-x 的图像必定（ ）
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断
2.以方程2x+y=14 的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为( )
A. y=2x+14 B. y=2x-14 C. y=-2x+14 D. y=-x+7
3．已知直线y＝kx＋b过点(－1，3)和点B(1，1)，则k，b的值为( )
A．k＝1，b＝2 B．k＝－1，b＝2
C．k＝1，b＝－2 D．k＝－1，b＝－2
4.如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，关于x，y的方程组 的解是（ ）
5.如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为( )
A.y= x+2 B. y=x+2 C. y=x 2 D. y= x 2
第4题 第5题
6.已知函数y=2x+b的图象经过点（a，7）和（-2，a），求这个函数的表达式。
7．已知y－3与x－1成正比例，当x＝3时，y＝7，那么y与x的函数关系式是 .
能力提升：
8．老李与老张两人骑摩托车分别从A，B两地同时出发相向而行，图中L1、L2分别表示两辆摩托车与A地的距离s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系．
(1)甲、乙两辆摩托车的速度差为
(2)经过h两车相距6 km.
拓展迁移
甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图所示，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h；
(2)求线段DE对应的函数表达式；
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？
10、如图，甲、乙两人在同一直道上骑行，其中甲骑摩托车，乙骑自行车，图中L1，L2分别表示甲、乙两人骑行过程中，与甲的出发点的距离y(km)和甲的骑行时间x(h)之间的关系．
(1)求L1，L2对应的函数表达式；
(2)当乙开始骑行时，求甲、乙之间的距离；
(3)求甲追上乙所用的时间
总结反思、拓展升华
一 待定系数法概念：
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法
二 待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1.设出一次函数的表达式：y=kx+b
2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.写出一次函数的表达式.
五、【作业布置】
基础达标：
1．已知直线y＝kx＋b过点(－1，3)和点B(1，1)，则k，b的值为( )
A．k＝1，b＝2 B．k＝－1，b＝2 C．k＝1，b＝-2 D．k＝－1，b＝－2
2．一次函数y＝kx＋b满足x＝3时，y＝0；x＝－2时，y＝10，则一次函数的表达式为( )
A．y＝2x＋6 B．y＝－2x＋6 C．y＝－2x－6 D．y－2x＝6
3．若点(5，－18)、点(－7，6)、点(a，12)在一条直线上，则a的值为( )
A．－16 B．－12 C．－10 D．－8
4、某航空公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，若超过规定质量，则须购买行李票．已知行李票费用是行李质量的一次函数；行李质量60 kg行李票费用6元，行李质量80 kg行李票费用10元．旅客最多可免费携带行李的质量是( )
A．10 kg B．20 kg C．30 kg D．40 kg
5、为响应“节约用水”的号召，市自来水公司决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示．
若该用户本月用水21吨，则应交水费( )
A．52.5元 B．45元 C．42元 D．37.8元
6、如图，弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，关系式是： .
由图可知，不挂物体时，弹簧的长度为 .
某公司销售人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(千件)之间的关系如图所示，则销售人员的销售量3千件时的月收入是 元
第5题 第6题 第7题
能力提升：
如图，已知一次函数y＝kx＋3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与一次函数
y＝ x－2的图象相交于点C，已知点C的纵坐标为1，下列结论：
①关于x的方程kx＋8＝0的解为x＝18；
②过点AD的直线为y＝ x－2；
③四边形BOEC的面积为；
④方程组的 的解为 ，
其中正确的有 ．(填正确的序号)
拓展迁移：
9、某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2013年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示：从2013年开始，该市荔枝种植面积y(万亩)随着时间x(年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该市2016年荔枝种植面积为多少万亩？
10、周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？
此时离家多远？
(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从
家到乙地的路程．
课堂练习参考答案：
B
C
B
D
5、B,解答提示：先写出A、B的坐标，然后用待定系数法求一次函数的表达式式。
6、解：将（a，7）和（-2，a）代入y=2x+b
解得
所以该函数的表达式为：y = 2x + 5
7、【解析】解:设正比例函数的表达式是y-3=k(x-1)
把x=3,y=7代入y-3=k(x-1)，即7-3=k(3-1)
求出k=2,
把k=2代入y-3=k(x-1)，得到y-3=2(x-1)
化简得:y=2x+1
8、（1）解：老李0.6小时行24千米，
速度是24÷0.6=40（千米/时）
老张0.5小时行24千米，
速度是24÷0.5=48（千米/时）
速度差：48-40=8千米/小时；
（2）解：设x小时两车相距6千米
相遇前相距6千米。得40x+48x+6=24, x=
相遇后相距6千米。得40x+48x-6=24, x=
所以经过 小时或 小时相距6千米
【解析】：（1）0.5
（2）线段DE经过（2.5，80）和（4.5，300）
用待定系数法求出线段DE的表达式，注意DE是线
段，所以自变量X的取值范围是2.5≤x≤4.5)
答案是y＝110x－195(2.5≤x≤4.5)
（3）：求出OA的解析式，再和DE的解析式联立成二元一次方程组，解得：x＝3.9，这时间是货车出发时间，轿车不货车晚1小时出发。故轿车出发时间是3.9－1＝2.9(小时)．
10、
解：（1）设L1对应的函数表达式为y＝kx(k≠0)．
把(6，180)代入，可得180＝6k，解得k＝30，
所以L1对应的函数表达式为y＝30x(x≥0)．
设L2对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0)．
把(2，100)，(10，180)代入，
可得
解得：
所以L2对应的函数表达式为y＝10x＋80(x≥2)．
(2）：在y＝30x中，当x＝2时，y＝30×2＝60，
∴100－60＝40(km)．
所以当乙开始骑行时，甲、乙之间距离40Km,
（3）：解方程组
解得：
∴甲追上乙所用的时间为4 h．
课外作业参考答案：
B
B
C
C
C
Y=0.5x+10; 10cm
1400
8、解：（1）直线 y＝ x－2 ，经过点C的纵坐标为1,则C( ,1),代入y＝kx＋3
k=- ，方程kx＋8＝0即- x+8=0 ,x=18,故选项①正确；
（2）求出A( ，0） D(0,-2)用系数法求出AD的解析式是y= x-2,故②正确；
（3）B(0,3),C( ,1),E（3，0） 连接OC,四边形BOEC的面积等于三角形BOC的面积+三角形OCE的面积= 故③正确；
（4）由于K=- ，代入方程组 解得 故④不正确
所以正确的有①②③ .
9、答案：(1)y与x之间的关系式为y＝x－1 989；
(2)27(万亩)
10、解：(1)小明骑车速度：100÷5＝20(km/h).在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5(h)．
（2)妈妈驾车速度：20×3＝60(km/h)
设直线BC解析式为y＝20x＋b，把点B(1，10)代入得b＝－10.
∴y＝20x－10 .
设直线DE解析式为y＝60x＋c，把点D( ，0)，代入得c＝－80，
∴y＝60x－80，
∴ y＝20x－10，
y＝60x－80， 解得x＝1.75，y＝25.
∴交点F(1.75，25)．
答：小明出发1.75小时(105分钟)被妈妈追上，此时离家25 km.
(3)：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n(km)，
由题意得：n÷20－n÷60＝10÷60
∴n＝5.
∴从家到乙地的路程为5＋25＝30(km)．
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