第1课时 有理数
认识正数、负数
1.下列四个数中,不是负数的是 ( )
A.-7 B.-3.6 C.1 D.-
2.将下列各数填在相应的横线上:
-10,1,-0.5,0,36,-,15%,-60,-,22.8。
正数: ;
负数: 。
用正负数表示具有相反意义的量
3.(2024山西中考)中国空间站位于距离地面约400 km的太空环境中。由于没有大气层保护,在太阳光线直射下,空间站表面温度可高于零上150 ℃,其背阳面温度可低于零下100 ℃。若零上150 ℃记作+150 ℃,则零下100 ℃记作 ( )
A.+100 ℃ B.-100 ℃ C.+50 ℃ D.-50 ℃
4.下列选项中具有相反意义的量是 ( )
A.气温上升10 ℃和零下10 ℃
B.盈利200元和支出300元
C.顺时针转5圈和逆时针转3圈
D.走了100 m和跑了100 m
5.(2024连云港中考)如果公元前121年记作-121年,那么公元2024年应记作 年。
6.用正数和负数表示下列问题中的数据:
(1)节约水10 m3,浪费水0.5 m3;
(2)向油罐车里注入汽油4 t,放出汽油1.8 t;
(3)赤道地区的年平均气温是零上28 ℃,南极大陆中部某地的年平均气温是零下56 ℃。
有理数的概念及分类
7.在,0,π,-3.142,+4,3中,有理数有 个。
8.把下列各数填入相应的集合内:5,-2,1.4,-,-0.1,0,-3.141 59,,0.101 001 000 1…(每两个1之间逐次增加一个0)。
正数集合:{ …};
非负整数集合:{ …};
负分数集合:{ …};
有理数集合:{ …}。
1.(数学文化)如表所示,算筹是我国古代的记数工具之一,摆法有纵式和横式两种。古人在个位数字上划上斜线以表示负数,如“”表示-723,则“”所表示的数是 ( )
纵式
横式
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.223 B.-223 C.263 D.-262
2.在体育课的立定跳远测试中,以2.00 m为标准,若小明跳出了2.35 m,可记作+0.35 m,则小亮跳出了1.75 m,应记作 ( )
A.+0.25 m B.-0.25 m
C.+0.35 m D.-0.35 m
3.(教材变式)七(1)班期末数学考试的平均成绩是88分,小欢得了95分,记作+7分,小乐的成绩记作-3分,则小乐得了 ( )
A.83分 B.85分
C.91分 D.92分
4.(易错题)下列4种说法,正确的个数为 ( )
①一个有理数不是整数就是分数;
②0既不是整数也不是分数;
③一个有理数不是正数就是负数;
④一个分数不是正的就是负的。
A.1 B.2 C.3 D.4
5.某品牌酸奶外包装上标明“净含量:300 mL±5 mL”;随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表。其中,净含量不合格的是 ( )
种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味
净含量/mL 295 300 310 305
A.原味 B.草莓味
C.香草味 D.巧克力味
6.“一只闹钟,一昼夜误差不超过±12 s。”这句话的含义是: 。
7.如图,两个圈分别表示负数集合和分数集合。请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里:
-50%,2 025,0.618,-3,-,0,5.9,-3.14,-92。
8.一种商品的标准价格是200元,但随着季节的变化,商品的价格可浮动±20%,请回答下列问题。
(1)±20%的含义是什么
(2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格。
(3)如果以标准价格为基准,超过标准价格记为“+”,低于标准价格记为“-”,该商品价格的浮动范围又可以怎样表示
9.(推理能力)如图,将一串有理数按规律排列,回答下列问题。
(1)在A处的数是正数还是负数
(2)负数排在A,B,C,D中的什么位置
