2.3二次根式 课时练习（含解析）2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

2.3二次根式（课时练习） -2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册
一、选择题
1．下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．若有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．估计 的值在（　　）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
5． 已知，则代数式的值是（　　）
A．0 B． C． D．
6．最简二次根式与是能够合并的二次根式，则x的值为（　　）
A．1 B． C． D．0
7．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）
A．－4a－2b B．－2a＋b C．－2b D．4a－2b
8．已知，，，则的值（　　）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定
二、填空题
9．　 　．
10． 的相反数是　 　.
11．若式子 在实数范围内有意义，则x应满足的条件是　 　．
12．若最简二次根式与是同类二次根式，则　 　．
13．把中根号外的a移入根号内，则　 　．
14．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是　 　．
三、解答题
15．计算：
（1）；
（2）．
16． 已知+3.
（1）求的值；
（2）求的平方根
17．如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子.
（1）则原来大正方形的边长为　 　cm；（保留根号）
四个角的小正方形的边长为　 　cm.（保留根号）
（2）求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少 并将结果精确到 0.01.
提示：
18．工人师傅准备从一块面积为36 dm2的正方形工料上裁剪出一块面积为24 dm2的长方形的工件.
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下的长方形的长、宽的比为4∶3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
19．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：；
例如：比较与2的大小．
∵又∵则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是________，的小数部分是________；
（2）比较与的大小．
（3）已知，试用“比差法”比较与的大小．
20．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
（1）求　 　；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：　 　；
（3）利用这一规律计算：
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、正数的算术平方根是它的正的平方根，结果只有一个值；
B、一个正数的两个平方根的平方都等于它本身；
C、算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、同类二次根式可以合并．方法类似合并同类项，不是同类二次根式也不能合并.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数求出x的取值范围即可．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A. =2，故不符合题意；
B. 是最简二次根式；符合题意
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意
故答案为：B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：
=
=
= ，
∵ ，
∴3< <4，
∴1< -2<2，
故答案为：B.
【分析】先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，接着利用乘法分配律进行二次根式的乘法运算得出结果；再确定 的取值范围，从而可得到 -2的取值范围.
5．【答案】C
【解析】【解答】 ，
=
=
=
=
故答案为：C.
【分析】把x的值代入式子，再根据二次根式的混合运算计算即可求解.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是能够合并的二次根式，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据同类最简二次根式的定义，利用同类最简二次根式的被开方数相同建立方程求解。
7．【答案】A
【解析】【解答】根据数轴可得：a<0|b|，
∴a+b<0，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用数轴可得a<0|b|，再求出a+b<0，最后利用二次根式及绝对值的性质化简即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
，
c=2021×2020-2019×2021=2021×（2020-2019）=2021，
∴a-b＜0，b-c=1，
∴（a-b）（b-c）＜0，
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式求出，利用完全平方公式可求出，再求出c=2021，从而得出a-b＜0，b-c=1，从而得解.
9．【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的加法法则计算求解即可。
10．【答案】－7
【解析】【解答】解： 的相反数是：－ － ，
故填：－7.
【分析】利用二次根式的性质和相反数的定义求解.
11．【答案】x≥5．
【解析】【解答】解：若式子 在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】2
【解析】【解答】解：
∵最简二次根式与是同类二次根式 ，
∴m+1=3
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】先把化简，再根据同类二次根式的概念列式计算即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵二次根式要有意义，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由二次根式有意义的条件，可得，即得，然后利用二次根式的性质化简即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵长方形的长是，宽是，
∴长方形的面积为：，
∵圆的面积等于长方形的面积，
∴圆的面积为，
∴圆的半径为．
故答案为：．
【分析】先计算出长方形的面积，再由圆的面积等于长方形的面积，可得圆的面积，然后根据圆的面积公式求出半径即可．
15．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=7 4+2
=5
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【解答】解：（1）由题意知：a-25≥0且25-a≥0，
解得a=25，
∴b-24=0，
∴b=24.
（2）当a=25，b=24时， =252-242=49，
∴的平方根为 .
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出a值，继而得出b值；
（2）先求出的值，再求其平方根即可.
17．【答案】（1）；
（2）解：2.83cm，11.31cm3
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为 ，
大正方形的边长为
小正方形的面积为 ，
小正方形的边长为
（2）长方体盒子的底面边长=
体积=
【分析】（1）根据正方形的面积与边长的关系，利用算术平方根的定义即可求出大正方形和小正方形的边长；
（2）利用长方体的体积公式即可求解.
18．【答案】（1）解：正方形工料的边长为=6 dm
（2）解：设长方形的长为4a dm，则宽为3a dm.
则4a·3a=24，
解得a=，
所以长为4a≈5.656<6，宽为3a≈4.242<6.满足要求.
【解析】【分析】（1）正方形的面积=边长的平方，因此正方形的边长就是面积的算术平方根；
（2）根据长、宽的比为4∶3设末知数，利用面积为24建立方程，再算出具体的长与宽，与正方形的边长比较即可判定。
19．【答案】（1）5，
（2）解：，
；
（3）解：
，
，
．
【解析】【解答】解：（1），
的整数部分是5；小数部分为，
故答案为：5；；
【分析】
（1）首先估算出，由此即可解答；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可解答；
（3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可解答．
（1）解：，
的整数部分是5；小数部分为，
故答案为：5；；
（2）解：，
；
（3）解：
，
，
．
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）根据变形过程可得，=-；
（2）式子的变形规律为；
（3）原式=[（）+（）+···+]（）
=（-1+-+-+）（）
=（-1）（）
=2020-1
=2019.
【分析】（1）根据题意，式子变形即可；
（2）根据式子的变化规律求出答案即可；
（3）根据题意，利用式子的变形规律将式子合并化简，利用平方差公式求出答案即可。