4.1 数学建模实例——怎么烧开一壶水最省煤气 课件（15页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(共15张PPT)
第4章 数学建模活动 (三)
4.1 数学建模实例：怎样烧开一壶水最省煤气
1. 通过烧开水的生活情境，掌握数学建模的基本流程.
情境：从健康角度而言，喝开水是一种简单且性价比极高的健康习惯. 以前的
许多家庭都以燃气 (天然气、煤气、液化气、沼气等) 为烧水的燃料，节约用气是非常现实的问题，那么怎样烧开一壶水最省燃气呢？
提出问题：
问题1：燃气量和什么因素有关？
问题2：燃气用量与旋钮角度之间是什么关系？
问题3：用什么方法确定燃气用量与旋钮转角之间的函数关系呢？
如何求解最小用气量呢？
问题4：如何建立用函数模型解决实际问题的方案呢？
探究点：怎样烧开一壶水最省燃气
第一步：建立数学模型解决问题的方案
给定燃气灶和一只水壶，因为燃气灶关闭时，燃气旋钮的位置为竖直方向，我们把这个位置定为 0°；燃气开到最大时，旋钮转了90°.
如图，选择燃气灶旋钮的五个位置 18°，36°，54°，72°，90°.
1. 给定同一燃气灶和同一只水壶，选择燃气灶旋钮的五个位置：18°，36°，54°，72°，90°；
2.在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所用的燃气量(和所需的时间)；
3.利用数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函数解析式；
4.利用函数解析式求最小用气量；
5.对结果的合理性作出检验分析.
燃气表开始时的读数/m3 水开时燃气表读数/m3 燃气用量/m3
18° 9.080 9.210 0.130
36° 8.958 9.080 0.122
54° 8.819 8.958 0.139
72° 8.670 8.819 0.149
90° 8.498 8.670 0.172
x 18 36 54 72 90
y 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172
第二步：实验（收集数据）
为减少实验误差，要保证每次烧水时水壶的起始温度是一样的；所以，在做实验之前，先用这只水壶烧开壶水，然后把水倒掉，随即开始做实验，并记录相关数据，得到下表：
用横坐标 x 表示旋钮转角，纵坐标 y 表示燃气用量；
第三步：拟合函数
1. 绘制散点图：
x 18 36 54 72 90
y 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172
x表示旋钮转角，y表示燃气用量
2. 函数模型对比：
将数据与常见函数模型进行拟合；
常见的函数模型的数据拟合
思考：已知三个点即可确定解析式的系数，那么取哪三个点最合适代入解析式呢？
注意：样本点的选取要代表性.
3. 求解函数模型：设函数解析式为 y = ax2 + bx + c
将点 (18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172) 代入函数解析式 y = ax2 + bx + c，得方程组：
解得
则函数解析式为：
即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转39度的位置，这时的用气量大约为
第四步：求最小用气量
求燃气用量最少时的旋钮位置 ，实际上是求函数的最小值点 x0.
思考：通过拟合函数求解的结果一定符合实际情况吗？
检验分析
实际情境
提出问题
数学模型
数学结果
检验
可用结果
合乎实际
不合乎实际
修改
数学建模的过程：
练一练：下面是燃气灶旋钮在不同位置时烧开一壶水所需的时间及燃气用量表.
　 　 　 　 　
　 　 　 　 　
　 　 　 　 　
　 　 　 　 　
　 　 　 　 　
　 　 　 　 　
项目
位置
开始时刻
水开时刻
（1）分析旋钮在不同位置时烧水用时间的规律，确定最省时的旋钮位置；
（2）用燃气烧水，能否做到最省时又最省气？
参考答案：
(1)烧水用时作为旋钮位置的函数是减函数，所以最省时的旋钮位置是90o.
(2)不可能同时做到最省时又最省气.
信息技术应用：利用Excel软件拟合函数教程