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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大（2024） 册、章 上册第五章
课标要求 二元一次方程组》是初中数学“数与代数”领域的核心内容，是学生从“一元”向“多元”思维过渡的关键节点，也是后续学习一次函数、线性规划及其他高阶数学知识的重要基础。根据2022版新课标，对《二元一次方程组》的内容要求、学业质量要求可以归纳为以下几点：一、内容要求理解概念： 理解二元一次方程及其解的概念，掌握解法： 掌握二元一次方程组代入消元法（简称“代入法”）和加减消元法（简称“加减法”）*二元一次方程组两种基本解法。思想本质： 理解“消元”是解二元一次方程组的基本思想，即将“二元”问题转化为“一元”问题来解决，体会**化归（转化）**的数学思想。灵活运用： 能根据方程组的特点，选择恰当的、简便的方法求解。应用建模：能根据具体问题中的数量关系，设出两个未知数，列出二元一次方程组，建立数学模型。解决问题： 能通过解所列的方程组，得到实际问题的答案，并根据问题的实际意义检验结果的合理性。问题类型： 能解决包括行程问题、工程问题、配套问题、利润问题、分配问题等在内的各类应用题。二、 学业质量要求（核心素养体现）新课标强调核心素养的落实。本章学习主要体现以下核心素养：运算能力：学生需要完成“实际问题 → 数学模型（方程组）→ 求解模型 → 解释实际结果”的完整建模过程。推理意识： 知道“为什么可以这样解”，而不是死记硬背解题步骤。应用意识： 主动运用所学知识解决生活中的问题，感受数学“有用、有趣”。
内容分析 二元一次方程组是中学数学的重要内容，它是数学解决问题的基本工具，是刻画现实世界的一个最有效的数学模型和重要手段，是一元一次方程的继续和发展，也是学习线性方程和平面几何的基础，同时与一次函数存在密切的联系。它也是学习数学乃至无理化学和其他学科的重要基础。把握好本章学习，有利于激发学生的自主创新、积极探索的热情，培养学生分析问题解决问题的能力。本章教学内容分为三大块;从问题到方程组。选择含有两个未知量的情景，引出二元一次方程组，展现二元一次方程组是刻画现实世界的有效的数学模型，让学生体会数学来源于生活有服务于生活。解方程组，通过学生尝试、比较、探索等方法发现解二元一次方程组的方法（代入法、消元法），体会转化思想。用方程组解决问题，设置具有一定挑战性的问题和思考下的现实问题，用二元一次方程组解决这些丰富多彩具有现实意义的实际问题，既培养学生的方程组的数学模型思想，有培养学生的自主探究解决问题的能力。
学情分析 学生学习了一元一次方程的解法，初步感受了方程的模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。在此基础上，学生进一步研究二元一次方程组的概念、解法和运用。引导学生从熟悉的一元一次方程入手，探究二元一次方程组的概念个解法以及用二元一次方程组解决实际问题，使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数解决问题的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 教学目标1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识二元二次方程(组)及其有关概念。2、根据转化思想，抓住“消元”这一基本策略，熟练掌握二元二次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法。3、经历分析和解决问题的过程，体会二元二次方程(组)的教学模型作用，进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力。（二）教学重点、难点重点：1、二元一次方程组的两种解法（代入法和加减法）。 这是本章的“工具”，必须让学生熟练掌握。2、列二元一次方程组解应用题。 这是本章的“灵魂”，是数学知识应用于实践的最终体现。难点：1、“消元”思想的理解。 学生容易机械地模仿解题步骤，但难以理解为什么要“消元”以及“消元”的本质是“转化”。2、应用题中“等量关系”的寻找与建立。 这是学生普遍感到困难的地方。当问题涉及两个未知数和多个等量关系时，学生往往不知如何下手，或者找错等量关系。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数501认识二元一次方程组1502二元一次方程组的解法（代入消元）1503二元一次方程组的解法（加减消元）1504二元一次方程组的应用（古题今解）1505二元一次方程组的应用（增收节支）1506二元一次方程组的应用（行程问题）1507二元一次方程组与一次函数1508用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1509三元一次方程组1510解决问题的策略 逐步确定1511回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识二元一次方程组1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。1、完成课前练习题。2、思考情景中问题。3、学生独立对问题1、2列出相应的方程,通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义4、完成做一做，5、类比出二元一次方程组的概念，6、完成做一做。7、探究二元一次方程的解的含义8、完成做一做，9、类比出二元一次方程组的解10、完成做一做11、完成课堂练习12、引导学生课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结二元一次方程组的解法（代入消元）1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，学会用代入消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，转化的思想。 