1.1探索勾股定理 课时练习（含解析）2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.1探索勾股定理（课时练习） -2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册
一、选择题
1．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6.M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为(　　).
A． B． C．6 D．11
2．如图，在△ACB中，∠C=90°， AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，是斜边上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是两个全等的直角三角形拼成的图形，且点，，在同一直线上，连结．设，，则的面积可以表示为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，由六个边长为的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
7．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点B点A重合，折痕为DE，则BD的长为（　　）
A．7 B． C．6 D．
8．如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（　　）
A． B． C．4 D．
二、填空题
9．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为　 　.
10．如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则　 　．
11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则CD的长是 　 　．
12．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝5米，点P到AD的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是　 　米．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　 　.
14．如图所示，中，，，，是的角平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是 　 　．
三、解答题
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.求AE的长.
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.求BE的长.
17．如图所示，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）求的长；
（2）求的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE ，BF⊥CE于点F．
（1）求证：△AEC≌△CFB；
（2）若AE=5，EF=7，求AB的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
20．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，点D是AC边的中点，延长BD至点E，使得DE=BD，连接CE.
（1）求证：△ABD≌△CED.
（2）当时，求的周长.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接AM，
∵AB＝AC，BC＝6，点M为BC中点，
∴AM⊥CM，BM＝CM＝3，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM＝＝＝4，
又∵MN⊥AC，
∴S△AMC＝AC×MN＝AM×CM，
∴MN＝，
故答案为：A.
【分析】连接AM，先利用勾股定理求出AM的长，再利用S△AMC＝AC×MN＝AM×CM，求出MN＝即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接BN， 因为MN是AB的垂直平分线，所以AN=BN，设NC为x， 则AN=BN=8-x，又因为∠C＝90°，则BC2+NC2=BN2， 即42+x2=(8-x)2， 解得x=3，NC=3.
故答案为：B.
【分析】先根据垂直平分线性质可知AN=BN， 再根据勾股定理，用方程得出NC的长度.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，过C作于H，
∵D是斜边上一点，且，
∴，点H是的中点
∴，
∴，
∵
则
∴．
故答案为：A．
【分析】过C作于H，先由勾股定算出AB的长，根据等腰三角形的三线合一的点H是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CH，然后根据三角形的面积公式及S△BCD=S△BDP+S△BCP，建立方程，求解即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积，
故选：．
【分析】根据勾股定理求出的长，由全等得出，即可得到，然后求出的面积即可．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
即，
解得：
故中边上的高是．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求出，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积，再利用三角形等面积法求出三角形的高即可．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，如图，
∴
∴
∴AD+DE的最小值为AE，
∵
∴
∵
∴
∴AD+DE的最小值为9.6，
故答案为：B.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，则进而得到，即得到AD+DE的最小值为AE，进而即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD=BD，
设BD=x，则CD=BC-BD=8-x，
在Rt△ACD中，AC=6，
∴AC2+CD2=AD2，
即62+（8-x）2=x2，
解得：x=
∴BD=．
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，在Rt△ACD中，根据勾股定理可列关于x的方程，解方程即可求解．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DG：GE=1：3，GE=GF，
∴DE=4DG，GF=3DG，
∵∠D=90°，
∴DF=DG，
∴EF=DG=，
∴DG=，
∴DF=4，
∵S△EGF=EG·DF=EG·QM+FG·QN=EG（QM+QN），
∴QM+QN=DF=4.
故答案为：C.
【分析】先求出DF的长，再利用三角形的面积得出S△EGF=EG·DF=EG（QM+QN），从而得出QM+QN=DF，即可得出答案.
9．【答案】
【解析】【解答】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′= ，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=
∴BD=CD′= ，
故答案为 .
【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，用边角边可证得△BAD≌△CAD′，于是可得BD=CD′.
∠DAD′=90°，用由勾股定理可求得DD′和CD′的值，于是同样可用勾股定理可求得CD′的值，再根据BD=CD′可求解.
10．【答案】6
【解析】【解答】解：如图，过点作，使，连接、
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
，，
．
，
．
故答案为：6．
【分析】如图，过点作，使，连接、，根据勾股定理可求出的长度，继而可以证明和全等，可知CE=BD，在△CDE中，可知∠EDC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度即BD的长度。
11．【答案】
【解析】【解答】解：延长BD，与AC交于点E，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=90°，
∴△BCD≌△ECD（ASA），
∴BC=EC=3，BD=DE，
∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE=AC-EC=AC-BC=5-3=2，
∴BD=1，
在Rt△BDC中，BD=1，BC=3，
由勾股定理得CD=，
故答案为：
【分析】延长BD，与AC交于点E，先根据角平分线的性质得到∠ACD=∠BCD，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△BCD≌△ECD（ASA）即可得到BC=EC=3，BD=DE，再结合题意运用勾股定理即可求解。
12．【答案】
【解析】【解答】解：平面展开图如下图：过P作交FA于点G，连接BP，
由题意得AG=3，PA=PB=5，则BG=8，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：.
