第一章 勾股定理 单元测试（含解析） -2025—2026学年北师大版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第一章 勾股定理 单元测试（含解析） -2025—2026学年北师大版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 422.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-05 09:40:40 | ||
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文档简介
第一章勾股定理（单元测试） -2025—2026学年北师大版数学八年级上册
一、选择题
1．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．如图，在中，于，则的长是（ ）
A．10 B． C． D．
3．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（ ）
A．13 B． C．15 D．10
4．如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．41 C．25 D．16
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（ ）
A．144 B．49 C．64 D．25
6．如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端离地面的垂直距离为4m，则梯子的底端离墙的距离是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．m
7．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．16
8．如图，是斜边上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形．
10．如图，在中，，于点D，，，则BC的长为 ．
11．如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移 米．
12．如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
13．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连结AG，FG．当时，线段AG的长为 ．
14．如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ．
三、解答题
15．如图，等腰三角形 中 ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
16．如图，在四边形中，，是边上一点，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
17． 如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的的长度各是多少？
18．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后后，测得米，米，米，米.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分土地的面积.
19．在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）求证：；
（2）求原来的路线的长；
20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据勾股定理得：a2+b2=c2，
∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200，
∴c2=100，∴c=10.
故答案为：C.
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6；
∴AB==10
∴CD==
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理，可得AB的值；根据三角形面积相等的原则，列代数式，可直接求出CD的值.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长，
由图可知：，，
为最短路径为：，
则蚂蚁爬的最短路线长为13，
故答案为：A．
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出最短路径即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理得出：
，
，
∴阴影部分的面积是
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出 即可得出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：直角三角形的另一个直角边==12，
∴ 小正方形的边长=12-5=7，
∴ 中间小正方形的面积=72=49.
故答案为：49.
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一个直角边推出小正方形的边长，即可求得小正方形的面积.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：梯子的底端离墙的距离为．
故答案为：A.
【分析】本题考查勾股定理实际应用．根据勾股定理的变形可得，代入数据可求求出答案．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为13，
∴，
在中，，
根据勾股定理得：，
根据勾股定理逆定理得，
∴．
故答案为：C
【分析】由正方形面积求得，利用勾股定理的逆定理证明，然后正方形的面积减去三角形的面积，求解即可．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB，如图，
∵ Rt△ABC中AC=BC=1，
∴ AB=，
∴ S△ABC=AC·AB=AB·CH，
∴ CH=，
∵ PF⊥BC，PE⊥AB，
∴ S△BCD= S△BCP+ S△BDP，即BD·CH=BC·PF+BD·PE，
∴ PE+PF=.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理得AB的长，再根据等面积法求得CH的长，根据S△BCD= S△BCP+ S△BDP利用三角形的面积公式，即可求得.
9．【答案】直角
【解析】【解答】解：三角形的三边之比为，设三角形三边分别是3x、4x、5x。
，
此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用。可以根据三边比假设出三边的长度，然后列示计算即可得出该三角形是直角三角形。
10．【答案】5
【解析】【解答】解：设BC为x，则CD为x-1，
∵，
∴
解得：
故答案为：5.
【分析】设BC为x，则CD为x-1，进而根据勾股定理列出方程：解此方程即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解；在直角中，已知， ，则，
，
在直角中，，且为斜边，
，
梯足向外移动了．
故答案为：．
【分析】
在直角三角形中，根据勾股定理求出长，即可求除长，然后在直角三角形中，利用勾股定理求得的长度，然后利用线段的和差得到的长解题．
12．【答案】15
【解析】【解答】解：如图，设树的高度为x米，因为两只猴子所经过的距离相等，即都为30米，
由勾股定理得：，
解得x=15，
故树的高度为15米，
故填：15.
【分析】 如图，两只猴子所经过的距离相等，即BD+AD=BC+AC=10+20=30，再根据勾股定理即可求出树的高度.
13．【答案】
【解析】【解答】解：连接DF、AF、EF，如图，
在中，
∴
∵点F，G分别是BC，DE的中点，
∴
∴
∵
∴
∴为直角三角形，且
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】连接DF、AF、EF，利用"ASA"证明则 进而求出AE的长度，再利用勾股定理求出DE的长度，进而即可求解.
14．【答案】
【解析】【解答】解：在AB上取一点F'，使BF'＝BF，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBF＝∠EBF'，
又∵BE＝BE，
∴△EBF≌△EBF'（SAS），
∴EF＝EF'，
∴CE＋EF＝CE＋EF'≥CH，
∴CE＋EF的最小值为CH的长，
在Rt△ACB中，
∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理，得AB=，
∵S△ABC＝AB CH＝AC×BC，
∴CH=，
故答案为：.
