1.1 菱形的性质与判定 第3课时 导学案 （含答案） 2025-2026学年北师大版初中数学九年级全一册

1.1 菱形的性质与判定 第3课时
素养目标
1.会用菱形的判定及性质进行有关的论证和计算.
2.能运用平行四边形的性质和判别方法及面积公式进行菱形的有关推理及计算.
3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高平面几何图形的分析能力和观察能力.
◎重点::菱形的性质及判定方法,菱形性质和判定方法的综合应用.
【预习导学】
知识点一：菱形的面积
阅读教材本课时相关内容,回答下列问题.
1.平行四边形的面积=　　　　,菱形的面积=　　　　.
2.我们知道菱形的对角线把菱形分成了四个　　　　,所以菱形的面积等于　　　　.
归纳总结　若菱形的两条对角线分别为a,b,则菱形的面积=　　　　.
知识点二：菱形的判定定理的应用
阅读教材本课时“做一做”,回答下列问题.
在教材“图1-7”中,四边形ABCD是菱形吗
　　　　
1.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,BD=2,则菱形ABCD的面积为 (　　)
A.
B.2
C.2
D.4
2.某菱形的面积为24 cm2,一条对角线长6 cm,则另一条对角线的长为　　　　 cm.
【合作探究】
任务驱动一：如图,菱形ABCD的周长为8,对角线AC和BD相交于点O,AC∶BD=1∶2,求菱形ABCD的面积.
　　　　
任务驱动二：两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A1B1C1)按图1所示的方式放置在同一平面上(∠C=∠C1=90°,∠ABC=∠A1B1C1=60°),斜边重合.若三角板Ⅱ不动,三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上沿着BA方向向右滑动,图2是滑动过程中的一个位置.
(1)在图2中,连接BC1、B1C,求证:△A1BC1≌△AB1C.
(2)三角板 Ⅰ 滑到什么位置(点B1落在AB边的什么位置)时,四边形BCB1C1是菱形 请说明理由.
　　　　
　　　　
　　　　
变式训练　如图,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可).
(1)连接　　　　.
(2)猜想:　　　　=　　　　.
(3)证明猜想.
　　　　
　　　　
　　方法归纳交流　此题还可以连接CF,证△CBF≌△ADE,得CF=AE.
　如图,在△ABC中,AB=2BC,D、E分别为AB、AC的中点,连接DE,将△ADE绕点E顺时针旋转180°,得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状,并说明理由.
　　　　
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.底×高　底×高
2.全等三角形　对角线乘积的一半
归纳总结　ab
知识点二
四边形ABCD是菱形.
对点自测
1.C
2.8
【合作探究】
任务驱动一
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=AC,BO=BD,AC⊥BD,
∴AO∶BO=AC∶BD=1∶2.
∵菱形ABCD的周长为8,∴AB=2.
设AO=k,BO=2k,则AB==k=2,∴k=2,
∴AO=2,BO=4,∴菱形ABCD的面积S=×2×4×4=16.
任务驱动二
解:(1)证明:∵三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A1B1C1)是两块完全相同的三角板,AC=A1C1,AB=A1B1,∠A=∠A1,
∴在题图2中A1B=AB1,
∴△A1BC1≌△AB1C(SAS).
(2)点B1滑到AB边的中点时.理由如下:
如题图2,由已知条件知BC=B1C1,BC∥B1C1,
∴四边形BCB1C1是平行四边形.
要使四边形BCB1C1是菱形,则BC=CB1,
∵∠ABC=∠A1B1C1=60°,
∴△BCB1为等边三角形,
∴BB1=B1C=BC.
又∵∠A=30°,在直角三角形ABC中,BC=AB,
∴BB1=AB,∴点B1落在AB边的中点.
变式训练
解:(1)AF.(2)AF;AE.
(3)证明:如图,连接AF.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABF=∠ADE.
∵BF=DE,
∴△ABF≌△ADE(SAS),∴AF=AE.
素养小测
解:四边形BCFD是菱形.理由如下:
∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴2DE BC.
又∵△CFE是由△ADE旋转而得,
∴DE=EF,∴DF BC,
∴四边形BCFD是平行四边形.
又∵AB=2BC,且D为AB的中点,
∴BD=BC,
∴四边形BCFD是菱形.