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北师大版（2024）第五章《二元一次方程组》问题解决的策略 逐步确定教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 问题解决的策略 逐步确定 课时 1
课标要求 学生能用数学的眼光，观察现实世界，运用数学的思维分析问题，运用数学的语言表达思想。在面对八年级数学范围内的各种问题，经历理解--计划--执行--反思的完整过程，从而提升数学核心素养，发展创新意识和实践能力。
教材分析 北师大版（2024）一大特点是情境化、过程性和探究性，本章节从《孙子算经》引入，通过理解问题---拟定计划--实施计划--总结反思等过程探究问题解决的策略--逐步确定。它包含搭配问题、密码组合问题、路径选择问题、整除问题等。
学情分析 概括为：知识有余而策略不足，模仿有余而创新不足，急于求成而反思不足。表现在：学生具备了一定的数学知识，但知识碎片化，概念理解不深；具有一定的思维能力，但思维存在单向性。
核心素养目标 1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。
教学重点 ①理解“逐步确定”策略的核心：按顺序逐步满足问题中的多个限制条件，最终筛选出符合所有条件的解。②掌握“逐步确定”策略的步骤：先明确所有条件，再依次筛选满足条件的结果，最终确定答案。
教学难点 ①如何准确提取问题中的多个限制条件，并按合理顺序进行筛选。②灵活运用该策略解决不同类型的问题，理解策略的通用性。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、情境引入 周末，小明一家准备去超市购物，妈妈列了一张购物清单，上面有水果、蔬菜和日用品三类物品。水果有苹果、香蕉、橙子可选；蔬菜有白菜、萝卜、西红柿可选；日用品有牙膏、洗发水、沐浴露可选。妈妈要求小明每种物品只能选一样，且预算有限。那么小明该如何选择，才能满足妈妈的要求呢？ 思考问题 设计日常最常见的购物活动引入新课。
二、探究新知 探究：问题解决策略：逐步确定问题：今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问物几何？（选自《孙子算经》） 活动1 理解问题你能用自己的语言叙述一下这个问题吗？【一个数三个三个的数余2，五个五个的数余3，七个七个的数余2，这个数最少是多少？】所求物品的个数应同时满足哪些条件？【这个数同时应满足除以3余数是2；除以5余数是3；除以七余数是2。】活动2 拟定计划1、问题解决遇到什么困难，如何化解困难？2、怎样逐步满足每个条件？写出你的方案，与同学交流活动3 实施计划：（1）找出物品的个数应同时满足的条件。物品的个数为正整数，需要符合三个条件：①除以 3 余 2； ②除以 5 余 3；③除以 7 余 2。（2）逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。符合条件①的正整数有： 2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38 ，… （A） 在（A）中，符合条件②的正整数有：8，23，38，… （B）在（B）中，符合条件③的正整数有：23，…因此，同时满足三个条件的最小正整数是 23。所以，物品最少有 23 个。活动4：回顾与反思（1）通过解决上述问题，你对 “逐步确定” 的策略有怎样的认识？“逐步确定”是一种解决具有多个限制条件问题的有效策略。其核心是先明确问题中所有必须满足的条件，然后按照一定顺序，先筛选出满足第一个条件的结果，再从这些结果中进一步筛选出满足第二个条件的结果，以此类推，逐步缩小范围，最终找到同时满足所有条件的解。这种策略能让问题解决过程更有条理，避免遗漏或重复，尤其适用于条件较多、直接求解难度大的问题。在以往的学习中，还有哪些问题可以采用 “逐步确定” 的策略来解决？搭配问题、密码组合问题、路径选择问题、整除问题等 小组交流：按问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程探究问题解决策略：逐步确定。 设计问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。
五、尝试（课堂练习） 基础达标：1.等腰三角形底边长10cm，周长为32cm，则腰长为（ A ） A. 11cm B. 10cm C. 9cm D. 8cm2．在3□2□的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是 3825 ．3．妈妈把买的苹果平均装进5个盒子中多2个，装进6个盒子中也多2个，妈妈最少买了 32 个苹果。4、若四位数 能被15整除，则这个数最小是多少？【解析：四位数的最小值为1000，需满足：①能被5整除：个位是0或5；②能被3整除：各位数字之和是3的倍数。故答案是10055.根据下图所示的计算程序计算y的值，若输入x=2 则输出y 的值是（ D ）A.0 B.-2 C.2 D.4 第5题 第6题能力提升：6、如图5-7，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,AD=10,BC=30,梯形内有一点P,使得△APB≌△DPC, 试描述点P的位置。解：P点的位置必须满足两个条件，①△APB≌△DPC，②当△APB≌△DPC，AB=CD,PA=PD.PB=PCP点在AD和BC的垂直平分线EF上。当 ，即10×PE=30PF PE:PF=3:1所以点P在AD(或BC)的垂直平分线上且PE=3PF,如图所示拓展迁移7．如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在BC边上求作一点D，使得∠ADB＝2∠C．