1.2 一定是直接三角形吗 课时练习（含解析）2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.2 一定是直接三角形吗（课时练习） -2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册
一、选择题
1．已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
2．如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（　　）
A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米
3．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若 是 的高，则 的长为（　　）
A． B． C． D．2
4．如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若 ，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．3
5．如图，在 的正方形网格中，以 为边画直角 ，使点 在格点上，满足这样条件的点 共（　　）个．
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，在四边形 ， ， ， ， ，则四边形 的面积是（　　）．
A． B． C． D．无法确定
7．如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（　　）平方米．
A．96 B．204 C．196 D．304
8．如图，由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1，图中标有线段 ， ， ， ，其中能构成一个直角三角形三边的是（　　）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
二、填空题
9． 已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为　 　．
10．已知，那么以a、b、c为边长的三角形为　 　三角形．
11．如图，在四边形中，E为的中点，于点E，，，，，则四边形的面积为　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2， 则四边形ABCD的面积是　 　．
13．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为　 　.
14．如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，AC为一条对角线，若∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为　 　．
三、解答题
15．如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积．
16．如图，有一张四边形纸片，°．经测得，，，．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
17． 如图，△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求△ABC的面积，
18．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
19．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若CD＝12，AD＝16，BC＝15．
（1）求AC，BD的长；
（2）判断△ABC的形状并说明理由．
20．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=2，BC＝CD＝1，．
（1）求AC的长；
（2）四边形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
2．【答案】A
【解析】【解答】如图，连接AC．
由勾股定理可知
AC= = =5，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2
∴△ABC是直角三角形
故所求面积=△ABC的面积-△ACD的面积= ×5×12- ×3×4=24（m2）．
故答案为：A
【分析】如图，连接AC．首先根据勾股定理算出AC的长，由AC2+BC2=52+122=132=AB2根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由所求面积=△ABC的面积-△ACD的面积即可算出答案。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵
∴△ABC是直角三角形
又∵ 是 的高
∴ ，
，解得：
故答案为：D.
【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB2，AC2，BC2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状，从而利用三角形面积求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解： 阴影部分分别是以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，
，
又 为直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：，进而可将阴影部分的面积求出。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．
故答案为：D．
【分析】在5×5的正方形网格中，分以AB为直角边和以AB为斜边画直角△ABC，即可得到点C的个数．
6．【答案】B
【解析】【解答】连接BD，
∵∠A=90°，AD=AB=4，
∴BD= =4 ，
∵CD=2，BC=6，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠CDB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×4×4+ ×4 ×2=8+4 .
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据勾股定理算出BD的长，再根据勾股定理的逆定理判断出∠CDB=90°，最后根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD由直角三角形的面积公式即可算出答案。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：连接AC，
则在Rt△ADC中，
AC2=CD2+AD2=122+92=225，
∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，
AC2+BC2=152+362=1521，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴S△ABC-S△ACD= AC BC- AD CD= ×15×20- ×12×9=150-54=96（平方米），
故答案为：A．
【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得AC的长度；根据计算，AC2+BC2=AB2，所以三角形ACB为直角三角形，所以这块地的面积=三角形ABC的面积减去三角形ACD的面积。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵由小正方形组成的网格图，每个小正方形的边长均为1
∴ ，
，
，
，
A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理求出AB、CD、EF、GH，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
9．【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴此三角形是直角三角形
∴此三角形是直角三角形的面积为：
故答案为：.
【分析】由于题目给了三角形三边的长，所以考虑勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，进一步求得它的面积.
10．【答案】直角
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
解得，，．
可知，
所以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于a、b、c的方程组，即可求出a，b，c的值，再根据勾股定理逆定理判断．
11．【答案】
【解析】【解答】解：连接，
为的中点，，
∴DE是AB的垂直平分线，，
∵，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，
四边形的面积
，
故答案为：.
【分析】连接BD，由题意可得DE是AB的垂直平分线，∠DEB=90°，根据AB的值可得AE=BE=4，利用勾股定理可得BD，根据勾股定理逆定理知△DBC为直角三角形，然后根据SABCD=S△DAB+S△DBC进行计算.
12．【答案】
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
在 中， ， ， ，则 ，
∴ 是直角三角形，
．
故答案是： ．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理计算得到AC的长度，继而在三角形ACD中，根据勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，求出四边形的面积即可。
13．【答案】2
【解析】【解答】解：连接AD、CD，如图所示：
由勾股定理可得，
， ， ，
∵BE=BC=5，∴AB=DE＝BE＝BC ， ，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
同理可得：△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°，∴点A、D、C三点共线，
∴ ，
在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB(SSS)，
∴∠BAC＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADF＝90°，∴∠BAD+∠ADF＝90°，
∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∵DG⊥BC，∴DF＝DG＝2.
故答案为：2.
【分析】连接AD、CD，由勾股定理得： ， ， ，得出AB＝DE＝BC， ，由此可得△ABD为直角三角形，同理可得△BCD为直角三角用形，继而得出A、D、C三点共线.再证明△ABC≌△DEB，得出∠BAC＝∠EDB，得出DF⊥AB，BD平分∠ABC，再由角平分线的性得出DF＝DG＝2即可的解.
14．【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= =2 ，
∵CD=1，AD=3，AC=2 ，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积：
S=S△ABC+S△ACD
= AB×BC+ AC×CD
= ×2×2+ ×1×2
=2+
故答案为2+
【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD=90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
15．【答案】解：如图，连接，∵，，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴
∴，
∴四边形面积为：
．
答：这块空地的面积是．
【解析】【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证，再根据即可得出答案．
16．【答案】（1）解：连结．
在中，°，，，
．
即、两点之间的距离为
（2）解：，
∴△ACD是直角三角形且，
四边形纸片的面积
（7分）
．
【解析】【分析】（1）连结，先根据勾股定理求出AC，进而即可求解；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到△ACD是直角三角形且， 进而根据“四边形纸片的面积”即可求解。
17．【答案】（1）解： AB=10，BD=6，AD=8，
∠ADB=90°，
AD⊥BC，
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定进而得到∠ADB=90°，从而求解；
（2）先利用勾股定理求得CD的长，再利用三角形面积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：连接，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：四边形的面积的面积的面积
．
【解析】【分析】（1）连接，利用勾股定理可求，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）由三角形的面积公式即可得出结果．
（1）解：连接，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：四边形的面积的面积的面积
．
19．【答案】（1）解：在Rt△ACD中，∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵CD=12，AD=16，
∴，
∴AC=20．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，CD=12，BC=15，
∴，
∴BD=9；
（2）解：△ABC是直角三角形．
理由：∵AD=16，BD=9，
∴，
∵AC=20，BC=15，
∴，
∴，
所以△ABC是直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可得到AC=20，再根据勾股定理即可求解；
（2）先根据题意得到，再结合题意运用勾股定理的逆定理即可求解。
20．【答案】（1）解：在Rt△ABC中， ∠B＝90°，AB=2，BC＝1，
；
（2）解：在△ACD中，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°
∴.
【解析】【分析】（1）∠B＝90°，根据勾股定理可计算出AC；
（2）AC、CD、AD都已经知道长度，用勾股定理逆定理可判断出∠ACD是直角，再根据直角三角形的面积公式计算出△ABC和△ACD的面积，再计算出它们的和即可.