3、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。 1、回顾知识，唤醒记忆。2、根据情景，学生列出二元一次方程组，3、利用两种方法解二元一次方程组，并验证答案的正确性，4、学生自学例题1并对例题1、2写出检验过程。5、根据“变、代、求、写”的步骤，说一说。5、小组讨论归纳总结出代入消元法。6、拓展提高学习整体代入法。7、学生完成课堂练习。8、课堂总结环节一：知识回顾环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的解法（加减消元）1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤，会用加减消元法解二元一次方程组。 2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 3、培养学生学会自主探索，与他人合作， 与人交流思维过程的习惯。1、学生回顾知识。2、尝试用多种方法解二元一次方程。3、观察方程组系数的特点，尝试用加减消元法解二元一次方程组。4、自学例题3，发现未知数的系数相同，直接用加减消元法解二元一次方程组。5、自学例题4，学生小组讨论；当未知数的系数不相等时怎样变成未知数系数的绝对值相等？变换根据是什么？如何使用加法或减法消元。6、判断解方程组过程中的错误，并改正。7、完成课堂练习。8、学生课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的应用（古题今解）1、会用二元一次方程组解决古代算题的实际问题。2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。1、思考解二元一次方程组的两种基本方法并完成习题2、3。2、回顾小学解决鸡兔同笼的几种方法，并选择你喜欢的方法解答。3、通过小组交流合作,同学之间相互提问、相互补充,用二元一次方程解决鸡兔同笼问题，并由两名学生代表板书解析过程，通过互相评价激发学生学习热情.4、尝试用二元一次方程解古题。5、通过交流合作，学习经典的3个例题，学生参与、讨论、质疑、补充.学生代表板书解析过程，学生评价，相互学习相互促进6、学生完成课堂练习。7、课堂总结环节一：知识回顾环节二：古题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二元一次方程组的运用（增收节支）1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。3．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。1、回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题。3、分析题中的数量关系填写表格4、题目中有哪些等量关系？5、写出解方程的过程.6、先读题，找出题目中的关键语句（独立完成）7、小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格8、尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组的运用（行程问题）1、用二元一次方程式组解决有关数字问题、行程问题，会用线段图分析数量关系，找到题中的等量关系式。2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。1、完成预习题，从而激发兴趣，进入新课。2、分析题意，完成表格和填空3、找出等量关系。4、试着用方程解决问题.5、弄清题意画线段图分析例题1和2，找出等量关系。6、试着用方程解决问题。7、小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤。8、分析数字问题位置互换后的表示方法，利用数量关系列方程求解9、完成课堂作业10、引导学生进行课堂总结环节一：预习交流环节二：情境引入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结。二元一次方程组与一次函数1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.1、回顾知识，完成习题。2、探究一，小组交流讨论4个问题。3、探究小结；x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。5、两点法作出一次函数的图像，6、小组交流；方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系 7、探究小结：方程组的解就是两直线的交点坐标；8、探究两直线平行于方程组解的关系。9、探究小结：当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.10、完成课堂作业11、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结。用二元一次方程组求一次函数解析式（待定系数法）1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。2、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。3、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系。根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。6、完成课堂作业7、引导学生进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结。三元一次方程组1、了解三元一次方程组的概念.会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.2、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.3、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.1、问题抢答，激发兴趣。