第2课时 和差倍分问题
和差倍分问题
1.(五育文化)“3·5”学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中,小明为环卫工刘爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生,小明了解到,再过5年,刘爷爷的年纪正好是自己的4倍,小明今年13岁,设刘爷爷今年x岁,则可列方程为 ( )
A.4×(13+5)=x+5
B.4x=13+5
C.4×13=x+5
D.13+5=4(x+5)
2.(数学文化)《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每日读多少 ”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字 已知《孟子》一书共有34 685个字,设他第一天读x个字,则下面所列方程正确的是 ( )
A.x+2x+4x=34 685
B.x+2x+3x=34 685
C.x+2x+2x=34 685
D.x+x+x=34 685
3.“鸡兔同笼”是诗歌形式的数学题:“鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露,看来脚有一百只,几多鸡儿几多兔 ”要解决此问题,可设兔有x只,则所列方程是 ( )
A.4x+2(36-x)=100
B.2x+4(36-x)=100
C.x+2(36+x)=100
D.2x+2(36-x)=100
4.甲、乙两个旅行团共80人,甲团人数比乙团人数的2倍多5人。甲、乙两个旅行团各有多少人 若设乙旅行团的人数是x人,则可列一元一次方程为 。(方程不需要化简)
5.一个两位数,十位数字是个位数字的2倍,将个位数字与十位数字调换,得到一个新的两位数,这两个两位数的和是132,则原来的两位数为 。
6.塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗,已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1 007万立方米,已成为目前世界上最大的人工林场;又知现在该林场的林木总蓄积比原来的31倍还多17万立方米,请问该林场原来的林木总蓄积是多少万立方米
1.某区中学生足球赛共赛8轮(即每队均参赛8场),胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分。在这次足球赛中,育才中学阳光足球队只输了一场球,共得17分,则该足球队胜了 ( )
A.6场 B.5场 C.4场 D.3场
2.一根铁丝,第一次用去它的一半少1 m,第二次用去剩下的一半多1 m,结果还剩下3 m。求这根铁丝原来有多长 设这根铁丝原来的长度为x m,则列出方程为 ( )
A.x-=3
B.x-=3
C.x-=3
D.x-=3
3.某市计划在一段公路的一侧栽上银杏树,要求路的两端各栽一棵,并且相邻两棵树的间隔都相等。现有树苗x棵,如果每隔5 m栽1棵,则树苗缺21棵;如果每隔6 m栽1棵,则树苗正好用完,则下列选项正确的是 ( )
A.-1=+1
B.5(x+21-1)=6(x-1)
C.现有树苗105棵
D.这段公路长620 m
4.大年初一妈妈给了小明一笔压岁钱,小明设想了两种压岁钱的使用方案。方案一:先用其中的给妈妈买束鲜花,再用剩余部分的给爸爸买条围巾,再用140元给自己买学习资料,剩余的钱刚好够买3张电影票和爸爸妈妈一起去看电影。方案二:请好朋友们去看电影,一共13人,买完电影票钱恰好用完。那么小明的压岁钱有 元,电影票单价为 元。
5.(2025徐州期末)为了丰富学生的课余生活,拓展学生的视野,学校文具店准备购进甲、乙两类中学生书刊。若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6 400元,其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表:
项目 甲 乙
进价/(元/本) m m-2
售价/(元/本) 20 13
(1)求甲、乙两类书刊的进价;
