1.1.4 两条直线的平行与垂直 课件（15页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(共15张PPT)
第一章 直线与圆
1.1.4 两条直线的平行与垂直
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.
2.能根据已知条件判断两条直线的平行与垂直.
3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.
情境：城市上空的“五线谱”
当我们抬头望向城市上空，总能看到类似的景象 —— 不同功能的电线沿着街道延伸，形成整齐的“空中走廊”. 观察画面中这输电线路，它们从这头延伸到那头，无论距离多远，这些电线之间的间隔始终保持一致吗？会出现交叉缠绕的情况吗？各条电线之间有什么样的关系？
思考：工程师在安装时是如何让它们保持严格平行的？
各电线之间是互相平行的关系
数学中，我们把这种在同一平面内永不相交的两条直线称为平行线.
就像工程师通过精确计算确保电线平行一样，数学家通过严谨的定义和定理来描述这种平行关系. 接下来，我们将借助坐标系，用代数方法研究两条直线的平行关系.
问题2：，
问题1：，
，如何判定 .
两条直线平行的判定
对于倾斜角不为 的直线，由正切函数的性质，可知其倾斜角和斜率是一一对应的，即 k = tan α.
于是，可以得到如下结论：对于两条不重合的直线 l1：y = k1x + b1 和
l2：y = k2x + b2（其中b1 ≠ b2），
注意：若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为 的直线，从而它们互相平行或重合.
l1∥l2 k1 = k2 .
例1：；
方法一：利用斜率判断
对于l1：3x + 2y - 6 = 0 y = x + 3，斜率k1 = ，截距 b1 = 3；
对于l2：6x + 4y - 10 = 0 y = x + ，斜率k2 = ，截距 b2 = ；
判断平行条件两条直线平行的充要条件是斜率相等且截距不相等
（若截距相等则为重合直线），这里 k1 = k2，且 b1 ≠ b2，因此 l1∥l2 .
例1：；
方法二：利用一般式系数比例判断
对于直线的一般式 A1x + B1y + C1 = 0 和 A2x + B2y + C2 = 0，平行的充要条件是： = ≠ ；
将直线l1、l2系数代入代入可得： = ≠ ，因此 l1∥l2 .
练一练1：快速判断下列各组直线是否平行.
（1）； ；
（2）； .
（1）平行；
（2）重合.
思考：类比直线平行的判断方式，我们如何判断直线垂直？
情境：我们每天都会遇到的十字路口. 观察下图中东西向和南北向的两条主干道，它们在之间有什么样的关系？
垂直关系
问题3：.
. 如何判定.
问题4：，

两条直线垂直的判定
1. 若所给的方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2 A1A2+B1B2 = 0判断；
2. 若所给的方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2 k1·k2 = -1判断；
3. 若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．
例2：判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1) l1：y = 3x + 2； l2：y = x + 1； (2) l1：x + 2y - 1 = 0； l2：2x - y = 0；
(3) l1：x + 2 = 0； l2：2y = 1.
解：(1) 设两条直线 l1，l2 的斜率分别为k1，k2，则k1 = 3，k2 = ，
∵ k1k2 = 3× = -1，∴ l1⊥l2；
(2) 设两条直线 l1，l2 的斜率分别为k1，k2，则k1 = ，k2 = 2，
∵k1k2 = ×2 = -1，∴ l1⊥l2.
(3) 由两个方程，可知l1∥y轴，l2∥x轴，∴ l1⊥l2.
练一练2：若直线 l1，l2 的斜率是方程 x2 - 3x - 1 = 0 的两根，则 l1 与 l2 的位置关系是_________.
分析：由一元二次方程根与系数的关系，知 k1k2 = –1，所以 l1⊥ l2 .
l1 ⊥ l2
练一练3：已知直线 l1：mx + 3y = 2 - m，l2：x + (m + 2)y = 1. 若 l1⊥l2，则实数m = .
分析：∵ l1⊥l2，∴m×1 + 3(m + 2) = 0，解得 m =
根据今天所学，回答下列问题：
1.怎样根据直线方程的特征判断两条直线的平行或垂直关系呢？
2.判断两直线平行或垂直的方法有哪些？