2、完成课前检测。3、根据等量关系列三元一次方程组。4、根据二元一次方程组的概念类比出三元一次方程组的概念5、教师指导解三元一次方程组。6、小组交流讨论例题2、3.方程组的解法。7、小组归纳三元一次方程组的解法及消元时注意的问题。8、完成课堂作业9、引导学生进行课堂总结环节一：知识衔接环节二：课前检测环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结解决问题的策略 逐步确定1.能从具体问题中抽象出多个限制条件，通过“逐步确定”策略推导符合所有条件的解，培养逻辑推理能力。2.学会将实际问题（如购物选择、物品数量求解）转化为数学条件，立解决问题的模型，提升用数学解决实际问题的能力。3.在逐步筛选符合条件的数值（如《孙子算经》问题）过程中，锻炼基本运算和数值分析能力。4.通过处理多组条件（如密码组合、路径选择），学会有序分析和整合信息，培养综合应用知识的素养。思考问题小组交流：按问题理解；拟定计划；实施计划；回顾与反思四个过程探究问题解决策略：逐步确定。3、完成课堂作业4、引导学生进行课堂总结环节一：情境引入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结回顾与思考1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成1、展示课前布置的思维导入，说明制作本图的亮点。2、学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。3、小组交流合作完成5个例题的学习。4、完成课堂作业5、引导学生进行课堂总结。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结
《二元一次方程组》单元教学设计
活动1：复习旧知
活动2：情景导入
活动3：探究新知
任务一：认识二元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：问题导入
活动3：探究新知
任务二：解二元一次方程组（代入消元）
活动4：典例精析
二元一次方程组
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：课前检测
活动3：探究新知
活动4：典例精析
任务三：解二元一次方程组（加减消元）
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：复习旧知
活动2：古题导入
任务四：二元一次方程组的应用（古题今解）
活动3：探究新知
活动4：典例精析
活动5：课堂练习
活动6：课堂总结
活动1：预习交流
活动2：情境导入
任务五：二元一次方程组的应用（增收节支）支 ）
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：预习交流
二元一次方程组
任务六：二元一次方程组的应用（行程问题）
活动2：情境导入
活动3：探究新知
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：探究新知
任务七：二元一次方程组与一次函数
活动3：课堂练习
活动4：课堂总结
活动1：知识回顾
活动2：探究新知
活动3：典例精析
任务八：用二元一次方程组求一次函数（待定系数法）
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：知识衔接
活动2：课前检测
活动3：探究新知
任务九：三元一次方程组
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
活动1：情景引入
二元一次方程组
活动2：探究新知
活动3：课堂练习
任务十：解决问题的策略
逐步确定
活动4：课堂总结
活动1：知识架构
活动2：知识梳理
活动3：典例精析
任务十一：回顾与思考
活动4：课堂练习
活动5：课堂总结
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第五章 二元一次方程组
回顾与思考导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；
2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；
3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成。
学习重点：
1．二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法、 图象法。
2．列二元一次方程组解决实际生活问题。
3．二元一次方程和一次函数的关系。
学习难点：
1．列二元一次方程组解决实际生活问题。
2．几种数学思想——化归思想、方程思想和数形结合思想。
预习自测
一、知识架构
教学过程
一、知识梳理
1、二元一次方程：含有 个未知数，并且所含未知数的项数的次数都是一次的 ．
2、二元一次方程的一个解：适合二元一次方程的 组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．
3、二元一次方程的解集：由这个二元一次方程的 解组成的集合叫做这个二元一次方程的解集．
4、二元一次方程组：一般的，由二个 次方程组成，并含有 个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
5三元一次方程组：一般的，由三个 次方程组成，并含有 个未知数的方程组叫做三元一次方程组．
二元一次方程组的解：适合二元一次方程组里各个方程的 对未知数的值叫做这个方程组里各个方程的 解，也叫做这个方程组的解．
7、解方程组：求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组．
8、解一元二次方程组的基本方法是 和 .