(2)第一次文具店购进的甲、乙两类书刊共800本,全部售完后总利润为5 750元,求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本
6.(应用意识)为鼓励居民节约用水,某市自来水公司以如表所示的标准收取水费:
月用水量 单价/(元/m3)
不超过20 m3 2.8
超过20 m3的部分 3.8
另:每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费
(1)如果月用水量不超过20 m3,那么实际每立方米收取水费 元;如果7月份嘉淇家的用水量为15 m3,那么嘉淇家7月份应该缴纳水费 元。
(2)如果嘉淇家8月份共缴纳水费72元,那么她家8月份用水多少立方米
(3)若嘉淇家水表9月份出现了故障,只有60%的用水量计入水表中,这样她家在9月份只缴纳了45元水费,问嘉淇家9月份实际应该缴纳水费多少元
【详解答案】
基础达标
1.A 2.A 3.A 4.x+(2x+5)=80
5.84
6.解:设该林场原来的林木总蓄积是x万立方米,则现在该林场的林木总蓄积是(31x+17)万立方米,根据题意,得31x+17-x=1 007,解得x=33。
答:该林场原来的林木总蓄积是33万立方米。
能力提升
1.B 解析:设该足球队胜了x场,则平了(8-1-x)场,依题意,得3x+(8-1-x)=17,解得x=5。故选B。
2.B 解析:因为第一次用去它的一半少1 m,即m,所以第一次剩余x-(-1)=m,因为第二次用去剩下的一半多1 m,所以第二次用去[×(+1)+1]m。根据题意,得x-(-1)-=3。故选B。
3.B 解析:因为每隔5 m栽1棵,则树苗缺21棵,所以公路长5(x+21-1)m,因为每隔6 m栽1棵,则树苗正好用完,所以公路长6(x-1)m,所以5(x+21-1)=6(x-1),故选项A错误,选项B正确;解方程得x=106,所以现有树苗106棵,故选项C错误;所以6(x-1)=6×(106-1)=630,所以公路长630 m,故选项D错误。故选B。
4.520 40 解析:设小明的压岁钱有x元,则电影票单价为元,
(x-)+140+x=x,
解得x=520,所以=40,即小明的压岁钱有520元,电影票单价为40元。
5.解:(1)购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6 400元,
则400m+300(m-2)=6 400,
解得m=10,
所以m-2=10-2=8。
答:甲类书刊的进价是10元/本,乙类书刊的进价是8元/本。
(2)设甲类书刊购进x本,则乙类书刊购进(800-x)本,则(20-10)x+(13-8)(800-x)=5 750,
解得x=350,
所以800-x=800-350=450。
答:甲类书刊购进350本,乙类书刊购进450本。
6.解:(1)3 45
(2)设嘉淇家8月份用水x m3,
因为3×20=60(元),60<72,所以x>20。
根据题意,得3×20+(3.8+0.2)(x-20)=72,
解得x=23。
答:嘉淇家8月份用水23 m3。
(3)设嘉淇家9月份实际用水y m3,
根据题意,得3×60%y=45,
解得y=25,
所以3×20+(3.8+0.2)(y-20)=3×20+(3.8+0.2)×(25-20)=80(元)。
答:嘉淇家9月份实际应该缴纳水费80元。第1课时 几何图形问题
几何图形问题
1.长方形的周长为18 cm,长比宽多1 cm,设宽为x cm,依题意列方程,下列正确的是 ( )
A.x+(x+1)=18 B.2x+2(x+1)=18
C.x+(x-1)=18 D.2x+2(x-1)=18
2.已知底面半径为5 cm,高为7 cm的圆柱的体积是底面直径为4 cm,高为x cm的圆柱的体积的5倍,则下列方程正确的是 ( )
A.5π×42×x=π×52×7 B.π×42×x=5π×52×7
C.5π××x=π××7 D.5π××x=π×52×7
3.如图,在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器,其内部底面积分别为80 cm2、100 cm2,且甲容器装有水,乙容器是空的。若将甲中的水全部倒入乙中,则乙中的水位高度比原来甲中的水位高度低8 cm,则原来甲中的水位高度为 ( )