（不写作法，保留作图痕迹）解：如图，D即为所求，理由：由作图可得：EF是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠ADB＝∠DAC+∠DCA，∴∠ADB＝2∠C． 学生完成课堂练习， 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 问题解决的策略 逐步确定“逐步确定”是一种解决具有多个限制条件问题的有效策略。其核心是先明确问题中所有必须满足的条件，然后按照一定顺序，先筛选出满足第一个条件的结果，再从这些结果中进一步筛选出满足第二个条件的结果，以此类推，逐步缩小范围，最终找到同时满足所有条件的解。这种策略能让问题解决过程更有条理，避免遗漏或重复，尤其适用于条件较多、直接求解难度大的问题。 引导学生进行课堂小结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.有红、黄、蓝三种颜色的气球，从中选两个扎成一束，有多少种不同的扎法？【解析】：红黄、红蓝、黄蓝，共3种2.一个三位数密码，百位上是 1 - 3 中的一个数字，十位上是 4 - 6 中的一个数字，个位上是 7 - 9 中的一个数字，这个密码可能是多少？【解析】：符合百位是1-3的有3种；符合十位是4-6的有3种；符合个位是7-9的有3种；共有3×3×3=27种，例如147.3.从 A 地到 B 地有 3 条路可走，从 B 地到 C 地有 2 条路可走，从 C 地到 D 地有 4 条路可走，那么从 A 地经过 B 地、C 地到 D 地，一共有多少种不同的走法？【解析】：符合百位是1-3的有3种；符合十位是4-6的有3种；符合个位是7-9的有3种；共有3×3×3=27种，例如147.4.清明节期间，七（1）班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈．若每小组 7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有 59 名同学．5.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下( A ) A. 31元 B.30元 C.25元 D.19元能力提升：6.如图5--8，已知线段a,b,h(h＜b),用尺规作锐角三角形ABC,使BC=a,AB=b,BC边上的高AD=h【解析】：①作直线PQ,在PQ上任意取一点D,作MD⊥PQ②在DM上取一点A,是AD=h③以A为圆心，以b为半径画弧交直线PQ与点B.④以B为圆心，以a为半径画弧交直线PQ与点C.⑤ 连接AB,AC,BC,三角形ABC为所求。如图所示。拓展迁移：7、大年30彩灯悬，彩灯齐明光灿灿。三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三，这些彩灯最少多少盏？【解析】：符合八八数时还缺三，彩灯数可能是5，13，21，29，3745、53、61，69，----符合七七数时刚刚好，彩灯数可能是7，14、21、28，----符合五五数时剩一盏，彩灯数可能是6、11、16、21，26-、---符合三三数时能数尽, 彩灯数量可能是3、6、9、12、15、18、21、24、----。同时符合四个条件的数是21，所以这些彩灯最少21盏。
教学反思
根据题意找出问题的解
需要满足的条件
一个未知数最高次数为1，
问题解决策略：
逐步确定的步骤
确定问题的解
按照某个顺序，逐步满足这些条件
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二元一次方程组
问题解决的策略--逐步确定导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。
2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。
3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。
4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。
学习重点：
①理解“逐步确定”策略的核心：按顺序逐步满足问题中的多个限制条件，最终筛选出符合所有条件的解。
②掌握“逐步确定”策略的步骤：先明确所有条件，再依次筛选满足条件的结果，最终确定答案。学习难点：
①如何准确提取问题中的多个限制条件，并按合理顺序进行筛选。
②灵活运用该策略解决不同类型的问题，理解策略的通用性。
教学过程
情景引入
周末，小明一家准备去超市购物，妈妈列了一张购物清单，上面有水果、蔬菜和日用品三类物品。水果有苹果、香蕉、橙子可选；蔬菜有白菜、萝卜、西红柿可选；日用品有牙膏、洗发水、沐浴露可选。妈妈要求小明每种物品只能选一样，且预算有限。那么小明该如何选择，才能满足妈妈的要求呢？
合作交流、新知探究
探究：问题解决策略：逐步确定
问题：今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问物几何？（选自《孙子算经》）
活动1 理解问题
你能用自己的语言叙述一下这个问题吗？
。
所求物品的个数应同时满足哪些条件？
。
活动2 拟定计划
1、问题解决遇到什么困难，如何化解困难？
2、怎样逐步满足每个条件？写出你的方案，与同学交流
活动3 实施计划：
（1）找出物品的个数应同时满足的条件。物品的个数为正整数，需要符合三个条件：①除以 3 余 2； ②除以 5 余 3；③除以 7 余 2。
（2）逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。符合条件①的正整数有：
。（A）
在（A）中，符合条件②的正整数有： （B）
在（B）中，符合条件③的正整数有： .
