4.1 数学建模：从生活到科学的智慧钥匙 课件（17页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(共17张PPT)
第4章 数学建模活动（三）
4.1 数学建模：从生活到科学的智慧钥匙
1.能将实际问题转化为可分析的数学问题，掌握数学建模的初始问题转化方法；
2.学会运用几何公式、方程思想、逻辑推理等数学工具与方法，构建数学模型，并对模型进行推导与分析，得出结论；
3.能够将数学模型的结论与实际场景结合，解释结论的实际意义，掌握数学模型的实际应用方法；
4.了解不同领域数学模型的构建逻辑，掌握从问题背景分析、模型建立、求解到应用的完整建模流程，形成系统的数学建模思维.
情境1：包汤圆中的数学智慧
问题背景：在包汤圆时，面量固定而馅量增加，如何调整汤圆大小以包下更多馅料？这是一个生活中常见的问题. 通过数学建模，我们发现皮厚度一致且形状相同是关键假设，这使得我们可以利用几何公式进行分析.
模型分析：通过几何面积和体积的关系推导，我们发现分成多个小皮包成的汤圆总体积小于一个大皮包成的汤圆体积；原因在于表面积增加导致体积相对减小. 这一结论揭示了数学在日常生活中的巧妙应用.
结论与应用：在面量不变、馅量增加时，少包几个（汤圆大一些）能包下更多馅料. （表面积增加导致体积相对减小，即相同体积下，表面积更大）；
该原理在生活中的应用：
情境1：包汤圆中的数学智慧
空调的散热片
原理：相同重量的金属材料，分割成更多小部件后总表面积大幅增加，能更高效地与空气进行热交换；
食物烹饪与加热
经验：炖煮大块肉类时，若将其切成小块再煮，相同重量的肉总表面积增加，能更快吸收汤汁的味道，且受热更均匀、煮熟时间更短
情境2：测量电阻的巧妙模型
问题背景：在摩天大楼中测量三根电线电阻是一个难题，直接测量难以实现.数学建模提供了一种巧妙的解决方案.
模型构建：假设三根电线的电阻分别为x、y、z，通过在底层和顶楼进行不同连接组合并测量总电阻，列出三元一次线性方程组.
模型优势：利用方程求解突破了直接测量的限制，通过数学逻辑推理解决了实际工程问题，体现了数学建模的强大功能.
情境2：测量电阻的巧妙模型
实际意义：这一模型不仅解决了测量电阻的难题，还展示了数学建模在工程领域的独特价值，为类似问题提供了新的思路.
数学建模在工程领域的应用：
桥梁抗震稳定性预测模型
水坝水位调控模型
情境3：自由落体运动模型
物理背景：自由落体运动是物理学中的经典问题，描述了在只受重力作用下，物体在空气中自由下落的运动规律. 根据牛顿的运动定律，物体在重力作用下的加速度为重力加速度 g. 设物体下落的时间为 t，初速度为 v0，下落的高度为 h，试着建立自由落体运动的数学模型.
自由落体运动数学模型：h = v0t + gt2 ，v = v0 + gt.
当物体从静止开始下落时，v0 = 0 ，模型可简化为h = gt2，v = gt .
这些公式清晰地描述了物体下落的高度、速度与时间之间的关系.
自由落体运动模型在工程领域的应用
设计高楼大厦的电梯运行轨道
计算导弹的发射轨迹
情境4：供需关系模型
经济概念与背景：供需关系是经济学中的核心概念，描述了市场上商品的供给和需求之间的相互关系. 在市场经济中，商品的价格和数量受到供给和需求的双重影响，了解和掌握供需关系的变化规律，对于企业生产决策、市场预测、政府价格调控等都具有重要意义.
模型构建：通过建立供求曲线来直观地展示供给和需求与价格之间的关系.
供给曲线表示在不同价格水平下，生产者愿意提供的商品数量；
需求曲线表示在不同价格水平下，消费者愿意购买的商品数量.
两条曲线的交点即为市场的均衡点，对应的价格为均衡价格，数量为均衡数量.
结论：当市场价格高于均衡价格时，供给量大于需求量，会出现供过于求的现象，价格有下降的压力；反之，当市场价格低于均衡价格时，需求量大于供给量，会出现供不应求的现象，价格有上升的趋势.