A.16 cm B.32 cm C.40 cm D.50 cm
4.一个底面直径为16 cm的圆柱形木桶内装满水,水中淹没着一个底面直径为8 cm、高为15 cm的铁质小圆柱体。当铁质小圆柱体被取出后,木桶内水面下降 cm。
5.(教材变式)已知一个长方形的周长为60 cm。
(1)若它的长比宽多6 cm,这个长方形的宽是多少
(2)若它的长与宽的比是2∶1,这个长方形的长是多少
6.将一个底面半径为6 cm,高为40 cm的“瘦长”圆柱形钢材锻压成底面半径为12 cm的“矮胖”圆柱形零件毛坯,请问毛坯的高是多少
1.(2025武汉期中)如图,三个形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形。如果大长方形的周长为50 cm,那么一个小长方形的面积是 ( )
A.45 cm2 B.50 cm2
C.60 cm2 D.75 cm2
2.如图所示的两个长方体容器中液体体积相同,根据图中信息,以下结论正确的是 ( )
A.81x=36(x+5)
B.81x=36(x-5)
C.甲容器中液体的体积为405
D.乙容器中液面的高度为10
3.已知一个小长方形的长和宽分别是x和2,将5个形状、大小相同的小长方形放置在如图所示的大长方形中,所标尺寸如图所示,则图中阴影的部分面积是 ( )
A.18 B.27 C.29 D.33
4.如图,一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形,中间最小的正方形的边长为2,则该长方形的周长为 ( )
A.86 B.88 C.90 D.96
5.一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动。如图1是一个正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子,已知该长方体的宽是高的2倍,长比高多3 cm,则这个正方形纸板的边长为 cm。
图1 图2
6.(2025保定高碑店期末)如图,将一张正方形纸片剪去一个宽为3 cm的长方形纸条,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1 cm的长方形纸条。
(1)如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条的周长的2倍,求原正方形纸片的边长;
(2)第一次剪下的长方形纸条的面积可不可能是第二次剪下的长方形纸条的面积的3倍(用方程的知识解释)
7.(应用意识)根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)放入一个小球水面升高 cm,放入一个大球水面升高 cm;
(2)如果要使水面上升到50 cm,应放入大球、小球各多少个
【详解答案】
基础达标
1.B 2.D 3.C 4.3.75
5.解:(1)设长方形的宽为x cm,则长为(x+6)cm。根据题意,得2[x+(x+6)]=60。
解这个方程,得x=12。
因此,这个长方形的宽是12 cm。
(2)设长方形的宽为a cm,则长为2a cm。根据题意,得2(2a+a)=60。
解这个方程,得a=10,则2a=20。
因此,这个长方形的长是20 cm。
6.解:设毛坯的高为x cm,根据题意,得
π×62×40=π×122×x。解得x=10。
答:毛坯的高是10 cm。
能力提升
1.B 解析:设小长方形的宽为x cm,则长为2x cm,根据题意,得2[(2x+x)+2x]=50,解这个方程,得x=5,所以2x·x=2×5×5=50(cm2)。故选B。
2.A 解析:由题意可知,V甲=9×9x=81x,V乙=6×6(x+5)=36(x+5),
因为两个长方体容器中液体体积相同,
所以81x=36(x+5),解得x=4,
所以V甲=V乙=81x=81×4=324,
乙容器中液面的高度为5+4=9,
综上所述,A正确;B,C,D均错误。故选A。
3.C 解析:由题意可得,(x+2×2)(x+2)=2x×5+S阴影,因为5=x+2-2×2,所以x=7,所以S阴影=(7+4)×(7+2)-2×7×5=29。故选C。