9、 列二元一次方程组解应用题的步骤是． .
三、典例精析
例1 求方程2x+y=7的正整数解．
例2 如图，求直线 和直线 的交点坐标．
例3 如果关于x，y的方程组 的解满足3x+y=5，求k的值．
【解：两式相加得3x+y=15-k，把3x+y=5整体代入得15-k=5，求出k=10】
例4：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
例5:为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文，a+2b，2b+c，a+c．当接收方收到密文14，9，7时，求解密得到的明文是多少？
【解析：列三元一次方程组求a、b、c的值】
四、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下列方程中，哪个是二元一次方程？（ ）
A． B． C． D．
2.已知是方程mx+3y=6的一个解，则m的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知关于x，y的二元一次方程组的解为．则a-3b的值是( )
A．-2 B．2 C．3 D．-3
4．某校学生去西湖坐船游览．若每船坐7人，则有3人不能上船；若每船坐8人，则最后一艘船少坐5人，设学生人数为x人和船数为y艘，依题意可列方程组( )
A． B． C． D．
5．已知与是同类项，则的值为 )
A．2 B．-2 C．1 D．-1
6.如果实数x，y满足方程组，那么
7．解下列方程组：
（1） （2）
能力提升：
8．如图，直线y=-3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C(0,-3)在Y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
（3）过点B作直线BE交x轴于点E(E点在点右侧），当∠ABE=45°时，直接写出直线BE的函数表达式．
拓展迁移
9.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元，求每台A型电脑和每台B型电脑的销售利润．
10.某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？
五、总结反思、拓展升华
1．本节课哪些已遗忘的知识得到巩固？
2．哪些知识有了新的认识？
3．本章主要蕴涵了哪些数学思想方法
4．你还有哪些疑问
六、【作业布置】
基础达标：
1.下列属于二元一次方程组的是
A． B． C． D．
2．如果两个一次函数与的图象交于X轴上一点，则
A． B． C． D．
3．观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．以上说法都不对
4．在下列各组数中，是方程组的解的是
A． B． C． D．
5．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是( )
A．y＜0 B．y＜1 C．-2＜y＜0 D.
6．如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于一点，则二元一次方程组的解是: ．
第5题 第6题
7.解方程组
8.用图象法解方程
能力提升：
9.如图，正方形ABOD的边长为2，OB在x轴上，OD在y轴上，且AD//OB，AB//OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F.
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）过点C作CE⊥DF且交x轴于点E，求证：∠ADC=∠EDC；
（3）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值.
拓展迁移：
10.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元，按定价的八五折销售该商品8件与降低35元销售该商品12件所获利润相等.该商品进价、定价是多少？
11.威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件.如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
课堂练习参考答案：
D
B
B
C
A
1
7、解：（1），
把②代入①得，，解得，
把代入②得，，
原方程组的解为；
（2），
①②得，，解得，
把代入①得，，解得，
原方程组的解为．
8、解：（1）∵y=-3x+6交x轴和y轴于点A和点B，
当x=0时，则y=6；
当y=-3x+6=0时，解得x=2，
∴ A(2,0), B(0,6)
（2）设点P(a,-3a+6)，如图1，连接PC，
则，解得a=±4，
故点P(4,-6)或(-4,18)；
（3）当∠ABE=45°，如图2，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥X轴于点H，
∵∠ABE=45°
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB=AD,∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，∠DAH+∠ADH=90°
∴∠BAO=∠ADH
在△AOB与△DAH中，
△AOB≌△DAH（AAS）
∵OA=2,OB=6
∴OH=OA+AH=2+6=8 ,DH=2
∴D(8,2),B(0,6)
设直BE的表达式为y=kx+b，
则， 解得，
故直线BE的表达式为．
9、解：设每台A型电脑的销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润y元，
依题意得：，
解得：．
答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润150元．
10、解：设该用户5月份用水x吨，
则1.2×6+（x-6)×2=1.4x
7.2+2x-1.2=1.4x
0.6x+4.8
x=8
∴1.4×8=11.2（元）
答：该用户5月份应交水费11.2元
课外作业参考答案：
A
B
B
D
B
6、
7、解，
①-②得：2x=4
把x=2代入①得y=7
∴方程组的解是
8、.解，如图，在同一坐标系中画出y=-x+4，y=2x+1的图象，
交点坐标为(1，3)，所以方程组的解为
9、解，(1)∵四边形ABOD为正方形，
∴AB=BO=OD=AD=2，∴D(0，2)，
∵C为AB的中点，∴BC=1，∴C(-2，1)，
设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴，解得：
∴直线CD的函数关系式为；
(2)∵C是AB的中点，∴AC=BC，
∵四边形ABOD是正方形，∴∠A=∠CBF=90 ，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF(ASA)
∴CF=CD，∴CE⊥DF，∴CE垂直平分DF，∴DE=FE，∴∠EDC=∠EFC，.