【分析】在AB上取一点F'，使BF'＝BF，过点C作CH⊥AB于点H，先利用“SAS”证出△EBF≌△EBF'，可得EF＝EF'，再结合CE＋EF＝CE＋EF'≥CH，可得CE＋EF的最小值为CH的长，再利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积公式及等积法可得CH=，从而得解.
15．【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC，
则列示为（x+3）2=x2+42
解得x=
∴AD的长为cm。
（2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2
∴ 的面积是cm2。
【解析】【分析】（1）题可以放到直角三角形ACD中，因为AB=AC，所以利用勾股定理列式求解即可；
（2）题根据（1）题的结果计算出AB的长度，然后以AB为底、CD为高即可计算出三角形的面积。
16．【答案】（1）证明：如图.
，
.
，
，
.
在和中，
.
（2）解：，
.
，，
在中，由勾股定理，得，
，
在中，由勾股定理，得.
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得，根据AAS判定 ；
（2）根据勾股定理求得AC，再利用全等三角形的性质得CD=AC， 再根据勾股定理求得AD.
17．【答案】解：设池塘水深x尺，则芦苇高尺．根据题意，可列方程
解方程，得
∴尺
答：池塘水深12尺，芦苇高13尺.
【解析】【分析】设池塘水深x尺，则芦苇高尺，根据题意列出方程，再求解即可.
18．【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：在中，，
由勾股定理得，，解得，
在中，
是直角三角形，
（2）解：图中阴影部分土地的面积（平方米）.
【解析】【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出AC=5，继而由勾股定理逆定理求出ADC=90°；
（2）根据三角形的面积公式求出答案即可。
19．【答案】（1）证明：千米，千米，千米，
，
，
为直角三角形，
；
（2）解：设千米，则千米．
，，
，即，
解得：．
答：原来的路线的长为千米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CDB为直角三角形，即可得证；
（2）设千米，则千米，根据勾股定理，即可求解．
20．【答案】（1）解：根据题意得，，，
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：如下图所示，
：
根据题意得，，，，
，
，
答：滑块向左滑动的距离为．
【解析】【分析】根据Rt中直角边的长度是，的长度是，利用勾股定理求出斜边的长度，绳子的长度就是斜边与直角边的长度之和；
物体升高，则斜边的长度增加，斜边的长度增加为，利用勾股定理求出的长度，用的长度减去的长度，就是滑块向左滑动的距离．
（1）解：根据题意得，，，
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：如下图所示，
：
根据题意得，，，，
，
，
答：滑块向左滑动的距离为．
一、选择题
1．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．如图，在中，于，则的长是（ ）
A．10 B． C． D．
3．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（ ）
A．13 B． C．15 D．10
4．如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．41 C．25 D．16
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（ ）
A．144 B．49 C．64 D．25
6．如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端离地面的垂直距离为4m，则梯子的底端离墙的距离是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．m
7．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．16
8．如图，是斜边上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形．
10．如图，在中，，于点D，，，则BC的长为 ．
11．如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移 米．
12．如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
13．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连结AG，FG．当时，线段AG的长为 ．
14．如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ．
三、解答题
15．如图，等腰三角形 中 ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
16．如图，在四边形中，，是边上一点，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
17． 如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的的长度各是多少？
18．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后后，测得米，米，米，米.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分土地的面积.
19．在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）求证：；
（2）求原来的路线的长；
20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据勾股定理得：a2+b2=c2，
∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200，
∴c2=100，∴c=10.
故答案为：C.
【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6；
∴AB==10
∴CD==
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理，可得AB的值；根据三角形面积相等的原则，列代数式，可直接求出CD的值.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长，
由图可知：，，
为最短路径为：，
则蚂蚁爬的最短路线长为13，
故答案为：A．
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出最短路径即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理得出：
，
，
∴阴影部分的面积是
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出 即可得出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：直角三角形的另一个直角边==12，
∴ 小正方形的边长=12-5=7，
∴ 中间小正方形的面积=72=49.
故答案为：49.
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一个直角边推出小正方形的边长，即可求得小正方形的面积.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：梯子的底端离墙的距离为．
故答案为：A.
【分析】本题考查勾股定理实际应用．根据勾股定理的变形可得，代入数据可求求出答案．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为13，
∴，
在中，，
根据勾股定理得：，
根据勾股定理逆定理得，
∴．
故答案为：C
【分析】由正方形面积求得，利用勾股定理的逆定理证明，然后正方形的面积减去三角形的面积，求解即可．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB，如图，
∵ Rt△ABC中AC=BC=1，
∴ AB=，
∴ S△ABC=AC·AB=AB·CH，
∴ CH=，
∵ PF⊥BC，PE⊥AB，
∴ S△BCD= S△BCP+ S△BDP，即BD·CH=BC·PF+BD·PE，
∴ PE+PF=.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理得AB的长，再根据等面积法求得CH的长，根据S△BCD= S△BCP+ S△BDP利用三角形的面积公式，即可求得.