(3)第2 025个数属于哪一类有理数 排在对应于A,B,C,D中的什么位置
【详解答案】
基础达标
1.C
2.1,36,15%,22.8 -10,-0.5,-,-60,-
3.B 4.C 5.+2024
6.解:(1)若节约为正,浪费为负,则节约水10 m3,记作+10 m3;浪费水0.5 m3,记作-0.5 m3。
(2)若注入为正,放出为负,则向油罐车里注入汽油4 t,记作+4 t;放出汽油1.8 t,记作-1.8 t。
(3)若零上为正,零下为负,则赤道地区的年平均气温是零上28 ℃,记作+28 ℃;南极大陆中部某地的年平均气温是零下56 ℃,记作-56 ℃。
7.5
8.解:正数集合:0.101 001 000 1…(每两个1之间逐次增;
非负整数集合:{5,0,…};
负分数集合:;
有理数集合:。
能力提升
1.D 解析:根据算筹记数法,“”表示的数是-262。故选D。
2.B 解析:高于标准为正,则低于标准为负,2.00-1.75=0.25,故小亮跳出了1.75 m,应记作-0.25 m。故选B。
3.B 解析:88-3=85(分),即小乐的数学成绩为85分。故选B。
4.B 解析:①有理数包括整数和分数,故①正确;②0是整数,故②错误;③有理数包括正数、零、负数,故③错误;④分数包括正分数和负分数,故④正确。故选B。
5.C 解析:由题意可得净含量合格的范围为295~305 mL,则295,300,305均在该范围内,310不在该范围内,所以净含量不合格的是香草味。故选C。
6.闹钟走一天的时间比标准时间最多慢12 s或最多快12 s
7.解:如图所示:
8.解:(1)±20%的含义是在标准价格的基础上,加价和降价的幅度不超过20%。
(2)最高价格:200+200×20%=240(元),
最低价格:200-200×20%=160(元)。
答:该商品的最高价格是240元,最低价格是160元。
(3)因为240-200=40(元),200-160=40(元),所以该商品加价和降价的幅度不超过40元,所以该商品价格的浮动范围又可以表示为-40元~+40元。
答:该商品价格的浮动范围可表示为-40元~+40元。
9.解:(1)在A处的数是正数。
(2)负数排在B处与D处。
(3)第2 025个数是-2 025,属于负数,排在B的位置上。第3课时 数轴
认识数轴
1.关于数轴,下列说法最准确的是 ( )
A.一条直线
B.有原点、正方向的一条直线
C.有单位长度的一条直线
D.规定了原点、正方向、单位长度的直线
2.一名同学画了四条数轴,只有一条正确,则正确的是 ( )
A B C D
用数轴上的点表示有理数
3.(2024河南中考)如图,数轴上点P表示的数是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数:
-2,-1,0,。
数轴与相反数
5.如图,数轴上的点A,B,C,D表示的数中,与-互为相反数的是 ( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
6.如图,数轴上A,B两点表示的数互为相反数,且点A与点B之间的距离为4个单位长度,则点A表示的数是 。
数轴与绝对值
7.用数轴上的点表示下列各数,其中与原点距离最近的是 ( )
A.-3 B.1 C.2 D.3
8.|-2 025|的几何意义是数轴上表示 的点到 的距离。
利用数轴比较有理数的大小
9.有理数x,y在数轴上所对应的点的位置如图所示,则 ( )
A.x>y>0 B.y>x>0
C.x10.在如图所示的数轴上表示下列各数:3,-1.5,0,-4,并将它们按从小到大的顺序用“<”连接起来。
1.(教材变式)已知数轴上点A代表的数是3,点B到原点的距离是9,则A,B两点间的距离是( )
A.6 B.9或12
C.12 D.6或12
2.如图,数轴的单位长度为1,点A,B,C表示的数都是整数。若点A和点C所表示的两个数的绝对值相等,则点B表示的数是 ( )
A.-4 B.-3 C.2 D.3
3.(易错题)在数轴上到原点的距离不大于4的整数点有 ( )
A.5个 B.6个 C.9个 D.8个