因此，同时满足三个条件的最小正整数是 。所以，物品最少有 个。
活动4：回顾与反思
（1）通过解决上述问题，你对 “逐步确定” 的策略有怎样的认识？
“逐步确定”是一种解决具有多个限制条件问题的有效策略。其核心是先明确问题中所有必须满足的条件，然后按照一定顺序，先筛选出满足第一个条件的结果，再从这些结果中进一步筛选出满足第二个条件的结果，以此类推，逐步缩小范围，最终找到同时满足所有条件的解。这种策略能让问题解决过程更有条理，避免遗漏或重复，尤其适用于条件较多、直接求解难度大的问题。
在以往的学习中，还有哪些问题可以采用 “逐步确定” 的策略来解决？
搭配问题、密码组合问题、路径选择问题、整除问题等
三、课堂练习、巩固提高
1.等腰三角形底边长10cm，周长为32cm，则腰长为（ ）
A. 11cm B. 10cm C. 9cm D. 8cm
2．在3□2□的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是 ．
3．妈妈把买的苹果平均装进5个盒子中多2个，装进6个盒子中也多2个，妈妈最少买了 个苹果。
4、若四位数 能被15整除，则这个数最小是多少？
5.根据下图所示的计算程序计算y的值，若输入x=2 则输出y 的值是（ ）
A.0 B.-2 C.2 D.4
第5题 第6题
能力提升：
6、如图5-7，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,AD=10,BC=30,梯形内有一点P,使得△APB≌△DPC, 试描述点P的位置。
拓展迁移
如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在BC边上求作一点D，使得∠ADB＝2∠C．（不写作法，保留作图痕迹）
A
B D C
总结反思、拓展升华
问题解决的策略 逐步确定
“逐步确定”是一种解决具有多个限制条件问题的有效策略。其核心是先明确问题中所有必须满足的条件，然后按照一定顺序，先筛选出满足第一个条件的结果，再从这些结果中进一步筛选出满足第二个条件的结果，以此类推，逐步缩小范围，最终找到同时满足所有条件的解。这种策略能让问题解决过程更有条理，避免遗漏或重复，尤其适用于条件较多、直接求解难度大的问题。
五、【作业布置】
1.有红、黄、蓝三种颜色的气球，从中选两个扎成一束，有多少种不同的扎法？
2.一个三位数密码，百位上是 1 - 3 中的一个数字，十位上是 4 - 6 中的一个数字，个位上是 7 - 9 中的一个数字，这个密码可能是多少？
3.从 A 地到 B 地有 3 条路可走，从 B 地到 C 地有 2 条路可走，从 C 地到 D 地有 4 条路可走，那么从 A 地经过 B 地、C 地到 D 地，一共有多少种不同的走法？
4.清明节期间，七（1）班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈．若每小组 7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有 名同学．
5.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下( )
A. 31元 B.30元 C.25元 D.19元
能力提升：
6.如图5--8，已知线段a,b,h(h＜b),用尺规作锐角三角形ABC,使BC=a,AB=b,BC边上的高AD=h
拓展迁移：
7、大年30彩灯悬，彩灯齐明光灿灿。三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三，这些彩灯最少多少盏？
课堂练习参考答案：
A
3825
32
4、【解析：四位数的最小值为1000，需满足：①能被5整除：个位是0或5；②能被3整除：各位数字之和是3的倍数。故答案是1005
5、D
6、解：P点的位置必须满足两个条件，①△APB≌△DPC，②
当△APB≌△DPC，AB=CD,PA=PD.PB=PC
P点在AD和BC的垂直平分线EF上。
当 ，
即10×PE=30PF PE:PF=3:1
所以点P在AD(或BC)的垂直平分线上且PE=3PF,如图所示
7、解：如图，D即为所求，
理由：由作图可得：
EF是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADB＝∠DAC+∠DCA，
∴∠ADB＝2∠C．
课外作业参考答案：
1、【解析】：红黄、红蓝、黄蓝，共3种
2、【解析】：符合百位是1-3的有3种；符合十位是4-6的有3种；符合个位是7-9的有3种；共有3×3×3=27种，例如147.
