第一章 特殊平行四边形 复习课 导学案 （含答案）2025-2026学年北师大版初中数学九年级全一册

第一章 特殊平行四边形 复习课
复习目标
1.知道矩形、菱形、正方形的定义和性质,知道它们之间的关系.
2.能运用性质和判定进行有关证明和计算,能判定一个四边形是矩形、菱形、正方形.
3.体会数学知识内在的联系,加强学习数学的信心.
◎重点::矩形、菱形、正方形的性质和判定的综合应用.
【预习导学】
【合作探究】
专题一：菱形的性质和判定
1.如图,菱形的周长为40 cm,两对角线的长度之比为3∶4,求两条对角线的长.
　　　　
　　　　
2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AD,对角线AC、BD交于点O,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD为菱形.
　　　　
　　　　
方法归纳交流　证明四边形是菱形时,除了“四条边都相等的四边形是菱形”外,其他方法都应该先说明四边形是平行四边形.
专题二：矩形的性质和判定
3.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°,那么对角线与矩形较短边的长度之比为 (　　)
A.3∶2 B.2∶1
C.1.5∶1 D.1∶1
4.如图,在△ABC中,点D在AB上,AD=BD=CD,且DE、DF分别平分∠BDC、∠ADC.求证:四边形CEDF是矩形.
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
专题三：正方形的性质和判定
5.如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=AB.
(1)△ABE与△ADF全等吗 说明你的理由.
(2)在图中,可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种变换使△ABE变到△ADF的位置
　　　　
　　　　
专题四：特殊平行四边形的综合运用
6.如图,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.四边形DAEF是平行四边形吗 如果是,请说明理由.
　　变式训练　在第6题的条件下,1.当∠BAC=150°时,四边形DAEF是　　　　.
2.当△ABC满足　　　　条件时,四边形DAEF是菱形.
参考答案
【合作探究】
专题一
1.解:四边形ABCD是菱形,周长为40 cm,AC、BD相交于点O,且AC∶BD=3∶4.
∵菱形的周长为40 cm,∴AB=10 cm.
∵AC∶BD=3∶4,∴AO∶BO=3∶4.∵AC⊥BD,∴在Rt△AOB中,有OB2+OA2=AB2,设AO=3x,BO=4x,即(3x)2+(4x)2=100,
∴x=2,∴OA=6 cm,OB=8 cm,∴AC=12 cm,BD=16 cm.
2.证明:∵AB∥CD,
∴∠OAB=∠DCA.
∵AC平分∠BAD.
∴∠OAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB.
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.
专题二
3.B
4.证明:∵DE、DF分别平分∠BDC、∠ADC,
∴∠FDC=∠ADC,∠CDE=∠BDC.
∵∠ADB=180°,∴∠EDF=90°.
∵AD=BD=CD,
∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD.
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠ACB=90°.
∵DA=DC,DF平分∠ADC,
∴DF⊥AC,∴四边形CEDF是矩形.
专题三
5.解:(1)全等.理由:在正方形ABCD中,AD=AB,
∵AE=AD,AF=AB,
∴AE=AF.∵∠BAE=∠DAF=90°,∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)△ABE绕点A逆时针旋转90°变到△ADF的位置.
专题四
6.解:四边形DAEF是平行四边形.理由如下:
∵△ABD和△FBC都是等边三角形,∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°,∴∠DBF=∠ABC.
又∵BD=BA,BF=BC,∴△ABC≌△DBF(SAS),∴AC=DF=AE.同理△ABC≌△EFC,
∴AB=EF=AD,∴四边形ADFE是平行四边形.
变式训练
1.矩形
2.AB=AC≠BC