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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第五章
课标要求 二元一次方程组》是初中数学“数与代数”领域的核心内容，是学生从“一元”向“多元”思维过渡的关键节点，也是后续学习一次函数、线性规划及其他高阶数学知识的重要基础。根据2022版新课标，对《二元一次方程组》的内容要求、学业质量要求可以归纳为以下几点：一、内容要求理解概念： 理解二元一次方程及其解的概念，掌握解法： 掌握二元一次方程组代入消元法（简称“代入法”）和加减消元法（简称“加减法”）*二元一次方程组两种基本解法。思想本质： 理解“消元”是解二元一次方程组的基本思想，即将“二元”问题转化为“一元”问题来解决，体会**化归（转化）**的数学思想。灵活运用： 能根据方程组的特点，选择恰当的、简便的方法求解。应用建模：能根据具体问题中的数量关系，设出两个未知数，列出二元一次方程组，建立数学模型。解决问题： 能通过解所列的方程组，得到实际问题的答案，并根据问题的实际意义检验结果的合理性。问题类型： 能解决包括行程问题、工程问题、配套问题、利润问题、分配问题等在内的各类应用题。二、 学业质量要求（核心素养体现）新课标强调核心素养的落实。本章学习主要体现以下核心素养：运算能力：学生需要完成“实际问题 → 数学模型（方程组）→ 求解模型 → 解释实际结果”的完整建模过程。推理意识： 知道“为什么可以这样解”，而不是死记硬背解题步骤。应用意识： 主动运用所学知识解决生活中的问题，感受数学“有用、有趣”。
内容分析 二元一次方程组是中学数学的重要内容，它是数学解决问题的基本工具，是刻画现实世界的一个最有效的数学模型和重要手段，是一元一次方程的继续和发展，也是学习线性方程和平面几何的基础，同时与一次函数存在密切的联系。它也是学习数学乃至无理化学和其他学科的重要基础。把握好本章学习，有利于激发学生的自主创新、积极探索的热情，培养学生分析问题解决问题的能力。本章教学内容分为三大块;从问题到方程组。选择含有两个未知量的情景，引出二元一次方程组，展现二元一次方程组是刻画现实世界的有效的数学模型，让学生体会数学来源于生活有服务于生活。解方程组，通过学生尝试、比较、探索等方法发现解二元一次方程组的方法（代入法、消元法），体会转化思想。用方程组解决问题，设置具有一定挑战性的问题和思考下的现实问题，用二元一次方程组解决这些丰富多彩具有现实意义的实际问题，既培养学生的方程组的数学模型思想，有培养学生的自主探究解决问题的能力。
学情分析 学生学习了一元一次方程的解法，初步感受了方程的模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。在此基础上，学生进一步研究二元一次方程组的概念、解法和运用。引导学生从熟悉的一元一次方程入手，探究二元一次方程组的概念个解法以及用二元一次方程组解决实际问题，使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数解决问题的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 教学目标1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识二元二次方程(组)及其有关概念。2、根据转化思想，抓住“消元”这一基本策略，熟练掌握二元二次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法。3、经历分析和解决问题的过程，体会二元二次方程(组)的教学模型作用，进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力。（二）教学重点、难点重点：1、二元一次方程组的两种解法（代入法和加减法）。 这是本章的“工具”，必须让学生熟练掌握。2、列二元一次方程组解应用题。 这是本章的“灵魂”，是数学知识应用于实践的最终体现。难点：1、“消元”思想的理解。 学生容易机械地模仿解题步骤，但难以理解为什么要“消元”以及“消元”的本质是“转化”。2、应用题中“等量关系”的寻找与建立。 这是学生普遍感到困难的地方。当问题涉及两个未知数和多个等量关系时，学生往往不知如何下手，或者找错等量关系。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数501认识二元一次方程组1502二元一次方程组的解法（代入消元）1503二元一次方程组的解法（加减消元）1504二元一次方程组的应用（古题今解）1505二元一次方程组的应用（增收节支）1506二元一次方程组的应用（行程问题）1507二元一次方程组与一次函数1508用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1509三元一次方程组1510解决问题的策略 逐步确定1511回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识二元一次方程组1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。1、完成课前练习题。2、思考情景中问题。3、学生独立对问题1、2列出相应的方程,通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义4、完成做一做，5、类比出二元一次方程组的概念，6、完成做一做。7、探究二元一次方程的解的含义8、完成做一做，9、类比出二元一次方程组的解10、完成做一做11、完成课堂练习12、引导学生课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结二元一次方程组的解法（代入消元）1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，学会用代入消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，转化的思想。 3、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。 1、回顾知识，唤醒记忆。2、根据情景，学生列出二元一次方程组，3、利用两种方法解二元一次方程组，并验证答案的正确性，4、学生自学例题1并对例题1、2写出检验过程。5、根据“变、代、求、写”的步骤，说一说。5、小组讨论归纳总结出代入消元法。6、拓展提高学习整体代入法。7、学生完成课堂练习。