4.(2025驻马店泌阳县月考)一个点在数轴上从表示-2的点开始先向右移动1个单位长度,再向左移动3个单位长度后,这个点所表示的数是 ( )
A.-4 B.3 C.-2 D.-3
5.如图,圆的直径为1个单位长度,该圆上的点A与数轴上表示-1的点重合。将圆沿数轴滚动一周,点A到达点B的位置,则点B表示的数是 ( )
A.-1+π B.-1-π
C.1-π D.-1+π或-1-π
6.如图,将小明暑假期间每日的作息时间表示在数轴上(1个单位长度表示1 h),已知小明每天21:30上床睡觉,则有以下说法:①小明每天早上7:00起床;②小明每天睡觉的时长为7.5 h;③小明每天17:30开始吃晚饭,其中正确的是 。(填序号)
7.如图,数轴上点A,B,C,D表示的数分别为a,b,c,d,相邻两点间的距离均为1个单位长度。
(1)若a与c互为相反数,则d= ;
(2)若这四个数中最小数与最大数的和等于2 025,求a的值。
8.邮递员从邮局出发,先向西骑行3 km到达A村,继续向西骑行2 km到达B村,然后向东骑行9 km到达C村,最后回到邮局。
(1)如图,请在以邮局为原点,向东为正方向,1 km为1个单位长度的数轴上表示出A,B,C三个村庄的位置;
(2)C村离A村有多远
9.(几何直观)在课后延时服务中,某数学小组在一张白纸上画了一条数轴,如图。
(1)操作一:折叠纸面,使表示1的点与表示-1的点重合,则表示-2的点与表示 的点重合。
(2)操作二:折叠纸面,使表示-1的点与表示3的点重合,回答以下问题:
①表示5的点与表示 的点重合;
②若数轴上A,B两点之间的距离为9(A在B的左侧),且A,B两点经折叠后重合,则A,B两点表示的数分别是多少
【详解答案】
基础达标
1.D 2.C 3.A
4.解:如图所示。
5.D 6.-2 7.B 8.-2 025 原点
9.B
10.解:题中各数在数轴上的表示如图所示:
按从小到大的顺序排列为-4<-1.5<0<3。
能力提升
1.D 解析:因为点B到原点的距离是9,所以点B代表的数是9或-9。因为点A代表的数是3,所以A,B两点间的距离是6或12。故选D。
2.B 解析:由题图知,A,C之间的距离为8,因为点A和点C所表示的两个数的绝对值相等,所以点A表示的数是-4,所以点B表示的数是-3。故选B。
3.C 解析:在数轴上到原点的距离不大于4的整数点有-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,共9个。故选C。
4.A 解析:一个点在数轴上从表示-2的点开始先向右移动1个单位长度后表示的数为-1,再向左移动3个单位长度后表示的数为-4,即这个点表示的数是-4。故选A。
5.D 解析:因为圆的直径为1个单位长度,所以该圆的周长为π,所以将圆沿数轴向左滚动一周时,点B表示的数是-1-π;将圆沿数轴向右滚动一周时,点B表示的数是-1+π。故选D。
6.③ 解析:由题图知,21:30在数轴上用数字9表示,从起床到睡觉一共14 h,则起床时间为7:30,故①说法错误;小明每天睡觉的时长为24-14=10(h),故②说法错误;9-5=4,则吃晚饭的时间为17:30,故③说法正确。综上,正确的是③。
7.解:(1)2
(2)因为相邻两点间的距离均为1个单位长度,所以d=a+3,
因为这四个数中最小数与最大数的和等于2 025,
所以a+d=2 025,
所以a+a+3=2 025,
解得a=1 011,
所以a的值为1 011。
8.解:(1)如图所示:
(2)C村离A村的距离=4+3=7(km),
所以C村离A村7 km。
9.解:(1)2
(2)①-3
②由题意可得,A,B两点到折痕点的距离为9÷2=4.5。
因为表示-1的点与表示3的点重合,所以折痕点是表示1的点,所以A,B两点表示的数分别是-3.5,5.5。第2课时 相反数和绝对值
相反数
1.-的相反数是 ( )
A.5 B.-5 C. D.-
2.(2025徐州丰县期中)下列数中,相反数等于本身的数是 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.