9．【答案】直角
【解析】【解答】解：三角形的三边之比为，设三角形三边分别是3x、4x、5x。
，
此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用。可以根据三边比假设出三边的长度，然后列示计算即可得出该三角形是直角三角形。
10．【答案】5
【解析】【解答】解：设BC为x，则CD为x-1，
∵，
∴
解得：
故答案为：5.
【分析】设BC为x，则CD为x-1，进而根据勾股定理列出方程：解此方程即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解；在直角中，已知， ，则，
，
在直角中，，且为斜边，
，
梯足向外移动了．
故答案为：．
【分析】
在直角三角形中，根据勾股定理求出长，即可求除长，然后在直角三角形中，利用勾股定理求得的长度，然后利用线段的和差得到的长解题．
12．【答案】15
【解析】【解答】解：如图，设树的高度为x米，因为两只猴子所经过的距离相等，即都为30米，
由勾股定理得：，
解得x=15，
故树的高度为15米，
故填：15.
【分析】 如图，两只猴子所经过的距离相等，即BD+AD=BC+AC=10+20=30，再根据勾股定理即可求出树的高度.
13．【答案】
【解析】【解答】解：连接DF、AF、EF，如图，
在中，
∴
∵点F，G分别是BC，DE的中点，
∴
∴
∵
∴
∴为直角三角形，且
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】连接DF、AF、EF，利用"ASA"证明则 进而求出AE的长度，再利用勾股定理求出DE的长度，进而即可求解.
14．【答案】
【解析】【解答】解：在AB上取一点F'，使BF'＝BF，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBF＝∠EBF'，
又∵BE＝BE，
∴△EBF≌△EBF'（SAS），
∴EF＝EF'，
∴CE＋EF＝CE＋EF'≥CH，
∴CE＋EF的最小值为CH的长，
在Rt△ACB中，
∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理，得AB=，
∵S△ABC＝AB CH＝AC×BC，
∴CH=，
故答案为：.
【分析】在AB上取一点F'，使BF'＝BF，过点C作CH⊥AB于点H，先利用“SAS”证出△EBF≌△EBF'，可得EF＝EF'，再结合CE＋EF＝CE＋EF'≥CH，可得CE＋EF的最小值为CH的长，再利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积公式及等积法可得CH=，从而得解.
15．【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC，
则列示为（x+3）2=x2+42
解得x=
∴AD的长为cm。
（2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2
∴ 的面积是cm2。
【解析】【分析】（1）题可以放到直角三角形ACD中，因为AB=AC，所以利用勾股定理列式求解即可；
（2）题根据（1）题的结果计算出AB的长度，然后以AB为底、CD为高即可计算出三角形的面积。
16．【答案】（1）证明：如图.
，
.
，
，
.
在和中，
.
（2）解：，
.
，，
在中，由勾股定理，得，
，
在中，由勾股定理，得.
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得，根据AAS判定 ；
（2）根据勾股定理求得AC，再利用全等三角形的性质得CD=AC， 再根据勾股定理求得AD.
17．【答案】解：设池塘水深x尺，则芦苇高尺．根据题意，可列方程
解方程，得
∴尺
答：池塘水深12尺，芦苇高13尺.
【解析】【分析】设池塘水深x尺，则芦苇高尺，根据题意列出方程，再求解即可.
18．【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：在中，，
由勾股定理得，，解得，
在中，
是直角三角形，
（2）解：图中阴影部分土地的面积（平方米）.
【解析】【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出AC=5，继而由勾股定理逆定理求出ADC=90°；
（2）根据三角形的面积公式求出答案即可。
19．【答案】（1）证明：千米，千米，千米，
，
，
为直角三角形，
；
（2）解：设千米，则千米．
，，
，即，
解得：．
答：原来的路线的长为千米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CDB为直角三角形，即可得证；
（2）设千米，则千米，根据勾股定理，即可求解．
20．【答案】（1）解：根据题意得，，，
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：如下图所示，
：
根据题意得，，，，
，
，
答：滑块向左滑动的距离为．
【解析】【分析】根据Rt中直角边的长度是，的长度是，利用勾股定理求出斜边的长度，绳子的长度就是斜边与直角边的长度之和；
物体升高，则斜边的长度增加，斜边的长度增加为，利用勾股定理求出的长度，用的长度减去的长度，就是滑块向左滑动的距离．
（1）解：根据题意得，，，
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：如下图所示，
：
根据题意得，，，，
，
，
答：滑块向左滑动的距离为．
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