8、课堂总结环节一：知识回顾环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的解法（加减消元）1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，会用加减消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 3、培养学生学会自主探索，与他人合作， 与人交流思维过程的习惯。1、学生回顾知识。2、尝试用多种方法解二元一次方程。3、观察方程组系数的特点，尝试用加减消元法解二元一次方程组。4、自学例题3，发现未知数的系数相同，直接用加减消元法解二元一次方程组。5、自学例题4，学生小组讨论；当未知数的系数不相等时怎样变成未知数系数的绝对值相等？变换根据是什么？如何使用加法或减法消元。6、判断解方程组过程中的错误，并改正。7、完成课堂练习。8、学生课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的应用（古题今解）1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。1、思考解二元一次方程组的两种基本方法并完成习题2、3。2、回顾小学解决鸡兔同笼的几种方法，并选择你喜欢的方法解答。3、通过小组交流合作,同学之间相互提问、相互补充,用二元一次方程解决鸡兔同笼问题，并由两名学生代表板书解析过程，通过互相评价激发学生学习热情.4、尝试用二元一次方程解古题。5、通过交流合作，学习经典的3个例题，学生参与、讨论、质疑、补充.学生代表板书解析过程，学生评价，相互学习相互促进6、学生完成课堂练习。7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：古题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的运用（增收节支）1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。1、回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题。3、分析题中的数量关系填写表格4、题目中有哪些等量关系？5、写出解方程的过程.6、先读题，找出题目中的关键语句（独立完成）7、小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格8、尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组的运用（行程问题）1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。1、完成预习题，从而激发兴趣，进入新课。2、分析题意，完成表格和填空3、找出等量关系。4、试着用方程解决问题.5、弄清题意画线段图分析例题1和2，找出等量关系。6、试着用方程解决问题。7、小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤。8、分析数字问题位置互换后的表示方法，利用数量关系列方程求解9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组与一次函数1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.1、回顾知识，完成习题。2、探究一，小组交流讨论4个问题。3、探究小结；x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。5、两点法作出一次函数的图像，6、小组交流；方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系 7、探究小结：方程组的解就是两直线的交点坐标；8、探究两直线平行于方程组解的关系。9、探究小结：当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.10、完成课堂作业11、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结。用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系。根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。6、完成课堂作业7、引导学生进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结。三元一次方程组1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.1、问题抢答，激发兴趣。2、完成课前检测。3、根据等量关系列三元一次方程组。4、根据二元一次方程组的概念类比出三元一次方程组的概念5、教师指导解三元一次方程组。6、小组交流讨论例题2、3.方程组的解法。7、小组归纳三元一次方程组的解法及消元时注意的问题。8、完成课堂作业9、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结解决问题的策略 逐步确定1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。思考问题小组交流：按问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程探究问题解决策略：逐步确定。3、完成课堂作业4、引导学生进行课堂总结环节一：情境引入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成1、展示课前布置的思维导入，说明制作本图的亮点。2、学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。3、小组交流合作完成5个例题的学习。4、完成课堂作业5、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结
《二元一次方程组》单元教学设计
活动1：复习旧知
活动2：情景导入
活动3：探究新知
任务一：认识二元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：问题导入
活动3：探究新知
任务二：解二元一次方程组（代入消元）
活动4：典例精析
二元一次方程组
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：课前检测
活动3：探究新知
活动4：典例精析
任务三：解二元一次方程组（加减消元）
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：古题导入
任务四：二元一次方程组的应用（古题今解）
活动3：探究新知
活动4：典例精析
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：预习交流