4.D 解析:如图,给各正方形编上序号。
设正方形2的边长为x,则正方形3的边长为x,正方形4的边长为(x+2),正方形5的边长为(x+4),正方形6的边长为(x+6),根据题意,得x+x+x+2=x+4+x+6,解得x=8,
所以2[x+x+(x+2)+(x+2)+(x+4)]=2×[8+8+(8+2)+(8+2)+(8+4)]=96。故选D。
5.6 解析:设长方体的高为x cm,
则宽为2x cm,长为(x+3)cm,根据题意,得x+3+2x=2×2x+2x,
解得x=1,所以x+3+2x=6。
6.解:(1)设原正方形纸片的边长为x cm,
根据题意,得2(x+3)=2×2(x-3+1),
解得x=7。
答:原正方形纸片的边长为7 cm。
(2)假设第一次剪下的长方形纸条的面积是第二次剪下的长方形纸条面积的3倍,设原正方形纸片的边长为x cm,则
3x=3×1×(x-3)
整理得3x=3x-9,方程无解,
所以第一次剪下的长方形纸条的面积不可能是第二次剪下的长方形纸条的面积的3倍。
7.解:(1)2 3
(2)设应放入大球x个,则放入小球(10-x)个。根据题意,得
3x+2(10-x)=50-26。
解这个方程,得x=4。
所以10-x=10-4=6。
因此,应放入大球4个,小球6个。第3课时 行程问题
相遇问题
1.(数学文化)《九章算术》中记载了一个数学问题,译文是:甲从长安出发,5日到齐国。乙从齐国出发,7日到长安,现乙先出发2日,甲才从长安出发。问甲经过多少日与乙相逢 设甲经过x日与乙相逢,可列方程为 ( )
A.=1 B.=1
C. D.=1
2.两地相距600 km,甲、乙两车分别从两地同时出发相向而行,甲车比乙车每小时多走10 km,4 h后两车相遇,则乙车的速度是 ( )
A.70 km/h B.75 km/h
C.80 km/h D.85 km/h
3.小刚和小强从A,B两地同时出发,小刚骑自行车,小强步行,沿同一条路线相向而行,出发后2 h两人相遇,相遇时小刚比小强多行进24 km,相遇后0.5 h小刚到达B地,小刚和小强的行进速度分别是多少 相遇后经过多长时间小强到达A地
追及问题
4.(2024宜宾中考)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之 ”其大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,问快马几天可追上慢马 则快马追上慢马的天数是 ( )
A.5天 B.10天 C.15天 D.20天
5.甲、乙两人约定步行从学校出发,沿同一路线到距离学校1 200 m的图书馆看书。甲先出发,步行的速度是40 m/min。乙比甲晚出发4 min,比甲早2 min到达图书馆。
(1)求乙步行从学校到图书馆的时间和速度;
(2)求甲出发多长时间后乙追上甲(要求列方程解答)。
1.(2025凤城期末)如图,甲、乙两人沿着边长为70 m的正方形,按A→B→C→D→A…的方向行走。甲从点A以65 m/min的速度行走,乙从点B以72 m/min的速度行走,甲、乙两人同时出发,当乙第一次追上甲时,所在正方形的边为 ( )
A.AB B.BC C.CD D.AD
2.(数学文化)《九章算术》中有一道题,译文是:相同时间内,走路快的人走100步,走路慢的人只走60步。若走路慢的人先走100步,走路快的人要走多少步才能追上(注:步为长度单位) 设走路快的人要走x步才能追上,则下列选项正确的是 ( )
A.x=100-x
B.x=100+x
C.走路快的人要走200步才能追上
D.从走路快的人出发时开始算,当走路慢的人再走600步时,两人相隔400步
3.(2025沈阳和平区月考)甲、乙两人骑自行车,同时从相距65 km的两地相向而行,甲的速度是17.5 km/h,乙的速度是15 km/h,经过 h,两人相距32.5 km。
4.一快递员骑电动三轮车需要在规定的时间内把快递送到某地,若每小时行驶40 km,就早到12 min;若每小时行驶30 km,就要迟到8 min。求快递员所要骑行的路程。
5.甲、乙两人在300 m环形跑道上练习长跑,甲的速度是6 m/s,乙的速度是7 m/s。
