广东省广州市黄广牛剑高级中学2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二上·广州月考）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·广州月考）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·广州月考）直线关于轴对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·广州月考）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·广州月考）如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·广州月考）某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（ ）
A．极差为10 B．中位数为7.5 C．平均数为8.5 D．标准差为
7．（2024高二上·广州月考）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（ ）
A． B．
C． D．与m的取值有关
8．（2024高二上·广州月考）已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ）
A．与相互独立 B．与是互斥事件
C．与是对立事件 D．与相互独立
二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2024高二上·广州月考）下列命题不正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．直线过点，倾斜角为，则其方程为
C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
D．直线在轴上截距为2
10．（2024高二上·广州月考）已知事件 ， ，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．如果 ，那么 ，
B．如果 与 互斥，那么 ，
C．如果 与 相互独立，那么 ，
D．如果 与 相互独立，那么 ，
11．（2024高二上·广州月考）已知在棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，对任意，恒成立
B．当时，与平面所成的最大角的正弦值为
C．当时，线段上的点与线段上的点的距离最小值为
D．当时，存在唯一的点，使得平面平面
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二上·广州月考）已知向量，且，则 ．
13．（2024高二上·广州月考）盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则 ．
14．（2024高二上·广州月考）已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则 ，的最小值为
四、解答题：本小题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二上·广州月考）已知直线：与：的交点为.
（1）求过点且平行于直线：的直线方程；
（2）求过点且垂直于直线：直线方程；
（3）求平行于且与其距离为3的直线方程.
16．（2024高二上·广州月考）如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
17．（2024高二上·广州月考）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
18．（2024高二上·广州月考）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
（1）取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由；
（2）求到平面的距离；
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（2024高二上·广州月考）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.
（1）已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；
（2）已知点 点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
（3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：由题意知，，，
则直线的斜率，
因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，
则两斜率乘积为，所以直线的斜率，
由直线经过点，
则由点斜式方程可得直线的方程为，即.
故答案为：A.
【分析】利用两点确定出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出的值，最后由点斜式方程得出过点且与直线垂直的直线的方程.
2．【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以在上的投影向量的模为，
则点B到直线的距离为.
故答案为：A.
【分析】利用数量积求投影向量的模的公式，从而得出在上的投影向量的模，再利用勾股定理得出点B到直线的距离.
3．【答案】C
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设是所求直线上任意一点，
则关于轴对称的点为，且在直线上，
代入可得，
则直线关于轴对称的直线方程为.
故答案为：C.
【分析】设是所求直线上任意一点，再结合点对称性和已知条件，从而代入得出直线关于轴对称的直线方程.
4．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为元件都不正常的概率，
则元件至少有一个正常工作的概率为，
又因为电路是通路，
则元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生，
所以这个电路是通路的概率.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和对立事件求概率公式以及相互独立事件乘法求概率公式，从而得出这个电路是通路的概率.
5．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意结合空间向量的线性运算和空间向量基本定理，从而找出正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：命中的环数从小到大排列为：6，7，7，9，9，10，
A、极差为，故A错误；
B、中位数为，故B错误；
C、平均数为，故C错误；
D、标准差为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先将数据从小到大排列，再利用极差、中位数、平均数、标准差的定义逐项计算判断即可.
7．【答案】A
【知识点】过两条直线交点的直线系方程；恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：因为经过的定点为，所以，
将直线变形为，
所以，直线经过定点，故，
因为，所以两直线垂直，如图，
因此为直角三角形，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求解出直线经过的定点坐标，再根据两直线垂直得出为直角三角形，再结合中点的性质和两点距离公式，从而得出的值.
8．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意可得基本事件总数为，
设，
，
，
，
由题意可得与可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；
易知与不同时发生，即与为互斥事件，
但不是对立事件，比如当发生时与均不发生，故C错误；
又因为，
则，，
所以与不相互独立，与相互独立，故A错误、D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和互斥事件、对立事件以及相互独立事件的定义，从而逐项判断找出正确的选项.
