1.3勾股定理的应用 课时练习（含解析）2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.3勾股定理的应用（课时练习） -2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册
一、选择题
1．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）
A．m B．4m C．m D．
2．数学小组开展关于笔记本电脑张角大小的实践活动：如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的垂直高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm；当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的垂直高度DE为20cm，则底部心处与E处之间的距离CE为（　　）
A．9cm B．18cm C．21cm D．24cm
3．如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（　　）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3）
A．17 B． C． D．
4．如图，在离水面点高度为8m的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17m，此人以1m/的速度收绳，7后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（　　）
（假设绳子是直的）
A．9m B．8m C．7m D．6m
5．如图，四边形ABCD是长方形地面，长，宽，中间刚好有一堵墙，墙高，一只蜗牛从点爬到点，它必须部过中间那堵墙，则它至少要走（　　）
A．10m B．12m C．13m D．14m
6．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　）
A．121 B．144 C．169 D．196
7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草.他们少走的路长为（　　）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
二、填空题
9．如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行　 　米．
10．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是　 　.
11．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 　 　元．
12．如图，将长为的弹性绳放置在直线上，固定端点和，然后把中点竖直向上拉升至点，则拉长后弹性绳的长为　 　 ．
13．下图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走捷径AC，于是在草坪内走出了一条不该有的路AC，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了　 　米长的草坪，只为少走　 　米的路.
14．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度一样，滑梯的高度，.则滑道的长度为　 　.
三、解答题
15．请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？
16．如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
17． 国庆期间，深圳的无人机表演吸引了很多市民前往观看，如图，一架无人悬停在空中A点，A点到地面的高度. 米，A点到地面C点(B，C两点处于同一水平面) 的距离 米.
（1） 求出BC的长度；
（2） 若无人机竖直下降到达D点(D点在线段AB上)，此时无人机到地面C点的距离CD与下降的距离AD 相同，求无人机下降的距离AD.
18．湖的两岸有，两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与垂直的方向上取点，测得米，米．
（1）求湖的两岸，之间的距离；
（2）求点到直线的距离．
19．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风的影响）．如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C两地相距，A，B两地相距．
（1）农场A是否会受到台风的影响？请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为，则该农场受台风影响的持续时间有多长？
20．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力。如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域。
（1）海港受台风影响吗 为什么
（2）若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，大树高，小树高为，
过B点作于点E，连接，
则四边形是矩形，
，
，
在中，，
即小鸟至少飞行，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理的应用．过B点作于点E，连接，根据四边形是矩形，利用矩形的性质可得：，利用线段的运算可求出AE，利用勾股定理可得：，代入数据进行计算可求出的长．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：
依题意，
在 中，
在 中，
故答案为：A.
【分析】勾股定理解得出 勾股定理解 即可求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：将半圆面展开可得：
米，米，
在中，米，
即滑行的最短距离为米，
故选∶B．
【分析】本题主要考查了几何体的结构特征，以及勾股定理的应用，将半圆展开，将滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，将半圆展开为矩形，展开后、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，在中，结合米，代入数据，即可得出的距离，得到答案．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即船向岸边移动了，
故答案为：A．
【分析】本题考查勾股定理的运用．先利用勾股定理可求出，再利用线段的运算可求出CD，再利用勾股定理可求出，利用线段的运算代入数据可求出BD的长度．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，
将图展开，图形长度增加2m，
原图长度增加2m，则AB＝10＋2＝12（m），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，
∴AC＝
=
＝13（m），
∴蜗牛从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故答案为：C．
【分析】连接AC，先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AC的长即可得到蜗牛从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
6．【答案】C
【解析】【解答】设直角三角形较长直角边长为a，较短边长为b，则a=12，
∵S小正方形=（a-b）2，
∴（a-b）2=49，
解得：b=5，
∴S大正方形=a2+b2=122+52=169，
故答案为：C.
【分析】设直角三角形较长直角边长为a，较短边长为b，则a=12，再利用小正方形的面积求出b，最后求出大正方形的面积即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解："路"的长度为：
少走的路长为：
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出"路"的长度，进而即可求解.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：C．
【分析】先构造直角三角形，再根据勾股定理列方程求解．
9．【答案】13
【解析】【解答】解：过C作CE//BC交AB于点E，连接，如图所示：
由题意得，米，CD=6米，四边形BDCE为矩形，
∴BE=CD=6米，CE=BD=12米.
