第1课时 探索数字与图形规律
探索日历图、数表中的规律
1.(2025泸州江阳区期中)如图,填在下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,c的值是 ( )
3 8
5 -34
5 12
7 -74
7 16
9 -130
9 b
a c
A.-206 B.-204
C.-202 D.-200
2.如图是某月的日历,用带阴影的框恰好盖住四个数,若这样的阴影框可以上下左右移动,选中覆盖了这张日历表中的4个数,设a表示的数是x,则这4个数的和为 。(用含x的代数式表示)
探索数式中的规律
3.已知一组数:-2,4,-8,16,-32,…,按此规律,则第n个数是 ( )
A.2n B.(-2)n
C.2n-1 D.(-2)n-1
4.下面有10个算式,排成5行2列。
2+2, 2×2;
3+, 3×;
4+, 4×;
5+, 5×;
6+, 6×。
(1)同一行中两个算式的结果有什么特点
(2)算式2 025+和2 025×的结果呢
(3)请你写出一组有此特点的算式。
(4)探索其规律并用含自然数n的代数式表示这一规律。
探索图形中的规律
5.(2024牡丹江中考)如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形,第1个图有4个三角形,第2个图有7个三角形,第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去,第674个图中三角形的个数是 ( )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
6.如图,图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成,其中,第1个图形中面积为1的正方形有9个,第2个图形中面积为1的正方形有14个……按此规律,则第n个图形中面积为1的正方形的个数为 。
1.(2025自贡期中)观察下列关于x的单项式,探究其规律:2x3,-5x5,10x7,-17x9,26x11,-37x13,…,按照上述规律,第100个单项式是 ( )
A.1 001x101 B.-1 001x101
C.10 001x201 D.-10 001x201
2.将正奇数按下表排成5列:
项目 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 3 5 7
第2行 15 13 11 9
第3行 17 19 21 23
… … … 27 25
若2 025在第m行第n列,则m+n= ( )
A.254 B.255 C.258 D.259
3.用平行四边形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有2个平行四边形,第②个图案中有5个平行四边形,第③个图案中有8个平行四边形,第④个图案中有11个平行四边形,…,按此规律,则第⑧个图案中,平行四边形的个数是 ( )
① ② ③ ④
A.20 B.21 C.23 D.26
4.(2024潍坊中考)将连续的正整数排成如图所示的数表。记a(i,j)为数表中第i行第j列位置的数字,如a(1,2)=4,a(3,2)=8,a(5,4)=22。若a(m,n)=2 024,则m= ,n= 。
1 4 → 5 16 → 17
↓ ↑ ↓ ↑ ↓
2 → 3 6 15 18
↓ ↑ ↓
9 ← 8 ← 7 14 19
↓ ↑ ↓
10 → 11 → 12 → 13 20
↓
25 ← 24 ← 23 ← 22 ← 21
↓
26 → 27 → 28 → 29 → …
5.如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:第1个图案中有两个正方形,第2个图案中有4个正方形,…,依此规律,第15个图案中有 个正方形。
…
第1个 第2个 第3个 第4个
6.(推理能力)【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案,其中第1个图案有5个正方形;第2个图案有9个正方形;第3个图案有13个正方形……
第1个 第2个 第3个 第4个
【规律发现】
(1)第5个图案有 个正方形;
(2)第n(n是正整数)个图案有 (用含n的代数式表示)个正方形;
【规律应用】
(3)结合图案中正方形的组合方式,小明说:“用403个正方形可以组成符合该规律的图案。”判断小明的说法是否正确,并说明理由。
【详解答案】
基础达标
1.C 2.4x+14 3.B
4.解:(1)同一行中两个算式的结果相等。
(2)2 025+=2 025×。
(3)100+=100×。(答案不唯一)
(4)(n+1)+=(n+1)×。
5.B 6.5n+4
能力提升
1.D 解析:单项式的次数为2,-5,10,-17,26,-37,
因为2=(-1)1+1×(12+1),
-5=(-1)2+1×(22+1),
10=(-1)3+1×(32+1),
-17=(-1)4+1×(42+1),
…
所以第n个单项式的系数为(-1)n+1×(n2+1),所以第100个单项式的系数为(-1)100+1×(1002+1)=(-1)×(10 000+1)=-10 001,因为单项式的次数依次为3,5,7,9,11,…,所以第n个单项式的次数为2n+1,所以第100个单项式的次数为2×100+1=201,故第100个单项式是-10 001x201。故选D。