9．【答案】A,C,D
【知识点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：对于A，因为方程不能表示倾斜角为且过的直线，
故A错误；
对于B，因为直线过点，倾斜角为，则其方程为，故B正确；
对于C，当直线在坐标轴上截距相等且为0时，不能用表示，故C错误；
对于D，令，得，所以直线在轴上截距为，故D错误.
故答案为：ACD．
【分析】根据直线的点斜式方程可以表示斜率存在的所有直线，则判断出选项A；根据直线的倾斜角为的直线方程表示方法，则判断出选项B；根据直线的截距式不能表示的直线，则判断出选项C；根据直线的截距的定义，则判断出选项D，从而找出假命题的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】A．若 ，则 ， ，A符合题意；
B． 与 互斥，则 ， 是不可能发生的， ，B符合题意；
C． 与 相互独立，则 ，C不符合题意；
D． 与 相互独立，则 与 ， 与 也相互独立， ，同理 ，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据互斥事件与相互独立事件的概念及概率公式判断，即可得到答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为，其中，，
则点在平面上（含边界）．
对于A，当时，，
则点P在连接的中点的线段上运动，
则，平面，
所以平面，平面，
则，而，平面，
所以平面，平面，
则，故A正确；
对于B，当时，点在线段上，设平面，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，平面，
则，同理可证，平面，
所以平面，
则在平面上的射影为，
当时，与平面所成的角最大，
因为，
所以，
则，
又因为，
所以，，
则，
所以与平面所成的最大角的正弦值为，故B错误；
对于C，当时，点在线段上，因为，
则为平行四边形，
所以，平面，平面，
则平面，
所以线段上的点与线段上的点的距离最小值为点到平面的距离，
由等体积法，
得（d为点到平面的距离），
则，
所以点到平面的距离为，
则线段上的点与线段上的点的距离最小值为，故C正确；
对于D，设的中点为，当时，，
所以，点在线段上，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为点P是平面和平面的一个交点，
所以平面和平面的交线为过点P和BC平行的直线，
又因为平面，
所以，交线也垂直于平面，
设在平面上的射影为M，
则为平面与平面所成二面角的平面角，
当平面平面时，为直角，此时M点在以AB为直径的半圆上，
设N为E点在上的投影，则N为的中点，所以M点也在BN上，
显然BN与以AB为直径的半圆相交，满足为直角的点M是唯一的，
则点是唯一的，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先确定点在平面上（含边界），再结合线面垂直的性质定理，则判断出选项A；先确定点P的位置，设平面，再确定当时，与平面所成的角最大，再结合解三角形的方法，则判断出选项B；将线段上的点与线段上的点的距离转化为点到平面的距离，再结合等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出 线段上的点与线段上的点的距离最小值，则判断出选项C；先确定点在线段上，再作出两平面所成二面角的平面角，再结合二面角为直角判断出BN与以AB为直径的半圆相交，则满足为直角的点M是唯一的，从而得出点是唯一的，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量共线，
所以，
解得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合空间向量共线的充要条件，从而列式计算得出m，n的值，进而得出的值.
13．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：当时，游戏结束时两位同学摸球的情况为：白黑黑，黑白黑，白白白，
则.
故答案为：.
【分析】分析出游戏结束时两位同学摸球的情形，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出的值.
14．【答案】；
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间距离公式的应用；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：由题意知，两直线：，：互相平行，
作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示，
由两平行线间的距离公式，可得，
因为，及两直线：，：，
作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，
设直线的方程为，
联立方程组，
解得，同理得出，
所以，
其中表示点与点和之间的距离之和，
当点重合时，取得最小值，
所以的最小值为，
的最小值为．
故答案为，．
【分析】利用两平行直线间的距离公式求出的值；设直线CD的方程为，从而得出点C坐标和点D坐标，再利用几何法和两点距离公式，从而得出的最小值．
15．【答案】（1）解：由 ，
解得，
所以点的坐标是，
因为所求直线与平行，
则设所求直线的方程为，
把点的坐标代入，得 ，则，
则所求直线的方程为．
（2）解：因为所求直线与垂直，
则设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
则所求直线的方程为．
（3）解：设平行于的直线方程为，
由题意可得，
解得或，
则所求直线方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）先联立两直线方程得出交点的坐标，再根据所求直线与直线： 平行，则得出两直线斜率相等，纵截距不相等，从而设所求直线为，再代入点的坐标得出的值，从而确定直线方程.