∵AD//BF，
∴∠EFC=∠ADC，.∴∠ADC=∠EDC；
(3)如图，连接BD交直线CE于点P，
由(2)可知点D与点F关于直线CE对称，
∴PD=PF，∴PB+PF=PB+PD≥BD，
∵B(-2，0)，D(0，2)，∴BD=，
∴PB+PF的最小值为.
10、解:设该商品定价为x元/件，则进价为(x-45)元，
由题意可得，8[85%x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，
解这个方程得，x=200，
∴进价为，200-45=155，
答，这种商品的进价为155元，定价为200元.
11、解，(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元.由题意，得
解得：
答，每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元.
(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34-a)件.由题意，得
200a+100(34-a)≥4000，
解得；a≥6
答，威丽商场至少需购进6件A种商品.
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北师大版（2024）八年级数学上册第五章《二元一次方程组》回顾与思考教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 五
课题 回顾与思考 课时 1
课标要求 帮助学生构建知识网络，深化思想方法、提示核心素养，具体表现在：1知识层面：了解二元一次方程（组）的概念，掌握代入消元法和加减消元法，能解简单的二元一次方程组，能根据具体问题，列二元一次方程组解决简单的问题；2过程与方法：体验一元到多元的数学建模，体会消元（化归）的思想是解多元方程的基本思想，在解决实际问题的过程中，学会分析问题中的等量关系提示数学建模思想，通过比较不同的解法的优劣，培养学生的优化意识；3、核心素养：从实际问题中抽象出二元一次方程（组）的数学模型，在解方程组的过程中实现等价变形和逻辑推理，确保解题过程的严谨性。
教材分析 二元一次方程组》是北师大版教科书八年级（上）第五章内容．本节内容为本章的回顾与反思，安排1个课时完成．本章学习二元一次方程组及其解法，并利用二元一次方程组解决一些现实问题，体会方程（组）是刻画现实世界中等量关系的有效模型．本章所涉及数学思想方法主要包括：一是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；二是解方程组的过程中蕴涵的消元、化归思想，它在解方程组中具有指导作用．本课要学生利用问题展开交流，引导学生进一步提炼，构建知识体系，在此基础上，学生通过尝试解决问题，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握的更灵活。
学情分析 学生已经学习了二元一次方程（组）及其相关概念，掌握了用代入消元法、加减消元法来解二元一次方程组以及三元一次方程组，具备了用二元一次方程组解决实际问题基本技能．在前面的学习过程中，学生从用方程（组）模型解决了一些实际问题的过程中，感受到方程（组）模型的重要性，获得用方程（组）解决实际问题必须得一些数学活动经验的基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习和回顾与思考的过程，具有一定的复习回顾旧知的经验．
核心素养目标 1、梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2、通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3、通过问题的解决，提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成。
教学重点 1．二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法、 图象法。2．列二元一次方程组解决实际生活问题。3．二元一次方程和一次函数的关系。
教学难点 1．列二元一次方程组解决实际生活问题。2．几种数学思想——化归思想、方程思想和数形结合思想。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识结构 展示课前布置的思维导入，说明制作本图的亮点 构建知识网络，归纳了这一章的知识结构