3、【解析】：符合百位是1-3的有3种；符合十位是4-6的有3种；符合个位是7-9的有3种；共有3×3×3=27种，例如147.
4、59
5、A
6、【解析】：
①作直线PQ,在PQ上任意取一点D,作MD⊥PQ
②在DM上取一点A,是AD=h
③以A为圆心，以b为半径画弧交直线PQ与点B.
④以B为圆心，以a为半径画弧交直线PQ与点C.
⑤ 连接AB,AC,BC,三角形ABC为所求。如图所示。
7、【解析】：符合八八数时还缺三，彩灯数可能是5，13，21，29，37
45、53、61，69，----
符合七七数时刚刚好，彩灯数可能是7，14、21、28，----
符合五五数时剩一盏，彩灯数可能是6、11、16、21，26-、---
符合三三数时能数尽, 彩灯数量可能是3、6、9、12、15、18
同时符合四个条件的数是21，所以这些彩灯最少21盏
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第五章
课标要求 二元一次方程组》是初中数学“数与代数”领域的核心内容，是学生从“一元”向“多元”思维过渡的关键节点，也是后续学习一次函数、线性规划及其他高阶数学知识的重要基础。根据2022版新课标，对《二元一次方程组》的内容要求、学业质量要求可以归纳为以下几点：一、内容要求理解概念： 理解二元一次方程及其解的概念，掌握解法： 掌握二元一次方程组代入消元法（简称“代入法”）和加减消元法（简称“加减法”）*二元一次方程组两种基本解法。思想本质： 理解“消元”是解二元一次方程组的基本思想，即将“二元”问题转化为“一元”问题来解决，体会**化归（转化）**的数学思想。灵活运用： 能根据方程组的特点，选择恰当的、简便的方法求解。应用建模：能根据具体问题中的数量关系，设出两个未知数，列出二元一次方程组，建立数学模型。解决问题： 能通过解所列的方程组，得到实际问题的答案，并根据问题的实际意义检验结果的合理性。问题类型： 能解决包括行程问题、工程问题、配套问题、利润问题、分配问题等在内的各类应用题。二、 学业质量要求（核心素养体现）新课标强调核心素养的落实。本章学习主要体现以下核心素养：运算能力：学生需要完成“实际问题 → 数学模型（方程组）→ 求解模型 → 解释实际结果”的完整建模过程。推理意识： 知道“为什么可以这样解”，而不是死记硬背解题步骤。应用意识： 主动运用所学知识解决生活中的问题，感受数学“有用、有趣”。
内容分析 二元一次方程组是中学数学的重要内容，它是数学解决问题的基本工具，是刻画现实世界的一个最有效的数学模型和重要手段，是一元一次方程的继续和发展，也是学习线性方程和平面几何的基础，同时与一次函数存在密切的联系。它也是学习数学乃至无理化学和其他学科的重要基础。把握好本章学习，有利于激发学生的自主创新、积极探索的热情，培养学生分析问题解决问题的能力。本章教学内容分为三大块;从问题到方程组。选择含有两个未知量的情景，引出二元一次方程组，展现二元一次方程组是刻画现实世界的有效的数学模型，让学生体会数学来源于生活有服务于生活。解方程组，通过学生尝试、比较、探索等方法发现解二元一次方程组的方法（代入法、消元法），体会转化思想。用方程组解决问题，设置具有一定挑战性的问题和思考下的现实问题，用二元一次方程组解决这些丰富多彩具有现实意义的实际问题，既培养学生的方程组的数学模型思想，有培养学生的自主探究解决问题的能力。
学情分析 学生学习了一元一次方程的解法，初步感受了方程的模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。在此基础上，学生进一步研究二元一次方程组的概念、解法和运用。引导学生从熟悉的一元一次方程入手，探究二元一次方程组的概念个解法以及用二元一次方程组解决实际问题，使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数解决问题的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 教学目标1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识二元二次方程(组)及其有关概念。2、根据转化思想，抓住“消元”这一基本策略，熟练掌握二元二次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法。3、经历分析和解决问题的过程，体会二元二次方程(组)的教学模型作用，进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力。（二）教学重点、难点重点：1、二元一次方程组的两种解法（代入法和加减法）。 这是本章的“工具”，必须让学生熟练掌握。2、列二元一次方程组解应用题。 这是本章的“灵魂”，是数学知识应用于实践的最终体现。难点：1、“消元”思想的理解。 学生容易机械地模仿解题步骤，但难以理解为什么要“消元”以及“消元”的本质是“转化”。2、应用题中“等量关系”的寻找与建立。 这是学生普遍感到困难的地方。当问题涉及两个未知数和多个等量关系时，学生往往不知如何下手，或者找错等量关系。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数501认识二元一次方程组1502二元一次方程组的解法（代入消元）1503二元一次方程组的解法（加减消元）1504二元一次方程组的应用（古题今解）1505二元一次方程组的应用（增收节支）1506二元一次方程组的应用（行程问题）1507二元一次方程组与一次函数1508用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1509三元一次方程组1510解决问题的策略 逐步确定1511回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识二元一次方程组1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。1、完成课前练习题。2、思考情景中问题。