∴米，
∴由勾股定理得，米，
故答案为：13．
【分析】过C作CE//BC交AB于点E，连接，由题意得米，米，四边形BDCE为矩形，于是可得AE的长，由勾股定理计算得AC的长，即小鸟至少要飞行的距离．
10．【答案】6
【解析】【解答】设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∵，
∴（a+b）2+（a2+b2）+（a-b）2=18，
∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2-2ab+b2=18，
∴3（a2+b2）=18，
解得：a2+b2=6，
∴，
故答案为：6.
【分析】设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，结合可得3（a2+b2）=18，再求出a2+b2=6，可得，从而得解.
11．【答案】1020
【解析】【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，
则长为：（米），宽为5米，
地毯的长度为（米），地毯的面积为（平方米），
购买这种地毯至少需要（元）．
故答案为：1020．
【分析】本题考查勾股定理的运用．根据图形可得：先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，利用勾股定理先求出地毯的长度，进而求出地毯的面积，据此可求出购买地毯的钱数．
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵占C是AB的中点，
∴AC=CB=6cm，
在中，（cm）
∴拉长后弹性绳的长为 ：AD+BD=2AD=15cm。
故答案为：15cm。
【分析】根据勾股定理计算即可。
13．【答案】50；20
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC==50 m；
∴ 少走的路为40+30-50=20 m.
故答案为：50；20.
【分析】根据勾股定理即可求得踩坏的草坪长度，再用斜边减去直角边的和即可求得少走的路.
14．【答案】8.5
【解析】【解答】解：设AC=x，即AE=AC=x，AB=AE-BE=x-1，
根据图形可得，ABC=90°，在直角三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，
（x-1）2+42=x2，
解得，x=8.5。
故答案为：8.5.
【分析】根据题意，由勾股定理列出方程，求出答案即可。
15．【答案】解：由题意可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
解得，
即折断处离地面（即）的高度是4尺．
【解析】【分析】先设，再求出， 在Rt△AOB中，利用勾股定理可得，最后计算求解即可。
16．【答案】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等.
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE +AD =DE ，BE +BC =EC ，
∴AE +AD =BE +BC ，
设AE=x，则BE=AB AE=(25 x)，
∵DA=15km，CB=10km，
∴x +15 =(25 x) +10 ，
解得：x=10，
∴AE=10km，
∴收购站E应建在离A点10km处.
【解析】【分析】根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=10km；
17．【答案】（1）解：由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用．
（1）在中，利用勾股定理可得：，再代入数据进行计算可求出BC.
（2）设，则，，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出答案.
18．【答案】（1）解：在，（米），
两棵景观树之间的距离为米；
（2）解：过点作于点，
，，
（米），点到直线的距离为米．
【解析】【分析】（1）由题意可知△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可得出答案；
（2）由 题意可知，点B到直线AC的距离就是Rt△ABC斜边上的高.根据三角形的面积公式即可得出答案.
19．【答案】（1）解：受台风影响．
理由：如图1，过点A作，垂足为D．
图1
因为在中，，，，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，所以农场会受到台风的影响．
（2）解：如图2，假设农场在EF段处受台风影响，
图2
所以，．
由勾股定理，可求得
．
因为台风的速度是，
所以受台风影响的时间为．
答：该农场受台风影响的持续时间为．
【解析】【分析】（1）过点A作，垂足为D，先根据题意即可计算出BC，进而运用三角形的面积即可求解；
（2）先假设农场在EF段处受台风影响，进而根据勾股定理求出EF，从而结合题意进行运算即可求解。
20．【答案】（1）解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于，
因为，，，
所以．
所以是直角三角形．
所以，
所以，
所以，
因为以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
所以海港受到台风影响。
（2）解：当，时，正好影响海港，
因为，
所以，
因为台风中心移动的速度为，
所以（小时）
即台风影响海港持续的时间为7小时。
【解析】【分析】（1）由题意，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出，进而得出海港受到台风影响；
（2）利用勾股定理得出，，根据时间=路程÷速度，可求出台风影响该海港持续的时间．