1.2 矩形的性质与判定 第1课时 导学案（含答案） 2025-2026学年北师大版初中数学九年级全一册

1.2 矩形的性质与判定 第1课时
素养目标
1.知道矩形的定义、性质,知道矩形是轴对称图形.
2.知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,能利用这个性质和矩形的性质进行有关计算,能运用矩形的性质进行合理推理与证明.
◎重点::矩形的定义与性质,矩形性质的应用.
【预习导学】
知识点一：矩形的定义
阅读教材本课时“想一想”前面的内容,回答下列问题.
矩形的定义:有一个角是　　　　的平行四边形是矩形.
知识点二：矩形的性质
阅读教材本课时“想一想”至“议一议”前面的内容,回答下列问题.
1.矩形的性质:
(1)矩形是特殊的平行四边形,具有一般的平行四边形的性质:　　　　.
(2)矩形的四个角都是　　　　.
(3)矩形的对角线　　　　.
(4)矩形是　　　　图形.
2.矩形的性质推论:
直角三角形斜边上的中线等于　　　　.
1.如图,由矩形的性质可知AC=　　　　,由矩形具有一般平行四边形的所有性质可知OD=　　　　,OA=　　　　,所以OD=　　　　.
2.如图,在直角三角形ABC中,CD是斜边上的中线,若CD=2,则AB=　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：已知在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,△AOB与△AOD的周长之和为34,AO=5,求矩形ABCD的周长.
　　　　
　　　　
变式训练　如图,在矩形ABCD中,AF=DE.求证:BE=CF.
　　　　
任务驱动二：如图,把矩形ABCD沿EF翻折,若∠1=50°,则∠AEF等于 (　　)
A.110°
B.115°
C.120°
D.130°
　　变式训练　如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B'处,点A落在点A'处.
(1)求证:B'E=BF.
(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.
(3)四边形B'FBE是菱形吗 为什么
　　　　
方法归纳交流　折叠隐含相等的线段和角,注意勾股定理在矩形中的应用.
　如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且∠DAF=∠BCE.
(1)线段AF与CE有什么关系 请说明理由.
(2)连接AC,若AC平分∠FAE,∠DAF=30°,CE=2,求CD的长.
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
直角
知识点二
1.(1)对边平行且相等,对角相等,矩形的对角线互相平分
(2)直角
(3)相等且互相平分
(4)轴对称
2.斜边的一半
对点自测
1.BD　OB　OC　AC
2.4
【合作探究】
任务驱动一
解:∵△AOB与△AOD的周长之和是34,
∴AB+AO+BO+DO+AO+AD=34.
在矩形ABCD中,AC=BD,AO=AC,DO=BO=BD,BO=DO=AO=5,∴AB+AD=14,∴AB+BC+CD+DA=2(AB+AD)=2×14=28,
∴矩形ABCD的周长等于28.
变式训练
证明:∵AF=DE,∴AE=DF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=DC,
∴△BAE≌△CDF,∴BE=CF.
任务驱动二
B
变式训练
解:(1)证明:连接BE,由折叠图形的轴对称性可知,B'F=BF.
又∠B'FE=∠BFE=∠B'EF,
∴B'E=B'F,从而可得B'E=BF.
(2)第一种关系:a2+b2=c2.证明:由折叠可知BE=B'E,由(1)知B'E=BF=c,∴BE=c.在△ABE中,∠A=90°,∴AE2+AB2=BE2.∵AE=a,AB=b,
∴a2+b2=c2.
第二种关系: a+b>c.证明:由折叠可知BE=B'E.由(1)知B'E=BF=c,在△ABE中,AE+AB>BE,∴a+b>c.
(3)是.由(1)(2)可知B'F=BF=B'E=BE,∴四边形B'FBE是菱形.
素养小测
解:(1)AF∥CE且AF=CE.
理由:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,AB=CD,AD=BC.
又∵∠DAF=∠BCE,
∴△DAF≌△BCE(ASA),
∴AF=CE且DF=BE,∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE且AF=CE.
(2)∵AF=CE=2,∠DAF=30°,∠D=90°,
∴FD=1.
∵AC平分∠FAE,∴∠FAC=∠EAC.
∵FC∥AE,∴∠FCA=∠FAC=∠EAC,
∴AF=CF=2,
∴CD=DF+CF=3.