2.C 解析:根据题意得,第x行第3列的数为8x-5,因为8×254-5=2 027,所以2 025应该在第254行第4列,所以m+n=254+4=258。故选C。
3.C 解析:由所给图形可知,第①个图案中,平行四边形的个数为2=1×3-1;第②个图案中,平行四边形的个数为5=2×3-1;第③个图案中,平行四边形的个数为8=3×3-1;第④个图案中,平行四边形的个数为11=4×3-1;…,所以第个图案中,平行四边形的个数为3n-1,当n=8时,3n-1=23(个),即第⑧个图案中,平行四边形的个数为23。故选C。
4.45 2 解析:由题图可知,当正整数为k2时,若k为奇数,则k2在第k行,第1列,下一个数在下一行,上一个数在第2列;若k为偶数,则k2在第1行,第k列,下一个数在下一列,上一个数在第2行。因为a(m,n)=2 024=2 025-1=452-1,而2 025=452,在第45行,第1列,所以2 024在第45行,第2列,所以m=45,n=2。
5.121 解析:因为第1个图案中有两个正方形,即2=1+1,第2个图案中有4个正方形,即4=1+2+1,第3个图案中有7个正方形,即7=1+2+3+1,第4个图案中有11个正方形,即11=1+2+3+4+1,…,依此规律,所以第n个图案中正方形的个数为1+2+3+…+n+1=+1,所以第15个图案中正方形的个数为+1=121(个)。
6.解:(1)21
(2)(4n+1)
(3)不正确,理由如下:令4n+1=403,
解得n=,因为不是正整数,
所以用403个正方形不可以组成符合该规律的图案,故小明的说法不正确。第2课时 借助运算解释规律和现象
借助运算解释规律和现象
1.数学活动课上,老师做了一个有趣的游戏:开始时东东、亮亮、乐乐三位同学手中均有a张扑克牌(假定a足够大),然后依次完成以下三个步骤:第一步,东东拿出2张扑克牌给亮亮;第二步,乐乐拿出3张扑克牌给亮亮;第三步,东东手中此时有多少张扑克牌,亮亮就拿出多少张扑克牌给东东。游戏过程中,亮亮手中扑克牌张数的变化情况正确的是 ( )
A.a→a+2→a+3→1 B.a→a+2→a+5→3
C.a→a+2→a+5→2a+3 D.a→a+2→a+5→7
2.小明和小强做游戏,小明说:“你在心中想好一个两位数,对这个两位数进行如下的运算:①这个两位数的十位数字和个位数字相加,将所得的和乘11;②用原两位数的十位数字减去个位数字,将所得的差乘9;③用①中所得的结果减去②中所得的结果,所得的差加上16,得到最终的结果,把这个结果告诉我,我就能猜出你心中想的数了。”小强算的结果为50,请帮小明算出小强心中想的数为 。
1.有一列数,记第n个数为an,已知a1=2,当n>1时,若n为偶数,an=;若n为奇数,an=。则a2 025的值为 ( )
A.2 B. C.1 D.
2.已知整数a1,a2,a3,a4,…满足下列条件:a1=0,a2=-|a1+1|,a3=-|a2+2|,a4=-|a3+3|,…以此类推,则a2 025的值为 ( )
A.-1 012 B.-1 011 C.-2 024 D.-2 025
3.小明在研究数学问题时发现一个有趣的现象:
请你用不同的三位数再做做,发现什么有趣的现象 用你所学过的知识解释。
4.(创新意识)若一个三位数的百位数字与个位数字的和是十位数字的2倍,则称这个三位数是“团结数”。例如:246的百位数字为2,个位数字为6,十位数字为4,满足2+6=4×2,则称246是“团结数”。
(1)任写一个小于200的“团结数”;
(2)请说明任意一个“团结数”一定是3的倍数。
【详解答案】
基础达标
1.D 2.71
能力提升
1.A 解析:因为a1=2,所以a2=,a3==2,a4=,a5=2,a6=,…,
由此可知,当n为偶数时,an=,当n为奇数时,an=2,
所以a2 025=2。故选A。
2.A 解析:根据题意可得,a1=0,
a2=-|a1+1|=-1,
a3=-|a2+2|=-1,
a4=-|a3+3|=-2,
a5=-|a4+4|=-2,
a6=-|a5+5|=-3,
a7=-|a6+6|=-3,
a8=-|a7+7|=-4,
a9=-|a8+8|=-4,
…
所以当n是奇数时,an=-,
当n是偶数时,an=-,所以a2 025=-=-1 012。
故选A。
3.解:(举例不唯一)如:614-416=198,198+891=1 089。发现:结果一定是1 089。
设百位数字为a(2
则该三位数为100a+10b+a-2=101a+10b-2,
所以交换百位数字与个位数字后的三位数为100(a-2)+10b+a=101a+10b-200,
(101a+10b-2)-(101a+10b-200)=198,
所以198+891=1 089,所以结果一定是1 089。
4.解:(1)根据“团结数”的定义,小于200的“团结数”有111,123,135,147,159。(任写其中一个即可)
(2)设“团结数”的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则a+c=2b,则a+b+c=3b,所以任意一个“团结数”一定是3的倍数。