3、学生独立对问题1、2列出相应的方程,通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义4、完成做一做，5、类比出二元一次方程组的概念，6、完成做一做。7、探究二元一次方程的解的含义8、完成做一做，9、类比出二元一次方程组的解10、完成做一做11、完成课堂练习12、引导学生课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结二元一次方程组的解法（代入消元）1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，学会用代入消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，转化的思想。 3、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。 1、回顾知识，唤醒记忆。2、根据情景，学生列出二元一次方程组，3、利用两种方法解二元一次方程组，并验证答案的正确性，4、学生自学例题1并对例题1、2写出检验过程。5、根据“变、代、求、写”的步骤，说一说。5、小组讨论归纳总结出代入消元法。6、拓展提高学习整体代入法。7、学生完成课堂练习。8、课堂总结环节一：知识回顾环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的解法（加减消元）1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，会用加减消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 3、培养学生学会自主探索，与他人合作， 与人交流思维过程的习惯。1、学生回顾知识。2、尝试用多种方法解二元一次方程。3、观察方程组系数的特点，尝试用加减消元法解二元一次方程组。4、自学例题3，发现未知数的系数相同，直接用加减消元法解二元一次方程组。5、自学例题4，学生小组讨论；当未知数的系数不相等时怎样变成未知数系数的绝对值相等？变换根据是什么？如何使用加法或减法消元。6、判断解方程组过程中的错误，并改正。7、完成课堂练习。8、学生课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的应用（古题今解）1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。1、思考解二元一次方程组的两种基本方法并完成习题2、3。2、回顾小学解决鸡兔同笼的几种方法，并选择你喜欢的方法解答。3、通过小组交流合作,同学之间相互提问、相互补充,用二元一次方程解决鸡兔同笼问题，并由两名学生代表板书解析过程，通过互相评价激发学生学习热情.4、尝试用二元一次方程解古题。5、通过交流合作，学习经典的3个例题，学生参与、讨论、质疑、补充.学生代表板书解析过程，学生评价，相互学习相互促进6、学生完成课堂练习。7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：古题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的运用（增收节支）1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。1、回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题。3、分析题中的数量关系填写表格4、题目中有哪些等量关系？5、写出解方程的过程.6、先读题，找出题目中的关键语句（独立完成）7、小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格8、尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组的运用（行程问题）1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。1、完成预习题，从而激发兴趣，进入新课。2、分析题意，完成表格和填空3、找出等量关系。4、试着用方程解决问题.5、弄清题意画线段图分析例题1和2，找出等量关系。6、试着用方程解决问题。7、小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤。8、分析数字问题位置互换后的表示方法，利用数量关系列方程求解9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组与一次函数1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.1、回顾知识，完成习题。2、探究一，小组交流讨论4个问题。3、探究小结；x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。5、两点法作出一次函数的图像，6、小组交流；方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系 7、探究小结：方程组的解就是两直线的交点坐标；8、探究两直线平行于方程组解的关系。9、探究小结：当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.10、完成课堂作业11、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结。用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系。根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。6、完成课堂作业7、引导学生进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结。三元一次方程组1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.1、问题抢答，激发兴趣。2、完成课前检测。3、根据等量关系列三元一次方程组。4、根据二元一次方程组的概念类比出三元一次方程组的概念5、教师指导解三元一次方程组。