（2）根据所成直线与已知直线：垂直，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而设所求直线为，再代入点的坐标得出的值，从而确定直线方程.
（3）根据两直线平行关系，设直线方程为，再根据题意结合两平行线间距离公式，从而得出平行于且与其距离为3的直线方程.
（1）由 解得，所以点的坐标是，
因为所求直线与平行，所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得 ，得，
故所求直线的方程为．
（2）因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
故所求直线的方程为．
（3）设平行于的直线方程为，
由题意可得，解得或，
所以所求直线方程为或.
16．【答案】（1）证明：因为，所以，
由，即，
又因为，可得为边上的高，所以
因为平面且平面所以
又因为且平面，所以平面；
（2）解：因为平面且，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
故与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，证明平面即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：因为，所以，
由，即，
又因为，可得为边上的高，所以
因为平面且平面所以
又因为且平面，所以平面.
（2）解：因为平面且，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
故与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
17．【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得，
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以该苹果日销售量的平均值为：
；
（2）解：为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数，
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为，
所以每天应该进苹果；
（3）解：由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值；
（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可；
（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，根据古典概型概率公式求解即可.
（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为：
.
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
（3）由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.
18．【答案】（1）解：平面．
理由如下：取中点，连接，
因为为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中点，连接，，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
又因为，
所以，点到平面的距离为：
．
（3）解：设，，
所以，
所以，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
因为平面的法向量为，
所以
化简得，
又因为，
所以，
则，
则存在点，此时．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，先利用中位线定理得出线线平行，再利用平行四边形定义判断出四边形为平行四边形，从而得出，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面．
（2）利用已知条件和等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示 ，从而求出平面的法向量，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，根据数量积求点到平面的距离公式，从而得出点到平面的距离.
（3）利用向量共线的坐标表示和两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再由数量积求向量夹角公式和已知条件得出线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，并求出此时的值．
（1）平面．
理由如下证明：取中点，连接，
因为为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，
因为为等边三角形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图所示，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
又，
故到平面的距离．
（3）设，，
所以，
所以，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
又平面的法向量为，
于是，
化简得，又，
得，
即，
故存在点，此时．
19．【答案】（1）解：设直线的斜率为，
则直线的斜率为，两直线的夹角为，
所以 ，
等号成立的条件是，
所以的最小值为，
则两直线的夹角的最小值为.
（2）解：设直线的斜率分别为，
则，
得或，
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得；
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，与点C重合，舍去，
则所求为.
（3）解：由题意，可设，即，
即，其中，
则
，
因为（等号成立的条件是），
所以，
则，
所以，
所以.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式；平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【分析】（1）设直线的斜率为，则直线的斜率为，两直线的夹角为，再利用夹角公式和基本不等式求最值的方法，从而可得直线和直线的夹角的最小值.
（2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，从而可得，进而求解可得的值，则得到直线PR与直线PQ的方程，再联立两直线方程得出点P的坐标.
（3）设出直线，的方程，先求出原点到它们的距离，从而计算的值，再转化变形结合基本不等式求最值的方法，从而可得原点O到直线，的距离之积的取值范围．
（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则 ，
等号成立的条件是，所以的最小值为，
则两直线的夹角的最小值为；
（2）设直线的斜率分别为，
则，得或，
当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，；
当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去；
故所求为；
（3）由题意可设即，即，其中，
故
由于（等号成立的条件是），
所以，故即，
所以.