二、知识梳理 1、二元一次方程：含有二个未知数，并且所含未知数的项数的次数都是一次的 一个方程 ．2、二元一次方程的一个解：适合二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解． 3、二元一次方程的解集：由这个二元一次方程的公共解组成的集合叫做这个二元一次方程的解集．4、二元一次方程组：一般的，由二个一 次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．5三元一次方程组：一般的，由三个一 次方程组成，并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组．二元一次方程组的解：适合二元一次方程组里各个方程的 一 对未知数的值叫做这个方程组里各个方程的公共解，也叫做这个方程组的解．7、解方程组：求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组．8、解一元二次方程组的基本方法是代入消元和 加减消元。 9、 列二元一次方程组解应用题的步骤是．审题----设未知数---列方程-----解方程-----检验---作答。 学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系 采用填空的形式引导学生对本章知识点梳理，构建本章知识体系
三、典例精析 例1 求方程2x+y=7的正整数解．解；2x+y=7的正整数解有：例2 如图，求直线 和直线的交点坐标．两直线的交点坐标是：例3 如果关于x，y的方程组 的解满足3x+y=5，求k的值．解：两式相加得3x+y=15-k把3x+y=5整体代入得15-k=5求出k=10例4：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？解：设该工厂从A地购买了x吨原料,制成运往B地的产品y吨.得整理得 解得：答;该工厂从A地购买了400吨原料,制成运往B地的产品300吨例5:为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文，a+2b，2b+c，a+c．当接收方收到密文14，9，7时，求解密得到的明文是多少？解；有题意得：①-②得：a-c=5 ④③+④得：a=6,把a=6代入①得b=4， 代入③得c=1所以解密得到的明文是a=6,b=4,c=1 小组交流合作完成5个例题的学习 通过典型例题探究加深学生对主要思想方法的理解，掌握常用解题方法．提高学生运用数学的能力，促进良好的学习方法和习惯的养成。
四、课堂作业 基础达标：1．下列方程中，哪个是二元一次方程？（ D ）A． B． C． D．2.已知是方程mx+3y=6的一个解，则m的值为(B)A．3 B．4 C．5 D．63．已知关于x，y的二元一次方程组的解为．则a-3b的值是( B )A．-2 B．2 C．3 D．-34．某校学生去西湖坐船游览．若每船坐7人，则有3人不能上船；若每船坐8人，则最后一艘船少坐5人，设学生人数为x人和船数为y艘，依题意可列方程组( C )A． B． C． D．5．已知与是同类项，则的值为A) A．2 B．-2 C．1 D．-16.如果实数x，y满足方程组，那么 1 7．解下列方程组：（1） （2）解：（1），把②代入①得，，解得，把代入②得，，原方程组的解为；（2），①②得，，解得，把代入①得，，解得，原方程组的解为．能力提升：8．如图，直线y=-3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C(0,-3)在Y轴上，连接AC．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；（3）过点B作直线BE交x轴于点E(E点在点右侧），当∠ABE=45°时，直接写出直线BE的函数表达式．解：（1）∵y=-3x+6交x轴和y轴于点A和点B，当x=0时，则y=6；当y=-3x+6=0时，解得x=2，∴ A(2,0), B(0,6)（2）设点P(a,-3a+6)，如图1，连接PC，则，解得a=±4，故点P(4,-6)或(-4,18)；（3）当∠ABE=45°，如图，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥X轴于点H，∵∠ABE=45°∴△BAD为等腰直角三角形，∴AB=AD,∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAH=90°，∠DAH+∠ADH=90°∴∠BAO=∠ADH在△AOB与△DAH中，△AOB≌△DAH（AAS）∵OA=2,OB=6∴OH=OA+AH=2+6=8 ,DH=2∴D(8,2),B(0,6)设直BE的表达式为y=kx+b，则， 解得，故直线BE的表达式为．拓展迁移9.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元，求每台A型电脑和每台B型电脑的销售利润．解：设每台A型电脑的销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润y元，依题意得：，解得：．答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润150元．10.某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？解：设该用户5月份用水x吨，则1.2×6+（x-6)×2=1.4x7.2+2x-1.2=1.4x0.6x+4.8x=8∴1.4×8=11.2（元）答：该用户5月份应交水费11.2元． