1.3 正方形的性质与判定 第1课时 导学案（含答案） 2025-2026学年北师大版初中数学九年级全一册

1.3 正方形的性质与判定 第1课时
素养目标
1.知道正方形的概念、性质;知道正方形是轴对称图形.
2.知道正方形与平行四边形、菱形、矩形的区别与联系.
3.通过四边形的从属关系渗透集合思想,明晰这几种特殊的平行四边形的从属关系.
◎重点::正方形的性质,正方形与菱形、矩形的关系.
【预习导学】
知识点：正方形
阅读教材本课时相关内容,回答下列问题.
1.正方形的定义:有一组邻边　　　　,并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
2.正方形的性质:正方形的四个角都是　　　　,四条边都　　　　.正方形的两条对角线　　　　.正方形的对角线　　　　每一组对角.正方形是　　　　图形,它有　　　　条对称轴.
3.如图,根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系完成填空.
归纳总结　矩形、菱形都是特殊的平行四边形,既是矩形,又是　　　　形的四边形叫作　　　　.
1.正方形具备而菱形不具备的性质是 (　　)
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每条对角线平分一组对角
2.如图,E是正方形ABCD的边AB延长线上一点,且BD=BE,则∠BED的大小为 (　　)
A.22.5°
B.15°
C.30°
D.45°
3.正方形的一条边长是3,那么它的对角线长是　　　　　,面积是　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：如图,如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合,那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有 (　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
任务驱动二：如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC.
(2)延长BE交AD于点F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.
　　　　
　　　　
　　　　
任务驱动三：如图,在正方形ABCD中,AC、BD交于点O,点E在OA上,点G在OB上,且OE=OG,CG的延长线交BE于点F,猜想并证明CG和EB的大小及位置关系.
　　　　
任务驱动四：如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.
(1)试探索BE和CF的关系,并说明理由.
(2)哪两个图形可以通过旋转而相互得到 指出旋转中心和旋转角.
　　　　
　　　　
方法归纳交流　两条线段间的关系探索类问题,一般从线段的位置关系和数量关系两个方面去探究.
　如图,在正方形ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别在OA,OD上,∠ABE=∠DCF.
(1)求证:△ABE≌△DCF.
(2)若BC=4,AE=3,求BE的长.
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点
1.相等
2.直角　相等　相等并且互相垂直平分　平分　轴对称　四
3.矩形　正方形
归纳总结　菱　正方形
对点自测
1.C　2.A
3.3　9
【合作探究】
任务驱动一
B
任务驱动二
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠ECB=∠ECD=45°.
又∵EC=EC,∴△BEC≌△DEC(SAS).
(2)∵△BEC≌△DEC,
∴∠BEC=∠DEC=∠BED.
∵∠BED=120°,
∴∠BEC=60°=∠AEF,∴∠EFD=60°+45°=105°.
任务驱动三
解:CG⊥BE,CG=BE.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OB,∠COG=∠BOE=90°.
∵OE=OG,∴△BOE≌△COG(SAS),
∴CG=BE,∠CEF=∠CGO.
∵∠GCO+∠CGO=90°,
∴∠GCO+∠CEF=90°,
∴∠CFE=90°,∴CF⊥BE.
任务驱动四
解:(1)BE=CF,BE⊥CF.理由:在正方形ACDE和正方形ABGF中,
∵AF=AB,AC=AE,∠FAB=∠EAC=90°,
∴∠FAC=∠BAE,
∴△AFC≌△ABE(SAS),BE=CF,∠AEB=∠ACF.
∵∠EHC+∠HED+∠D+∠DCH=360°,∠AED=∠AEB+∠HED=90°,∠D=∠ACD=90°,
∴∠EHC=90°.
(2)△ABE和△AFC可以通过旋转而相互得到,旋转中心是点A,旋转角为90°.
素养小测
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠BAE=∠CDF=45°.
∵∠ABE=∠DCF,
在△ABE与△DCF中,
∴△ABE≌△DCF(ASA).
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,OA=OB=OC=OD,∠ABC=∠AOB=90°.
∵BC=4,
∴AB=4.
∴AC===8,
∴OA=OB=4.
∵AE=3,
∴OE=OA-AE=4-3=1,
在Rt△BOE中,BE===.
故BE的长为.