1 / 1广东省广州市黄广牛剑高级中学2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二上·广州月考）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：由题意知，，，
则直线的斜率，
因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，
则两斜率乘积为，所以直线的斜率，
由直线经过点，
则由点斜式方程可得直线的方程为，即.
故答案为：A.
【分析】利用两点确定出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出的值，最后由点斜式方程得出过点且与直线垂直的直线的方程.
2．（2024高二上·广州月考）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以在上的投影向量的模为，
则点B到直线的距离为.
故答案为：A.
【分析】利用数量积求投影向量的模的公式，从而得出在上的投影向量的模，再利用勾股定理得出点B到直线的距离.
3．（2024高二上·广州月考）直线关于轴对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设是所求直线上任意一点，
则关于轴对称的点为，且在直线上，
代入可得，
则直线关于轴对称的直线方程为.
故答案为：C.
【分析】设是所求直线上任意一点，再结合点对称性和已知条件，从而代入得出直线关于轴对称的直线方程.
4．（2024高二上·广州月考）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为元件都不正常的概率，
则元件至少有一个正常工作的概率为，
又因为电路是通路，
则元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生，
所以这个电路是通路的概率.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和对立事件求概率公式以及相互独立事件乘法求概率公式，从而得出这个电路是通路的概率.
5．（2024高二上·广州月考）如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：连接，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意结合空间向量的线性运算和空间向量基本定理，从而找出正确的选项.
6．（2024高二上·广州月考）某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（ ）
A．极差为10 B．中位数为7.5 C．平均数为8.5 D．标准差为
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：命中的环数从小到大排列为：6，7，7，9，9，10，
A、极差为，故A错误；
B、中位数为，故B错误；
C、平均数为，故C错误；
D、标准差为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先将数据从小到大排列，再利用极差、中位数、平均数、标准差的定义逐项计算判断即可.
7．（2024高二上·广州月考）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（ ）
A． B．
C． D．与m的取值有关
【答案】A
【知识点】过两条直线交点的直线系方程；恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：因为经过的定点为，所以，
将直线变形为，
所以，直线经过定点，故，
因为，所以两直线垂直，如图，
因此为直角三角形，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求解出直线经过的定点坐标，再根据两直线垂直得出为直角三角形，再结合中点的性质和两点距离公式，从而得出的值.
8．（2024高二上·广州月考）已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ）
A．与相互独立 B．与是互斥事件
C．与是对立事件 D．与相互独立
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意可得基本事件总数为，
设，
，
，
，
由题意可得与可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；
易知与不同时发生，即与为互斥事件，
但不是对立事件，比如当发生时与均不发生，故C错误；
又因为，
则，，
所以与不相互独立，与相互独立，故A错误、D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和互斥事件、对立事件以及相互独立事件的定义，从而逐项判断找出正确的选项.
二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2024高二上·广州月考）下列命题不正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．直线过点，倾斜角为，则其方程为
C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
D．直线在轴上截距为2
【答案】A,C,D
【知识点】直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：对于A，因为方程不能表示倾斜角为且过的直线，
故A错误；
对于B，因为直线过点，倾斜角为，则其方程为，故B正确；
对于C，当直线在坐标轴上截距相等且为0时，不能用表示，故C错误；
对于D，令，得，所以直线在轴上截距为，故D错误.
故答案为：ACD．
【分析】根据直线的点斜式方程可以表示斜率存在的所有直线，则判断出选项A；根据直线的倾斜角为的直线方程表示方法，则判断出选项B；根据直线的截距式不能表示的直线，则判断出选项C；根据直线的截距的定义，则判断出选项D，从而找出假命题的选项.