活动2：情境导入
任务五：二元一次方程组的应用（增收节支）支 ）
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：预习交流
二元一次方程组
任务六：二元一次方程组的应用（行程问题）
活动2：情境导入
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：探究新知
任务七：二元一次方程组与一次函数
活动3：课堂练习
活动4：课堂总结
活动1：知识回顾
活动2：探究新知
活动3：典例精析
任务八：用二元一次方程组求一次函数（待定系数法）
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：课前检测
活动3：探究新知
任务九：三元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：情景引入
二元一次方程组
活动2：探究新知
活动3：课堂练习
任务十：解决问题的策略
逐步确定
活动4：课堂总结
活动1：知识架构
活动2：知识梳理
活动3：典例精析
任务十一：回顾与思考
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
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第五章 二元一次方程组
5.5三元一次方程组导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.
2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.
3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.
学习重点：三元一次方程组的解法及“消元”思想
学习难点：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.
预习自测
一、知识链接
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
自学自测
1、解方程组
2、若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ）
A.2 B.3 C.4 D.5
教学过程
探究：三元一次方程组的概念
1、古题引入：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实收三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实收三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实收二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》）
古译今： 有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾一束，中禾二束，下禾三束，可得米26斗；问上、中、下禾每束可得米多少斗？
解：设每束上禾得米x斗、每束中禾得米y斗，每束下禾得米z斗
观察方程组的特点：几个未知数？未知项的次数是几？
三元一次方程组的概念：像这样，含有三个未知数的三个一次方程组成的方程组叫三元一次方程组.
三个一次方程的公共解叫做三元一次方程组的解。
2、做一做：下列是三元一次方程组的是( )
A
解析：第二个方程含有未知数的项的次数是2
B.
解析：第一个方程不是整式方程
C.
解析：第二个方程含有未知数的项的次数是3
D.
解析：三个方程都是一次方程,且该方程组中一共含有三个未知数,故是三元一次方程组
探究：解三元一次方程组：
解方程：
解：由①得：z=39-3x-2y ④
④代入②③ 得： . ⑤
. ⑥
解由⑤⑥方程组成的方程组得： x= .
y= .
把x= ,y= 代入④得：z= .
x=
所以原方程组的解是： y=
z=
例2.解三元一次方程组
解：①+②+③得: . 化简得 ④
④－①得 .
④－②得 .
④－③得 .
∴三元一次方程组的解为
例题3 解方程组
解：设x=2k,y=3k,z=5k
将 x=2k， y=3k， z=5k 代入②得 .
所以x= . y= ,z= .
∴三元一次方程组的解为
探究小结：
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次 二元一次 一元一次 .
消元 消元
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下列方程中，属于三元一次方程的是( )
A．π＋x＋y＝6 B．xy＋y＋z＝7 C．x＋2y－3z＝9 D．3x＋2y－4x＝4x＋2y－2x
2.若(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个三元一次方程，则 ( )
A. a=1，b=0 B. a=-1，b=0 C. a=±1，b=0 D. a=0，b=0
3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解下列三元一次方程组
5.在等式 y=ax＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
能力提升：
6、阅读材料
善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②变形为2(4x＋10y)＋2y＝10.③
把方程①代入③，得2×6＋2y＝10，则y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组：
已知x，y，z满足 试求z的值
拓展迁移
幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
事物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
总结反思、拓展升华
1、解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 消元，把 三元 转化为 二元 ，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解 一元一次方程组。
三元一次 二元一次 一元一次 .
消元 消元
2、解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
五、【作业布置】
基础达标：
1. 在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.