故答案为： .
【分析】由题意作出平面展开图，过P作交FA于点G，连接BP，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，即可得解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点E，在AC上截取AF=AH，连接EF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE=∠HAE，
在△FAE和△HAE中
∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴FE=EH，
∴CE+EF=CE+EH=CH，
∵垂线段最短，
∴此时CE+EF的最小值就是CH的长；
在Rt△ABC中，
∵，
∴6×8=10OH
解之：.
故答案为：
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点E，在AC上截取AF=AH，连接EF，利用角平分线的定义可证得∠FAE=∠HAE，利用SAS证明△FAE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得到FE=EH，由此可推出CE+EF=CH，利用垂线段最短可知此时CE+EF的最小值就是CH的长；再利用勾股定理求出AB的长；然后利用直角三角形的两个面积公式求出CH的长.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点，
在中，
∵，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，这时有最小值，即的长度，
∵，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，根据勾股定理可得AC，由角平分线的性质可得PQ=PM，则PC+PQ的最小值为CM，根据等面积法可得CM，据此解答.
15．【答案】解：连接BE，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴AC2＋BC2＝AB2.
即82＋BC2＝102，
解得：BC＝6.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
设AE＝BE＝x，则EC＝8 x，
∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，
∴（8 x）2＋62＝x2，
解得：x＝ ，
∴AE＝ .
【解析】【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，在 Rt△BCE中由勾股定理可得方程，求解后即可得出答案.
16．【答案】解：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴
∵ AD平分∠ CAB，
∴
又∵AD=AD
∴ △CAD≌△EAD（AAS）
∴ AE=AC=1
在Rt△ACB中，由勾股定理得
∴
【解析】【分析】首先利用AAS判断出△CAD≌△EAD，根据全等三角形对应边相等得AE=AC=1，再利用勾股定理算出AB，最后根据BE=AB-AE算出答案.
17．【答案】（1）解：因为在中，，，，
所以.
因为垂直平分，
所以.
（2）解：因为垂直平分，
所以.
设，则.
故.
解得.
所以.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AB=10，再根据线段垂直平分线性质即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACE+∠BCF=90°，
∵ AE⊥CE，
∴ ∠E=90°，
∴ ∠EAC+∠ACE=90°，
∴ ∠BCF=∠EAC，
∵ AC=BC，
∴ △AEC≌△CFB（AAS）；
（2）解：∵ △AEC≌△CFB，
∴ AE=CF，EC=FB，AC=CB
∴ CF=5，
∴ EC=EF+FC=7+5=12，
∴ FB=12，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，AC=13，
∴ CB=13，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=.
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BCF=∠EAC，再依据AAS即可判定；
（2）根据全等三角形的性质可得AE=CF，EC=FB，AC=CB，再根据勾股定理可得AC=CB=13，再根据勾股定理即可求得.
19．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝∠EDC＝90°，
∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠DFC＝90°，
∴∠E＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠EFA，
∴∠EFA＝∠E，
∴AE＝AF，
∴△AEF为等腰三角形
（2）解：过点A作AG⊥ED于点G，AH⊥BC于H，如图所示：
∵AE＝AF，AG⊥ED，EF＝12，
∴FG＝GE＝EF＝6，
∵F为AC中点，
∴AF＝FC＝AC＝AB＝，
在△AFG与△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴DF＝FG＝6，
∴AH＝2DF＝12，
∴BH＝＝5，
∴BC＝2BH＝10，
【解析】【分析】（1）由AB＝AC可得∠B＝∠C，根据垂直的定义及余角的性质可推出∠E＝∠DFC，由对顶角相等可得∠DFC＝∠EFA，利用三角形内角和可得∠EFA＝∠E，根据等腰三角形判定定理即证；
（2）过点A作AG⊥ED于点G，AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质可得FG＝GE＝EF＝6，再证明△AFG≌△CFD（AAS），可得DF＝FG＝6，继而得出AH=2DF＝12，利用勾股定理求出BH的长 ，根据BC＝2BH即可求解.
20．【答案】（1）解∵D是AC中点，
∴AD=CD，
∵，
∵DE=BD，
∴；
（2）解∵，
∴AB=CE=BC=5，
∵AB=BC，点D时AC 中点，
∴，
∴在Rt△BDC 中，，
∴BE=BD+DE=4+4=8，
∴△BCE的周长为：BE+BC+CE=8+5+5=18.
【解析】【分析】（1）利用中点和对顶角的性质，根据边角边即可求证两个三角形全等；
（2）结合第（1）问的结果可求得CE的长度，根据等腰三角形三线合一的性质求得BD⊥AC，根据勾股定理即可求出BD的长度，从而求得BE长度，进而求出△BCE的周长.