10．（2024高二上·广州月考）已知事件 ， ，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．如果 ，那么 ，
B．如果 与 互斥，那么 ，
C．如果 与 相互独立，那么 ，
D．如果 与 相互独立，那么 ，
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】A．若 ，则 ， ，A符合题意；
B． 与 互斥，则 ， 是不可能发生的， ，B符合题意；
C． 与 相互独立，则 ，C不符合题意；
D． 与 相互独立，则 与 ， 与 也相互独立， ，同理 ，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据互斥事件与相互独立事件的概念及概率公式判断，即可得到答案。
11．（2024高二上·广州月考）已知在棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，对任意，恒成立
B．当时，与平面所成的最大角的正弦值为
C．当时，线段上的点与线段上的点的距离最小值为
D．当时，存在唯一的点，使得平面平面
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为，其中，，
则点在平面上（含边界）．
对于A，当时，，
则点P在连接的中点的线段上运动，
则，平面，
所以平面，平面，
则，而，平面，
所以平面，平面，
则，故A正确；
对于B，当时，点在线段上，设平面，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，平面，
则，同理可证，平面，
所以平面，
则在平面上的射影为，
当时，与平面所成的角最大，
因为，
所以，
则，
又因为，
所以，，
则，
所以与平面所成的最大角的正弦值为，故B错误；
对于C，当时，点在线段上，因为，
则为平行四边形，
所以，平面，平面，
则平面，
所以线段上的点与线段上的点的距离最小值为点到平面的距离，
由等体积法，
得（d为点到平面的距离），
则，
所以点到平面的距离为，
则线段上的点与线段上的点的距离最小值为，故C正确；
对于D，设的中点为，当时，，
所以，点在线段上，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为点P是平面和平面的一个交点，
所以平面和平面的交线为过点P和BC平行的直线，
又因为平面，
所以，交线也垂直于平面，
设在平面上的射影为M，
则为平面与平面所成二面角的平面角，
当平面平面时，为直角，此时M点在以AB为直径的半圆上，
设N为E点在上的投影，则N为的中点，所以M点也在BN上，
显然BN与以AB为直径的半圆相交，满足为直角的点M是唯一的，
则点是唯一的，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先确定点在平面上（含边界），再结合线面垂直的性质定理，则判断出选项A；先确定点P的位置，设平面，再确定当时，与平面所成的角最大，再结合解三角形的方法，则判断出选项B；将线段上的点与线段上的点的距离转化为点到平面的距离，再结合等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出 线段上的点与线段上的点的距离最小值，则判断出选项C；先确定点在线段上，再作出两平面所成二面角的平面角，再结合二面角为直角判断出BN与以AB为直径的半圆相交，则满足为直角的点M是唯一的，从而得出点是唯一的，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二上·广州月考）已知向量，且，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量共线，
所以，
解得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合空间向量共线的充要条件，从而列式计算得出m，n的值，进而得出的值.
13．（2024高二上·广州月考）盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：当时，游戏结束时两位同学摸球的情况为：白黑黑，黑白黑，白白白，
则.
故答案为：.
【分析】分析出游戏结束时两位同学摸球的情形，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出的值.
14．（2024高二上·广州月考）已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则 ，的最小值为
【答案】；
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间距离公式的应用；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：由题意知，两直线：，：互相平行，
作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示，
由两平行线间的距离公式，可得，
因为，及两直线：，：，
作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，
设直线的方程为，
联立方程组，
解得，同理得出，
所以，
其中表示点与点和之间的距离之和，
当点重合时，取得最小值，
所以的最小值为，
的最小值为．
故答案为，．
【分析】利用两平行直线间的距离公式求出的值；设直线CD的方程为，从而得出点C坐标和点D坐标，再利用几何法和两点距离公式，从而得出的最小值．
四、解答题：本小题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二上·广州月考）已知直线：与：的交点为.
（1）求过点且平行于直线：的直线方程；
（2）求过点且垂直于直线：直线方程；
（3）求平行于且与其距离为3的直线方程.
【答案】（1）解：由 ，
解得，
所以点的坐标是，
因为所求直线与平行，
则设所求直线的方程为，
把点的坐标代入，得 ，则，
则所求直线的方程为．
（2）解：因为所求直线与垂直，
则设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
则所求直线的方程为．
（3）解：设平行于的直线方程为，
由题意可得，
解得或，
则所求直线方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）先联立两直线方程得出交点的坐标，再根据所求直线与直线： 平行，则得出两直线斜率相等，纵截距不相等，从而设所求直线为，再代入点的坐标得出的值，从而确定直线方程.