2.解三元一次方程组 时，要使运算简便，应采取的消元方法是( )
先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 以上说法都不正确
3、利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是 ( )
A. 要消去z，先将①+② ，再将①×2+(3)B. 要消去z，先将①+② ，再将①×3-③
C. 要消去y，先将①-③×2，再将②-③ D. 要消去y，先将①-②×2，再将②+③
4．若(2x－4)2＋(x＋y)2＋|4z－y|＝0，则x＋y＋z等于( )
A. B. C．2 D．－2
5．若三元一次方程组 的解使ax＋2y＋z＝0，则a的值为( )
A．1 B．0 C．－2 D．4
6、解方程
能力提升：
7.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
8.某校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和笔记本电脑．经投标，购买1块电子白板比购买3台笔记本电脑多3000元，购买4 块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
(1)购买1块电子白板和1台笔记本电脑各需多少元
(2根据实际情况，该校需购买电子白板和笔记本电脑的总数396，要求购买的总费用不超过270万元，且购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有几种购买方案
(3上面的哪种购买方案最省钱 按最省钱的方案购买，需要多少钱
拓展迁移
9.某农场300名职工耕种51 hm2土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用？
课堂作业参考答案：
C
A
D
4、
5、解：根据题意，得三元一次方程组
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得c=5
所以a=3、b=2、c=5
6、(1)
(2)提示： 由①得3（x+4y)-2z=47 ③
由②得2（x+4y)+z=36 ④
③×2-④×3，得z=2
7、解：(1)设食谱中A，B，C三种食物各x，y，z份，由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
②-①×4, ③-①,得
⑤+④,得z=2, 把Z=2代入⑤，得y=1
把y=1,z=2代入①得x=2
答：该食谱中包含A种食物2份，B中食物1份，C种食物2份.
课外作业参考答案：
1、4
D
A
A
B
(1) (2)
7、解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
8、解：(1)设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：
解得
答：购买 1块电子白板需要15000 元，一台笔记本电脑需要4000元．
(2)设购买电子白板 a块，则购买笔记本电脑(396-a)台，由题意得：
解得 99 a 101.511
∵a为正整数，
∴a=99、100、101，则电脑依次买：297台，296台，295台．
因此该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板 101块；
方案二：购买笔记本电脑 296台，则购买电子白板100块；
方案三：购买笔记本电脑 297台，则购买电子白板99块；
解法一：
购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：
方案一：295×4000+101×15000=2695000（元）
方案二：296×4000+100×15000=2684000（元）
方案三：297×4000+99×15000=2673000（元）
所以，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元
解法二：
设购买电子白板 a块，则购买笔记本电脑(396-a)台，总费用为w
W=15000a+4000×(396-a)
=11000a+1584000 当a=99时，费用最少
最少费用11000×99+1584000=2673000（元）
所以，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元
8、【解析】设安排x hm2种水稻、y hm2种棉花、z hm2种蔬菜.由题意得
解得：
答：安排15 hm2种水稻、20 hm2种棉花、16 hm2种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用.
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北师大版（2024）第五章《二元一次方程组》5.5三元一次方程组教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 三元一次方程组 课时 1
课标要求 系统培养学生的化归思想、模型思想和逻辑运算能力，紧扣消元这一核心，通过类比、探究和运用，引导学生不仅要“学会”，更要“会学”，为学生的长远发展奠定坚实的基础。
教材分析 本节内容是一节选学课，学生已学习二元一次方程组的概念、解法、应用。在学习这些知识的过程中，学生可以感受到二元一次方程组和上学期所学一元一次方程都能作为一种工具来应用于实际问题的解决，也能深刻的体会解二元一次方程组中的“消元”思想。本节在此基础上，拓展学生的视野，通过实际问题引入三元一次方程组，让学生进一步体会“消元”思想，掌握三元一次方程组的求解，为认识利用三元一次方程组这一数学模型解决问题打下基础。
学情分析 学生的知识技能基础：学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用，认识了二元一次方程组的模型，并应用它们解决许多现实和有趣的问题，具备了用消元法解方程组的基本技能；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些在实际应用问题中寻找等量关系建立方程并求解的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了利用方程组解决实际问题的简便性性和作用，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
核心素养目标 1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.