(1)如果甲、乙两人同地反向跑,乙先跑2 s,再经过多少秒两人首次相遇
(2)如果甲、乙两人同时同地同向跑,乙跑几圈后能首次追上甲
(3)如果甲、乙两人同时同向跑,乙在甲前面6 m,经过多少秒后两人第二次相遇
6.(应用意识)某中学学生步行到郊外旅行。七(1)班的学生组成前队,步行速度为4 km/h,七(2)班的学生组成后队,步行速度为6 km/h;前队出发1 h后,后队才出发,同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络,他骑车的速度为10 km/h。
(1)后队追上前队需要多长时间
(2)后队追上前队的这段时间内,联络员走的路程是多少
(3)两队何时相距2 km
【详解答案】
基础达标
1.D 2.A
3.解:设小刚行进的速度为x km/h,
则相遇时小刚走了2x km,小强走了(2x-24)km,
由题意,得2x-24=0.5x,
解得x=16,
则小强的行进速度为(2×16-24)÷2=4(km/h),
2×16÷4=8(h)。
答:小刚和小强的行进速度分别是16 km/h,4 km/h,相遇后经过8 h小强到达A地。
4.D
5.解:(1)甲步行从学校到图书馆所用的时间为=30(min),
乙所用的时间为30-4-2=24(min),
乙的速度为=50(m/min)。
答:乙步行从学校到图书馆的时间为24 min,乙的速度为50 m/min。
(2)设甲出发x min后乙追上甲,则此时乙出发(x-4)min,
根据题意,得40x=50(x-4),
解得x=20。
答:甲出发20 min后乙追上甲。
能力提升
1.D 解析:设乙第一次追上甲用了x min,
由题意,得72x-65x=70×3,解得x=30,而72×30=2 160=70×30+60,30÷4=7……2,所以乙走到点D,再走60 m即可追上甲,即在AD边上。所以乙第一次追上甲时是在AD边上。故选D。
2.B 解析:走路快的人要走x步才能追上,则此段时间内走路慢的人走步,依题意,得×60+100=x。解得x=250,则走路快的人要走250步才能追上走路慢的人。设走路慢的人再走600步时,走路快的人走y步,由题意,得y∶600=100∶60,所以y=1 000,因为1 000-600-100=300,所以当走路慢的人再走600步时,走路快的人在前面,两人相隔300步。观察选项,只有选项B符合题意。故选B。
3.1或3 解析:设经过x h,两人相距32.5 km,根据题意,得(17.5+15)x=65-32.5或(17.5+15)x=65+32.5,解得x=1或x=3,所以经过1或3 h,两人相距32.5 km。
4.解:设送件的规定时间为x h,根据题意,得40=30。
解这个方程,得x=。
所以40×=40(km)。
因此,快递员所要骑行的路程为40 km。
5.解:(1)设再经过x s甲、乙两人首次相遇,则7×2+7x+6x=300,
解得x=22。
所以再经过22 s甲、乙两人首次相遇。
(2)设经过y s后乙首次追上甲,则
7y-6y=300,
解得y=300。
因为乙跑一圈需 s,
所以乙跑了300÷=7(圈)。
所以乙跑7圈后首次追上甲。
(3)设经过t s后两人第二次相遇,
依题意,得7t=6t+(300×2-6),
解得t=594。
所以经过594 s后两人第二次相遇。
6.解:(1)设后队追上前队需要x h,根据题意,得(6-4)x=4×1。
解这个方程,得x=2。
因此,后队追上前队需要2 h。
(2)由(1)得,后队追上前队的这段时间内,联络员走的路程为10×2=20(km)。
因此,后队追上前队的这段时间内,联络员走的路程是20 km。
(3)要分三种情况讨论:
①当前队出发半小时后,两队相距4×=2(km)。
②当后队还没有追上前队时,设后队出发y h后与前队相距2 km,根据题意,得(6-4)y=4-2。
解这个方程,得y=1。
所以当后队出发1 h后两队相距2 km。
③当后队追上前队后,设后队出发z h后与前队相距2 km,根据题意,得(6-4)z=4+2。
解这个方程,得z=3。
所以当后队出发3 h后两队相距2 km。
综上所述,当前队出发0.5 h或2 h或4 h后,两队相距2 km。