6、小组交流讨论例题2、3.方程组的解法。7、小组归纳三元一次方程组的解法及消元时注意的问题。8、完成课堂作业9、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结解决问题的策略 逐步确定1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。思考问题小组交流：按问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程探究问题解决策略：逐步确定。3、完成课堂作业4、引导学生进行课堂总结环节一：情境引入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成1、展示课前布置的思维导入，说明制作本图的亮点。2、学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。3、小组交流合作完成5个例题的学习。4、完成课堂作业5、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结
《二元一次方程组》单元教学设计
活动1：复习旧知
活动2：情景导入
活动3：探究新知
任务一：认识二元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：问题导入
活动3：探究新知
任务二：解二元一次方程组（代入消元）
活动4：典例精析
二元一次方程组
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：课前检测
活动3：探究新知
活动4：典例精析
任务三：解二元一次方程组（加减消元）
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：古题导入
任务四：二元一次方程组的应用（古题今解）
活动3：探究新知
活动4：典例精析
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：预习交流
活动2：情境导入
任务五：二元一次方程组的应用（增收节支）支 ）
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：预习交流
二元一次方程组
任务六：二元一次方程组的应用（行程问题）
活动2：情境导入
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：探究新知
任务七：二元一次方程组与一次函数
活动3：课堂练习
活动4：课堂总结
活动1：知识回顾
活动2：探究新知
活动3：典例精析
任务八：用二元一次方程组求一次函数（待定系数法）
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：课前检测
活动3：探究新知
任务九：三元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：情景引入
二元一次方程组
活动2：探究新知
活动3：课堂练习
任务十：解决问题的策略
逐步确定
活动4：课堂总结
活动1：知识架构
活动2：知识梳理
活动3：典例精析
任务十一：回顾与思考
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
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第五章 二元一次方程组
问题解决策略 逐步确定
01
教学目标
02
情境引入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力.
01
学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。
02
在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。
03
通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。
04
02
情境导入
周末，小明一家准备去超市购物，妈妈列了一张购物清单，上面有水果、蔬菜和日用品三类物品。水果有苹果、香蕉、橙子可选；蔬菜有白菜、萝卜、西红柿可选；日用品有牙膏、洗发水、沐浴露可选。妈妈要求小明每种物品只能选一样，且预算有限。那么小明该如何选择，才能满足妈妈的要求呢？
03
新知探究
探究一
问题解决策略：逐步确定
问题：今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问物几何？（选自《孙子算经》）
你知道物品最少有多少个吗？
03
新知探究
你能用自己的语言叙述一下这个问题吗？
所求物品的个数应同时满足哪些条件？
一个数三个三个的数余2，五个五个的数余3，七个七个的数余2，这个数最少是多少？
这个数同时应满足除以3余数是2；除以5余数是3；除以七余数是2。
活动1 理解问题
03
新知探究
活动2 拟定计划
1、问题解决遇到什么困难，如何化解困难？
2、怎样逐步满足每个条件？写出你的方案，与同学交流
03
新知探究
活动3 实施计划
（1）找出物品的个数应同时满足的条件。物品的个数为正整数，需要符合三个条件：①除以 3 余 2； ②除以 5 余 3；③除以 7 余 2。
（2）逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。符合条件①的正整数有：
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38 ，… （A）
在（A）中，符合条件②的正整数有：8，23，38，… （B）
在（B）中，符合条件③的正整数有：23，…
因此，同时满足三个条件的最小正整数是 23。所以，物品最少有 23 个。
（1）通过解决上述问题，你对 “逐步确定” 的策略有怎样的认识？
回顾与反思