教学重点 三元一次方程组的解法及“消元”思想
教学难点 根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识衔接 1.解二元一次方程组有哪几种方法？【代入消元法和加减消元法】解二元一次方程组的基本思路是什么？【消元】 问题抢答，激发兴趣。 为本节课内容做准备和铺垫，吸引学生注意力
二、课前检测 1、解方程组 解：①+②得3x=9 x=3 把x=3代入① 得y=0原方程组的解是2、解：①×3-②得20y=28 y=1.4 把y=1.4代入① 得x=3.6原方程组的解是3、若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ）A.2 B.3 C.4 D.5 完成课前检测 复习二元一次方程组的解法，唤醒记忆为新授奠基。
三、探究新知 1、古题引入：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实收三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实收三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实收二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》）古译今： 有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾一束，中禾二束，下禾三束，可得米26斗；问上、中、下禾每束可得米多少斗？解：设每束上禾得米x斗、每束中禾得米y斗，每束下禾得米z斗观察方程组的特点：几个未知数？未知项的次数是几？像这样，含有三个未知数的三个一次方程组成的方程组叫三元一次方程组.三个一次方程的公共解叫做三元一次方程组的解。做一做：下列是三元一次方程组的是( D ) A第二个方程含有未知数的项的次数是2B.第一个方程不是整式方程C.第二个方程含有未知数的项的次数是3D.三个方程都是一次方程,且该方程组中一共含有三个未知数,故是三元一次方程组解方程：解：由①得：z=39-3x-2y ④ ④代入②③ 得： x-y=5 ⑤ 8x+4y=91 ⑥ 解由⑤⑥方程组成的方程组得： x= y=把x= ,y= 代入④得：z= x=所以原方程组的解是： y= z=例2.解三元一次方程组解：①+②+③得:2x+2y+2z=24 即 x+y+z=12 ④ ④－①得z=5④－②得x=3④－③得y=4∴三元一次方程组的解为例题3 解方程组解：设x=2k,y=3k,z=5k将 x=2k， y=3k， z=5k 代入②得 2k+3k+5k=200, k=20所以x=40,y=60,z=100∴三元一次方程组的解为探究小结：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 消元，把 三元 转化为 二元 ，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解 一元一次方程组。 三元一次 二元一次 一元一次 . 消元 消元解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元． 根据等量关系列三元一次方程组。根据二元一次方程组的概念类比出三元一次方程组的概念教师指导解三元一次方程组。小组交流讨论例题2、3.方程组的解法。小组归纳三元一次方程组的解法及消元时注意的问题。 古题引入，激发学生的爱国热情，根据等量关系列出方程组。通过观察思考有二元一次方程组的概念、二元一次方程组的解法类比出三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法。通过例题2、3，使学生了解解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
五、尝试（课堂练习） 基础达标：1．下列方程中，属于三元一次方程的是( C ) A．π＋x＋y＝6 B．xy＋y＋z＝7 C．x＋2y－3z＝9 D．3x＋2y－4x＝4x＋2y－2x2.若(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个三元一次方程，则 ( A )A. a=1，b=0 B. a=-1，b=0 C. a=±1，b=0 D. a=0，b=03.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ）A.2 B.3 C.4 D.5解下列三元一次方程组5.在等式 y=ax＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.解：根据题意，得三元一次方程组②－①， 得 a＋b=1 ④③－①，得 4a＋b=10 ⑤④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组，得 把 代入①，得c=5所以a=3、b=2、c=5能力提升：6、阅读材料善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②变形为2(4x＋10y)＋2y＝10.③把方程①代入③，得2×6＋2y＝10，则y＝－1.把y＝－1代入①，得x＝4.∴方程组的解为请你解决以下问题：(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组：答案：已知x，y，z满足 试求z的值提示：由①得3（x+4y)-2z=47 ③ 由②得2（x+4y)+z=36 ④③×2-④×3，得z=2拓展迁移幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）事物铁钙维生素A5205B51015C10105解：(1)设食谱中A，B，C三种食物各x，y，z份，由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组 ②-①×4, ③-①,得⑤+④,得z=2, 把Z=2代入⑤，得y=1把y=1,z=2代入①得x=2答：该食谱中包含A种食物2份，B中食物1份，C种食物2份. 