1.3 正方形的性质与判定 第2课时 导学案（含答案） 2025-2026学年北师大版初中数学九年级全一册

1.3 正方形的性质与判定 第2课时
素养目标
1.知道正方形的判定条件;梳理正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.
2.能灵活运用正方形的三个判定定理进行合理推理证明.
◎重点::正方形的判定,正方形性质和判定的综合应用.
【预习导学】
知识点一：正方形的判定
阅读教材本课时相关内容,回答下列问题.
1.根据定义:　　　　的平行四边形是正方形.
2.对角线　　　　的菱形是正方形.
3.对角线　　　　的矩形是正方形.
4.有一个角是　　　　的菱形是正方形.
知识点二：中点四边形
阅读教材本课时“例2”后面的内容,回答下列问题.
依次连接四边形各边中点所得的四边形的形状与原四边形的　　　　的位置和长度有关.当四边形的对角线相等时,则连接这个四边形各边中点所得的图形是　　　　.若四边形的两条对角线　　　　,则连接这个四边形各边的中点所得到的图形就是　　　　.
1.在矩形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该矩形是正方形,那么这个条件可以是 (　　)
A.∠D=90°　　　　　 B.AB=CD
C.AD=BC D.BC=CD
2.已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O.
(1)若AB=BC,则平行四边形ABCD是　　　　;
(2)若AC=BD,则平行四边形ABCD是　　　　;
(3)若∠BCD=90°,则平行四边形ABCD是　　　　;
(4)若OA=OB,且OA⊥OB,则平行四边形ABCD是　　　　;
(5)若AB=BC,且AC=BD,则平行四边形ABCD是　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：1.如图,顺次延长正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH.求证:四边形EFGH是正方形.
　　　　
　　　　
2.如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,使AB落在AD边上,然后打开,折痕为AE,顶点B的落点为F.你认为四边形ABEF是什么特殊四边形 请说出你的理由.
　　　　
　　　　
任务驱动二：给出下列定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图1,四边形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,则中点四边形EFGH形状是　　　　.
(2)如图2,P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD=90°,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,求证:中点四边形EFGH是正方形.
　　　　
　如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:△BED≌△CFD.
(2)若∠A=90°,求证:四边形DFAE是正方形.
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.一组邻边相等,一个角是直角
2.相等
3.垂直
4.直角
知识点二
两条对角线　菱形　互相垂直　矩形
对点自测
1.D
2.(1)菱形
(2)矩形
(3) 矩形
(4)正方形
(5)正方形
【合作探究】
任务驱动一
1.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG.
又∵BE=CF=DG=AH,∴CG=DH=AE=BF,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,∴EF=FG=GH=HE,∠EFB=∠HEA,∴四边形EFGH为菱形.∵∠EFB+∠FEB=90°,∠EFB=∠HEA,∴∠FEB+∠HEA=90°,∴四边形EFGH是正方形.
2.解:四边形ABEF是正方形.
理由:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAF=∠B=90°.∵∠B与∠AFE折叠后重合,∴∠AFE=∠B=90°,∴四边形ABEF是矩形.又∵AB,AF折叠后重合,∴AB=AF,∴四边形ABEF是正方形.
任务驱动二
解:(1)平行四边形.
提示:如图1,连接BD.
∵E,H分别为边AB,DA的中点,
∴EH∥BD,EH=BD.
∵F,G分别为边BC,CD的中点,
∴FG∥BD,FG=BD,
∴EH∥FG且EH=GF,
∴中点四边形EFGH是平行四边形.
(2)四边形EFGH是正方形.
理由:如图2,连接AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,
即∠APC=∠BPD.
在△APC和△BPD中,
∴△APC≌△BPD,
∴AC=BD.
∵E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,
∴EF=AC,FG=BD,
∴EF=FG.
∵四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是菱形.
如图2,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.
∵△APC≌△BPD,
∴∠ACP=∠BDP.
∵∠DMO=∠CMP,
∴∠COD=∠CPD=90°.
∵EH∥BD,AC∥HG,
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°.
∵四边形EFGH是菱形,
∴四边形EFGH是正方形.
素养小测
证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
∴△BED≌△CFD.
(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°.
∵∠A=90°,∴四边形DFAE为矩形.
∵△BED≌△CFD,
∴DE=DF,
∴四边形DFAE为正方形.