“逐步确定”是一种解决具有多个限制条件问题的有效策略。其核心是先明确问题中所有必须满足的条件，然后按照一定顺序，先筛选出满足第一个条件的结果，再从这些结果中进一步筛选出满足第二个条件的结果，以此类推，逐步缩小范围，最终找到同时满足所有条件的解。这种策略能让问题解决过程更有条理，避免遗漏或重复，尤其适用于条件较多、直接求解难度大的问题。
（2）在以往的学习中，还有哪些问题可以采用 “逐步确定” 的策略来解决？
回顾与反思
搭配问题、密码组合问题、路径选择问题、整除问题
等
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.等腰三角形底边长10cm，周长为32cm，则腰长为（ ）
A. 11cm B. 10cm C. 9cm D. 8cm
2．在3□2□的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是 ．
3．妈妈把买的苹果平均装进5个盒子中多2个，装进6个盒子中也多2个，妈妈最少买了 个苹果。
A
3825
32
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4、若四位数 能被15整除，则这个数最小是多少？
【解析：四位数的最小值为1000，需满足：①能被5整除：个位是0或5；②能被3整除：各位数字之和是3的倍数。故答案是1005
5.根据下图所示的计算程序计算y的值，若输入x=2 则输出y 的值是（ ）
A.0 B.-2 C.2 D.4
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6、如图5-7，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,AD=10,
BC=30,梯形内有一点P,使得△APB≌△DPC, 试描述点P的位置。
解：P点的位置必须满足两个条件，①△APB≌△DPC，②
当△APB≌△DPC，AB=CD,PA=PD.PB=PC
P点在AD和BC的垂直平分线EF上。
当 ，
即10×PE=30PF PE:PF=3:1
所以点P在AD(或BC)的垂直平分线上且PE=3PF,如图所示
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7．如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在BC边上求作一点D，使得∠ADB＝2∠C．（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，D即为所求，
理由：由作图可得：EF是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADB＝∠DAC+∠DCA，
∴∠ADB＝2∠C．
05
课堂小结
问题解决的策略 逐步确定
“逐步确定”是一种解决具有多个限制条件问题的有效策略。其核心是先明确问题中所有必须满足的条件，然后按照一定顺序，先筛选出满足第一个条件的结果，再从这些结果中进一步筛选出满足第二个条件的结果，以此类推，逐步缩小范围，最终找到同时满足所有条件的解。这种策略能让问题解决过程更有条理，避免遗漏或重复，尤其适用于条件较多、直接求解难度大的问题。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.有红、黄、蓝三种颜色的气球，从中选两个扎成一束，有多少种不同的扎法？
2.一个三位数密码，百位上是 1 - 3 中的一个数字，十位上是 4 - 6 中的一个数字，个位上是 7 - 9 中的一个数字，这个密码可能是多少？
【解析】：红黄、红蓝、黄蓝，共3种
【解析】：符合百位是1-3的有3种；符合十位是4-6的有3种；符合个位是7-9的有3种；共有3×3×3=27种，例如147.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.从 A 地到 B 地有 3 条路可走，从 B 地到 C 地有 2 条路可走，从 C 地到 D 地有 4 条路可走，那么从 A 地经过 B 地、C 地到 D 地，一共有多少种不同的走法？
【解析】：符合百位是1-3的有3种；符合十位是4-6的有3种；符合个位是7-9的有3种；共有3×3×3=27种，例如147.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.清明节期间，七（1）班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈．若每小组 7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有 名同学．
5.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下( )
A. 31元 B.30元 C.25元 D.19元
A
59
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6.如图5--8，已知线段a,b,h(h＜b),用尺规作锐角三角形ABC,使BC=a,AB=b,BC边上的高AD=h
【解析】：
①作直线PQ,在PQ上任意取一点D,作MD⊥PQ
②在DM上取一点A,是AD=h
③以A为圆心，以b为半径画弧交直线PQ与点B.
④以B为圆心，以a为半径画弧交直线PQ与点C.
⑤ 连接AB,AC,BC,三角形ABC为所求。如图所示。
06
作业布置
7、大年30彩灯悬，彩灯齐明光灿灿。三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三，这些彩灯最少多少盏？
【解析】：符合八八数时还缺三，彩灯数可能是5，13，21，29，37
45、53、61，69，----
符合七七数时刚刚好，彩灯数可能是7，14、21、28，----
符合五五数时剩一盏，彩灯数可能是6、11、16、21，26-、---
符合三三数时能数尽, 彩灯数量可能是3、6、9、12、15、18、21、24、----。
同时符合四个条件的数是21，所以这些彩灯最少21盏。
【综合拓展类作业】
Thanks!
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