3.写出下列各数的相反数:
10,-12,-4.8,,-。
化简符号
4.-(-4)= 。
5.化简下列各数:
(1)-(-100); (2)-;
(3)+; (4)+(-2.8);
(5)-(-7); (6)-(+12)。
绝对值
6.(2024兰州中考)2 024的绝对值是 ( )
A.-2 024 B.2 024
C. D.-
7.-1的绝对值是 。
8.求下列各数的绝对值:
(1)+3; (2)-7.4;
(3)-8; (4)20。
绝对值的性质
9.有理数中,绝对值等于它本身的数是 ( )
A.0 B.0和1
C.只有正数 D.0和正数
10.回答下列问题:
(1)绝对值是1的数有几个 各是什么
(2)绝对值是0的数有几个 各是什么
(3)绝对值是-2 025的数是否存在 若存在,请写出来。
利用绝对值比较大小
11.(2024广州中考)四个数-10,-1,0,10中,最小的数是 ( )
A.-10 B.-1 C.0 D.10
12.比较下列每对数的大小:
(1)-与-;
(2)-9.1与-9.099。
1.-|-3|= ( )
A.3 B.-3 C.±3 D.1
2.下列各对数中互为相反数的是 ( )
A.+(-2.5)和-2
B.-和+
C.-(-1.8)和+(-1.8)
D.-(-2)和+(+2)
3.在|-7|,-|0|,-|-2|,-(-2)这4个数中负数共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.一实验室检测A,B,C,D四个零件的质量(单位:g),超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,结果如图所示,其中最接近标准质量的零件是 ( )
A B C D
5.-的相反数是 。
6.化简:-= 。
7.(易错题)若|-x|=|-5|,则x= 。
8.比较下列各组数的大小:
(1)-与-0.273;
(2)-|-2.65|与-(-2.6)。
9.计算:
(1)|-3|+|+5|-|-4|;
(2)-(-6)÷|+(-2)|。
10.若|x-2|+|y-3|+|z-5|=0,求:
(1)x,y,z的值;
(2)|x|+|y|+|z|的值。
11.(新定义问题)规定x※y=-|y|,x△y=-x,如当x=3,y=4时,x※y=-|4|=-4,x△y=-3。根据以上运算法则比较5※(-7)与5△(-7)的大小。
12.(应用意识)根据|a|大于或等于0这条性质,解答下列问题:
(1)当a= 时,|a-4|有最小值,此时最小值为 。
(2)当a取何值时,|a-1|+3有最小值 这个最小值是多少
(3)当a取何值时,4-|a|有最大值 这个最大值是多少
【详解答案】
基础达标
1.C 2.C
3.解:题中各数的相反数分别是-10,12,4.8,-,。
4.4
5.解:(1)-(-100)=100。
(2)-=5。
(3)+。
(4)+(-2.8)=-2.8。
(5)-(-7)=7。
(6)-(+12)=-12。
6.B 7.1
8.解:(1)=3。
(2)|-7.4|=7.4。
(3)=8。
(4)|20|=20。
9.D
10.解:(1)绝对值是1的数有2个,是1和-1。
(2)绝对值是0的数有1个,是0。
(3)绝对值是-2 025的数不存在。
11.A
12.解:(1)因为-=-<0,-=-<0,,
所以->-。
(2)因为-9.1<0,-9.099<0,
|-9.1|>|-9.099|,
所以-9.1<-9.099。
能力提升
1.B 解析:因为|-3|=3,
所以-|-3|=-3。故选B。
2.C 解析:A.+(-2.5)=-2.5,-2=-2.5,则两数相等,不符合题意;B.-=-4,+=-4,则两数相等,不符合题意;C.-(-1.8)=1.8,+(-1.8)=-1.8,则两数互为相反数,符合题意;D.-(-2)=2,+(+2)=2,则两数相等,不符合题意。故选C。
3.A 解析:|-7|=7>0,是正数;
-|0|=0,0既不是正数,也不是负数;-|-2|=-2<0,是负数;-(-2)=2>0,是正数;
所以负数有-|-2|,共1个。
故选A。
4.B 解析:因为|+1.3|=1.3,
|+0.3|=0.3,|-0.9|=0.9,
|-2.9|=2.9,0.3<0.9<1.3<2.9,所以从轻重的角度看,最接近标准质量的零件是B。故选B。
5.- 解析:-,的相反数是-。
6.- 解析:-=-。
7.±5 解析:因为|-x|=|-5|,
所以|-x|=5,所以x=±5。
8.解:(1)因为≈0.272 7,
0.272 7<0.273,
所以->-0.273。
(2)因为-|-2.65|=-2.65,
-(-2.6)=2.6,
所以-(-2.6)>-|-2.65|。
9.解:(1)|-3|+|+5|-|-4|=3+5-4=4。
(2)-(-6)÷|+(-2)|=6÷2=3。
10.解:(1)因为|x-2|+|y-3|+|z-5|=0,所以x-2=0且y-3=0且z-5=0,所以x=2,y=3,z=5。
(2)|x|+|y|+|z|=|2|+|3|+|5|=2+3+5=10。
11.解:因为5※(-7)=-|-7|=-7,5△(-7)=-5,又-7<-5,
所以5※(-7)<5△(-7)。
12.解:(1)4 0
(2)当a=1时,|a-1|+3有最小值,这个最小值是3。
(3)当a=0时,4-|a|有最大值,这个最大值是4。