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升 1．本节课哪些已遗忘的知识得到巩固？2．哪些知识有了新的认识？3．本章主要蕴涵了哪些数学思想方法 4．你还有哪些疑问 引导学生进行课堂小结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 二元一次方程组1、二元一次方程及二元一次方的解 ．2、二元一次方程组及二元一次方程组的解3、三元一次方程组及三元一次方程组的解4、解一元二次方程组的基本方法是代入消元和 加减消元。 5、 列二元一次方程组解应用题的步骤是．审题----设未知数---列方程-----解方程-----检验---作答。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.下列属于二元一次方程组的是 A A． B． C． D．2．如果两个一次函数与的图象交于X轴上一点，则 B A． B． C． D．3．观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取 B A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．以上说法都不对4．在下列各组数中，是方程组的解的是 D A． B． C． D．5．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是( B )A．y＜0 B．y＜1 C．-2＜y＜0 D.6．如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于一点，则二元一次方程组的解是: ． 第5题 第6题7.解方程组解，①-②得：2x=4把x=2代入①得y=7∴方程组的解是8.用图象法解方程.解，如图，在同一坐标系中画出y=-x+4，y=2x+1的图象，交点坐标为(1，3)，所以方程组的解为能力提升：9.如图，正方形ABOD的边长为2，OB在x轴上，OD在y轴上，且AD//OB，AB//OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F.（1）求直线CD的函数关系式；（2）过点C作CE⊥DF且交x轴于点E，求证：∠ADC=∠EDC；（3）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值.解，(1)∵四边形ABOD为正方形，∴AB=BO=OD=AD=2，∴D(0，2)，∵C为AB的中点，∴BC=1，∴C(-2，1)，设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0)，∴，解得：∴直线CD的函数关系式为；(2)∵C是AB的中点，∴AC=BC，∵四边形ABOD是正方形，∴∠A=∠CBF=90 ，在△ACD和△BCF中∴△ACD≌△BCF(ASA)∴CF=CD，∴CE⊥DF，∴CE垂直平分DF，∴DE=FE，∴∠EDC=∠EFC，.∵AD//BF，∴∠EFC=∠ADC，.∴∠ADC=∠EDC；(3)如图，连接BD交直线CE于点P，由(2)可知点D与点F关于直线CE对称，∴PD=PF，∴PB+PF=PB+PD≥BD，∵B(-2，0)，D(0，2)，∴BD=，∴PB+PF的最小值为.拓展迁移：10.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元，按定价的八五折销售该商品8件与降低35元销售该商品12件所获利润相等.该商品进价、定价是多少？解:设该商品定价为x元/件，则进价为(x-45)元，由题意可得，8[85%x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，解这个方程得，x=200，∴进价为，200-45=155，答，这种商品的进价为155元，定价为200元.11.威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件.如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？解，(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元.由题意，得解得：答，每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元.(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34-a)件.由题意，得200a+100(34-a)≥4000，解得；a≥6答，威丽商场至少需购进6件A种商品.
教学反思
x=1 x=2 x=3
y=5 y=3 y=1
x=2
y=3
10×1.5x+20×1.5y=15000
120×1.2x+110×1.2y=97200
x+2y=1000
12x+11y=8100
x=400
y=300
a+2b=14 ①
2b+c=9 ②
a+c=7 ③
x=1
y=3
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