出租车的实时调度
政府进行价格调控
呼吁居民错峰用电
供需关系模型在社会生活中的应用
情境5：捕食者-被捕食者模型
生态问题与研究目的：在生态学中，捕食者和被捕食者之间的数量动态关系是一个重要的研究课题. 了解它们之间的相互作用和数量波动规律，对于维护生态平衡、保护生物多样性具有重要意义.
模型背景：在草原生态系统中，狼和羊的数量变化直接影响着草原的生态结构和功能.
通过该模型可以得出两者数量的周期性波动规律. 这一规律在环境保护和生态平衡调控中具有重要应用，例如预测物种数量变化趋势和制定保护措施.
模型建立：通过建立狼和羊的数量变化方程，来描述它们之间的关系. 假设羊的数量为 x，狼的数量为 y ，在没有捕食者的情况下，羊的数量会按照指数增长；而有狼存在时，羊的数量增长会受到抑制，同时狼的数量会因捕食羊而增加，如下图曲线所示；
Lotka-Volterra方程（捕食者-被捕食者模型）
时间
族群大小
羊
狼
捕食者-被捕食者模型应用：生态保护与生物调控
案例：美国黄石国家公园 “狼 - 麋鹿- 植被” 的生态修复
背景：20 世纪初，黄石公园为保护麋鹿（被捕食者），大量
捕杀狼（捕食者），导致麋鹿数量激增，过度啃食柳树、白杨
等植被，引发河流淤积、鸟类栖息地消失等连锁生态问题。
模型应用：通过洛特卡 - 沃尔泰拉模型模拟发现，狼的消失打破
了 “捕食者 - 被捕食者” 数量平衡 ——麋鹿失去天敌后呈“指
数增长”，而植被（麋鹿的食物）减少又会反向抑制麋鹿数量，但这一过程会导致生态链断裂。
实践措施：1995 年黄石重新引入狼群，模型预测显示 “狼数量控制在 50-100 只、麋鹿数量稳定在 1-1.5 万头” 时，植被可恢复且物种数量波动趋于稳定。
实际效果：引入狼群后，麋鹿数量下降，植被恢复，河狸因柳树增多而回归，鸟类、鱼类数量也随之增长，生态系统重新达到平衡。
案例：我国南方水稻田 “稻飞虱 - 瓢虫 / 青蛙” 的防控
背景：稻飞虱（吸食水稻汁液的害虫，被捕食者）若大量繁殖，
会导致水稻减产甚至绝收；传统化学农药虽能杀虫，但会污染环境、
杀死天敌.
模型应用：通过模型模拟不同天敌密度下稻飞虱的数量变化 —— 例如，当瓢虫与稻飞虱的数量比为 1:200 时，稻飞虱数量可稳定在 “不危害水稻产量” 的阈值以下；若稻飞虱密度超过阈值，模型会提示 “补充释放天敌” 而非 “喷洒农药”.
实践效果：部分水稻产区推广 “天敌保育技术”（如在田埂种植开花植物吸引瓢虫、保护青蛙栖息地），结合模型动态监测，农药使用量减少 30% 以上，且水稻产量稳定。
农业生产：病虫害绿色防控与资源优化
数学建模的广泛应用
回顾前面的数学建模实例，我们可以看到数学建模在生活、工程、经济、生态、医学等领域的广泛应用.
在生活中，它帮助我们合理安排资源和规划行程；在科学领域，它推动理论发展和技术创新.
数学建模的重要贡献
数学建模为各领域科学研究提供了有力的工具和方法. 它不仅帮助我们解决实际问题，还推动了人类社会的发展.
数学建模的广泛应用和重要贡献，充分体现了其在现代社会中的核心价值.
科技发展
随着科技进步和社会复杂性增加，数学建模的应用前景将更加广阔. 在人工智能、大数据、量子计算等新兴领域，数学建模将发挥关键作用，帮助我们理解和解决复杂问题.
跨学科融合
跨学科融合将为数学建模带来新的机遇. 不同学科的知识和方法相互渗透，将产生更多创新的模型和应用成果.
未来展望
我们期待数学建模在未来为人类社会发展做出更大的贡献，拓展人类认识和改造世界的能力. 数学建模将继续在各个领域发挥重要作用，推动社会的进步和发展.
数学建模的未来发展潜力