（2）根据所成直线与已知直线：垂直，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而设所求直线为，再代入点的坐标得出的值，从而确定直线方程.
（3）根据两直线平行关系，设直线方程为，再根据题意结合两平行线间距离公式，从而得出平行于且与其距离为3的直线方程.
（1）由 解得，所以点的坐标是，
因为所求直线与平行，所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得 ，得，
故所求直线的方程为．
（2）因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
故所求直线的方程为．
（3）设平行于的直线方程为，
由题意可得，解得或，
所以所求直线方程为或.
16．（2024高二上·广州月考）如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为，所以，
由，即，
又因为，可得为边上的高，所以
因为平面且平面所以
又因为且平面，所以平面；
（2）解：因为平面且，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
故与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，证明平面即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：因为，所以，
由，即，
又因为，可得为边上的高，所以
因为平面且平面所以
又因为且平面，所以平面.
（2）解：因为平面且，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
故与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
17．（2024高二上·广州月考）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得，
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以该苹果日销售量的平均值为：
；
（2）解：为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数，
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为，
所以每天应该进苹果；
（3）解：由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值；
（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可；
（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，根据古典概型概率公式求解即可.
（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为：
.
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
（3）由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.
18．（2024高二上·广州月考）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
（1）取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由；
（2）求到平面的距离；
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：平面．
理由如下：取中点，连接，
因为为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中点，连接，，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
又因为，
所以，点到平面的距离为：
．
（3）解：设，，
所以，
所以，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
因为平面的法向量为，
所以
化简得，
又因为，
所以，
则，
则存在点，此时．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，先利用中位线定理得出线线平行，再利用平行四边形定义判断出四边形为平行四边形，从而得出，再利用线线平行证出线面平行，即证出平面．
（2）利用已知条件和等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示 ，从而求出平面的法向量，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，根据数量积求点到平面的距离公式，从而得出点到平面的距离.
（3）利用向量共线的坐标表示和两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用向量的坐标表示得出向量的坐标，再由数量积求向量夹角公式和已知条件得出线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，并求出此时的值．
（1）平面．
理由如下证明：取中点，连接，
因为为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，
因为为等边三角形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图所示，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
又，
故到平面的距离．
（3）设，，
所以，
所以，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
又平面的法向量为，
于是，
化简得，又，
得，
即，
故存在点，此时．
19．（2024高二上·广州月考）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.
（1）已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；
（2）已知点 点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
（3）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.
【答案】（1）解：设直线的斜率为，
则直线的斜率为，两直线的夹角为，
所以 ，
等号成立的条件是，
所以的最小值为，
则两直线的夹角的最小值为.
（2）解：设直线的斜率分别为，
则，
得或，
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得；
当时，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，与点C重合，舍去，
则所求为.
（3）解：由题意，可设，即，
即，其中，
则
，
因为（等号成立的条件是），
所以，
则，
所以，
所以.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式；平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【分析】（1）设直线的斜率为，则直线的斜率为，两直线的夹角为，再利用夹角公式和基本不等式求最值的方法，从而可得直线和直线的夹角的最小值.
（2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，从而可得，进而求解可得的值，则得到直线PR与直线PQ的方程，再联立两直线方程得出点P的坐标.
（3）设出直线，的方程，先求出原点到它们的距离，从而计算的值，再转化变形结合基本不等式求最值的方法，从而可得原点O到直线，的距离之积的取值范围．
（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则 ，
等号成立的条件是，所以的最小值为，
则两直线的夹角的最小值为；
（2）设直线的斜率分别为，
则，得或，
当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，；
当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去；
故所求为；
（3）由题意可设即，即，其中，
故
由于（等号成立的条件是），
所以，故即，
所以.
1 / 1