学生完成课堂练习， 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 1、解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 消元，把 三元 转化为 二元 ，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解 一元一次方程组。 三元一次 二元一次 一元一次 . 消元 消元2、解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元． 引导学生进行课堂小结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1. 在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝___4____.2.解三元一次方程组 时，要使运算简便，应采取的消元方法是( D )先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 以上说法都不正确3、利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是 ( A )A. 要消去z，先将①+② ，再将①×2+(3)B. 要消去z，先将①+② ，再将①×3-③C. 要消去y，先将①-③×2，再将②-③ D. 要消去y，先将①-②×2，再将②+③4．若(2x－4)2＋(x＋y)2＋|4z－y|＝0，则x＋y＋z等于( A )A. B. C．2 D．－25．若三元一次方程组 的解使ax＋2y＋z＝0，则a的值为( B )A．1 B．0 C．－2 D．46、解方程答案：能力提升：7.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得 解得答：原三位数是368.8.某校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和笔记本电脑．经投标，购买1块电子白板比购买3台笔记本电脑多3000元，购买4 块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．(1)购买1块电子白板和1台笔记本电脑各需多少元 (2根据实际情况，该校需购买电子白板和笔记本电脑的总数396，要求购买的总费用不超过270万元，且购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有几种购买方案 (3上面的哪种购买方案最省钱 按最省钱的方案购买，需要多少钱 解：(1)设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得： 解得答：购买 1块电子白板需要15000 元，一台笔记本电脑需要4000元．(2)设购买电子白板 a块，则购买笔记本电脑(396-a)台，由题意得： 解得 99 a 101.511∵a为正整数， ∴a=99、100、101，则电脑依次买：297台，296台，295台．因此该校有三种购买方案：方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板 101块；方案二：购买笔记本电脑 296台，则购买电子白板100块；方案三：购买笔记本电脑 297台，则购买电子白板99块；（3）解法一：购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：方案一：295×4000+101×15000=2695000（元）方案二：296×4000+100×15000=2684000（元）方案三：297×4000+99×15000=2673000（元）所以，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元解法二：设购买电子白板 a块，则购买笔记本电脑(396-a)台，总费用为wW=15000a+4000×(396-a) =11000a+1584000 当a=99时，费用最少最少费用11000×99+1584000=2673000（元）所以，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元拓展迁移9.某农场300名职工耕种51 hm2土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：农作物品种每公顷所需劳动力每公顷投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用？【解析】设安排x hm2种水稻、y hm2种棉花、z hm2种蔬菜.由题意得解得：答：安排15 hm2种水稻、20 hm2种棉花、16 hm2种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用.
教学反思
x+y=3 ①
2x-y=6 ②
x=3
y=0
x+6y=12 ①
3x-2y=8 ②
x=3.6
y=1.4
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
3x+2y+z=39 ①
2x+3y+z=34 ②
x+2y+3z=26 ③
x+y=7 ①
y+z=9 ②
z+x=8 ③
x=3
y=4
z=5
x：y：z=2：3：5
x+y+z=200
x=40
y=60
z=100
x=8
y=2
z=2
x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 ② 答案
x=4y ③
x=3
y=2
z=5
x+y+z=10 ①
2x+3y+z=17 ② 答案
3x+2y-z=8 ③
x=6
y=8
z=3
x + y - z = 11， ①
y + z - x = 5， ② 答案
z + x - y = 1， ③
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
a=3，
b=-2.
4x+10y=6 ①
8x+22y=10 ②
x=4
y=-1
2x-3y=7 ①
6x-5y=11 ②
x=
y=
y=
3x-2z+12y=47 ①
2x+z+8y=36 ②
5x+5y+10z=35 ①
20x+10y+10z=70 ②
5x+15y+5z=35 ③
-10y-30z=35 ④
10y-5z=0 ⑤
三个三元一次方程
三元一次方程组
一个未知数最高次数为1，
二个二元一次方程，
一个二元一次方程，
整式方程
x+y-z=11
y+z-x=5
z+x-y=1
x+2y+z=8 ①
2x-y-z=-3 ②
3x+y-2z=-1 ③
x+y=5
x+z=-1
y+z=-2
z=x+y
x+y+z=6
x-y=3
3x+2y+z=14
x+y+z=10
z+2x+3y=15
x=1
y=2
z=7
x=0
y=0
z=3
x=15000
y=4000
x=3y+3000
4x+5y=8000
396-a 3a
15000a+4000(396-a) 2700000
x+y+z=51，
x+y+2z=67.
4x+8y+5z=300，
x=15
y=16
z=20
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第五章 二元一次方程组
5.5 三元一次方程组
01
教学目标
02
知识衔接
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.
01
通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.
02
让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.
03
02
知识衔接
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元
解：①+②得3x=9 x=3
把x=3代入① 得y=0
原方程组的解是
03
课前检测
1、(1)解方程组 (2)
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
D
x=3
y=0
x+y=3 ①
2x-y=6 ②
x+6y=12 ①
3x-2y=8 ②
解：①×3-②得20y=28 y=1.4
把y=1.4代入① 得x=3.6
原方程组的解是
x=3.6
y=1.4
04
古题引入
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实收三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实收三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实收二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》）
古译今： 有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾一束，中禾二束，下禾三束，可得米26斗；问上、中、下禾每束可得米多少斗？
03
新知探究
探究一
三元一次方程组的概念
解：设每束上禾得米x斗、每束中禾得米y斗，每束下禾得米z斗
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
观察方程组的特点：
几个未知数？未知项的次数是几？
04
情境引入
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26
像这样 含有三个未知数的三个一次方程组成的
方程组叫三元一次方程组.
三个一次方程的公共解叫做三元一次方程组的解。
03
新知讲解
下列是三元一次方程组的是( )
A B C D
三个方程都是一次方程,且该方程组中一共含有三个未知数,故是三元一次方程组
第二个方程含有未知数的项的次数是2
第一个方程不是整式方程
第二个方程含有未知数的项的次数是3
D
03
新知讲解
解三元一次方程组
探究二
3x+2y+z=39 ①
2x+3y+z=34 ②
x+2y+3z=26 ③
解：由①得：z=39-3x-2y ④
④代入②③ 得： x-y=5 ⑤
8x+4y=91 ⑥
解由⑤⑥方程组成的方程组得： x=
y=
削去z，三元一次变二元一次
例题1：
把x= ,y= 代入④得：z=
x=
所以原方程组的解是： y=
z=
03
新知讲解
解三元一次方程组
探究二
思考：如果检验方程的解是否正确？
03
新知讲解
例2.解三元一次方程组
x+y=7 ①
y+z=9 ②
z+x=8 ③
解：①+②+③得:2x+2y+2z=24
即 x+y+z=12 ④
④－①得z=5
④－②得x=3
④－③得y=4
∴三元一次方程组的解为
x=3
y=4
z=5
03
新知讲解
例题3 解方程组
x：y：z=2：3：5
x+y+z=200
解：设x=2k,y=3k,z=5k
将 x=2k， y=3k， z=5k 代入②得
2k+3k+5k=200, k=20
所以x=40,y=60,z=100
∴三元一次方程组的解为
x=40
y=60
z=100
知识要点1
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
知识要点2
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列方程中，属于三元一次方程的是( )
A．π＋x＋y＝6 B．xy＋y＋z＝7
C．x＋2y－3z＝9 D．3x＋2y－4x＝4x＋2y－2x
2.若(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个三元一次方程，则 ( )
a=1，b=0 B. a=-1，b=0 C. a=±1，b=0 D. a=0，b=0
3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
C
A
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
x+y+z=12
x+2y+5z=22
x=4y
4、解下列三元一次方程组
x + y - z = 11，
y + z - x = 5，
z + x - y = 1，
x=8
y=2
z=2
x=3
y=2
z=5
x=6
y=8
z=3
x+y+z=10 ①
2x+3y+z=17 ②
3x+2y-z=8 ③
【解析】根据题意，得三元一次方程组
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得c=5
所以a=3、b=2、c=5
a=3，
b=-2.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6、阅读材料
善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②变形为2(4x＋10y)＋2y＝10.③
把方程①代入③，得2×6＋2y＝10，则y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
4x+10y=6 ①
8x+22y=10 ②
x=4
y=-1
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组：
(2)已知x，y，z满足 试求z的值．
2x-3y=7 ①
6x-5y=11 ②
x=
y=
3x-2z+12y=47 ①
2x+z+8y=36 ②
提示：由①得3（x+4y)-2z=47 ③
由②得2（x+4y)+z=36 ④
③×2-④×3，得z=2
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(1)设食谱中A，B，C三种食物各x，y，z份，由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
- ×4, - ,得
⑤+④,得z=2, 把Z=2代入⑤，得y=1
把y=1,z=2代入①得x=2
答：该食谱中包含A种食物2份，B中食物1份，C种食物2份.
-10y-30z=35 ④
10y-5z=0 ⑤
05
课堂小结
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.
2.解三元一次方程组 时，要使运算简便，应采取的消元方法是( )
先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 以上说法都不正确
3、利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是 ( )
A. 要消去z，先将①+② ，再将①×2+(3)B. 要消去z，先将①+② ，再将①×3-③
C. 要消去y，先将①-③×2，再将②-③ D. 要消去y，先将①-②×2，再将②+③
4
D
x+2y+z=8 ①
2x-y-z=-3 ②
3x+y-2z=-1 ③
A
x+y-z=11
y+z-x=5
z+x-y=1
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4．若(2x－4)2＋(x＋y)2＋|4z－y|＝0，则x＋y＋z等于( )
A. B. C．2 D．－2
5．若三元一次方程组 的解使ax＋2y＋z＝0，则a的值为( )
A．1 B．0 C．－2 D．4
x+y=5
x+z=-1
y+z=-2
A
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.某校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和笔记本电脑．经投标，购买1块电子白板比购买3台笔记本电脑多3000元，购买4 块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
(1)购买1块电子白板和1台笔记本电脑各需多少元
(2根据实际情况，该校需购买电子白板和笔记本电脑的总数396，要求购买的总费用不超过270万元，且购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有几种购买方案
(3上面的哪种购买方案最省钱 按最省钱的方案购买，需要多少钱
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
解：(1)设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：
解得
答：购买 1块电子白板需要15000 元，一台笔记本电脑需要4000元．
(2)设购买电子白板 a块，则购买笔记本电脑(396-a)台，由题意得：
ji
解得 99 a 101.511
x=3y+3000
4x+5y=8000
x=15000
y=4000
396-a 3a
15000a+4000(396-a) 2700000
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
∵a为正整数，
∴a=99、100、101，则电脑依次买：297台，296台，295台．
因此该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板 101块；
方案二：购买笔记本电脑 296台，则购买电子白板100块；
方案三：购买笔记本电脑 297台，则购买电子白板99块；
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（3）解法一：购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：
方案一：295×4000+101×15000=2695000（元）
方案二：296×4000+100×15000=2684000（元）
方案三：297×4000+99×15000=2673000（元）
所以，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元
解法二：设购买电子白板 a块，则购买笔记本电脑(396-a)台，总费用为w
W=15000a+4000×(396-a)
=11000a+1584000 当a=99时，费用最少
最少费用11000×99+1584000=2673000（元）
所以，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.某农场300名职工耕种51 hm2土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用？
06
作业布置
【综合拓展类作业】
【解析】设安排x hm2种水稻、y hm2种棉花、z hm2种蔬菜.由题意得
解得：
答：安排15 hm2种水稻、20 hm2种棉花、16 hm2种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用.
4x+8y+5z=300，
x+y+2z=67.
x+y+z=51，
x=15
y=16
z=20
Thanks!
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