专题训练四 有理数大小的比较
利用数轴比较有理数的大小
1.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则数a,b,-a,-b的大小关系为 ( )
A.-a<-b
B.-aC.-aD.-a<-b2.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,将a,b,|a|,-b按从大到小的顺序排列,并用“>”连接,结果为 。
3.在数轴上表示下列各数,并按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来。
-5,|-0.5|,0,3,-(-2)。
4.点A,B在数轴上的位置如图所示,它们分别表示数a,b。
(1)请将a,b,1,-1四个数按从小到大的顺序用“<”连接起来;
(2)若将点B向右移动3个单位长度,请将a,b,-1三个数按从小到大的顺序用“<”连接起来。
利用法则比较有理数的大小
5.(2024贵州中考)下列有理数中最小的数是 ( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
6.下列四个数中,最大的数是 ( )
A. B.-3 C.3 D.-4
7.(2024浙江中考)以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是 ( )
北京 济南 太原 郑州
0 ℃ -1 ℃ -2 ℃ 3 ℃
A.北京 B.济南 C.太原 D.郑州
8.比较大小:- -|-1.35|。(填“<”“>”或“=”)
9.比较下列各对数的大小:
(1)-(-1)和0;
(2)-(+3)和2;
(3)|-4|与-4;
(4)-|-3|与|-(-3)|。
利用绝对值比较有理数的大小
10.下列有理数大小关系判断正确的是 ( )
A.->-
B.0>|-10|
C.|-3|<|+3|
D.-1>-0.01
11.在-1,0,-,-4这四个数中,绝对值最大的数是 ( )
A.-1 B.0
C.- D.-4
12.(2025沈阳铁西区期中)在有理数-,-2,-1,-5中最大的是 ( )
A.- B.-2 C.-1 D.-5
13.比较大小:- -。(填“>”“<”或“=”)
14.比较下列每组数的大小:
(1)-和-; (2)-和-3.1;
(3)-和-; (4)-和-。
利用特殊值比较有理数的大小
15.(2025常德期中)已知0A.>->-a>a
B.->a>-a>
C.>a>->-a
D.>a>-a>-
16.若a,b为有理数,a>0,b<0,且|a|<|b|,那么a,b,-a,-b的大小关系是 ( )
A.b<-a<-bB.b<-b<-aC.b<-aD.-a<-b利用作差法比较有理数的大小
17.已知A=987 654 321×123 456 789,B=987 654 322×123 456 788,试比较A与B的大小。
利用作商法比较有理数的大小
18.利用作商法,比较-与-的大小。
【详解答案】
1.C 解析:将-a,-b在数轴上表示如图:
所以-a2.b>|a|>a>-b 解析:将|a|,-b在数轴上表示如图:
所以b>|a|>a>-b。
3.解:因为|-0.5|=0.5,3=3.5,-(-2)=2,
所以题中各数在数轴上表示如图:
所以-5<0<|-0.5|<-(-2)<3。
4.解:(1)b<-1(2)点B向右移动3个单位长度得到的数如图所示:
则有-15.A 6.A 7.C 8.>
9.解:(1)-(-1)=1>0,即-(-1)>0。
(2)-(+3)=-3<2,即-(+3)<2。
(3)|-4|=4>-4,即|-4|>-4。
(4)-|-3|=-3,|-(-3)|=3,
故-|-3|<|-(-3)|。
10.A 解析:A.-,
-=-,
所以->-;
B.0<|-10|=10;
C.|-3|=3=|+3|=3;
D.-1<-0.01。故选A。
11.D 解析:|-1|=1,|0|=0,,=4,
因为0<1<<4,
所以-4的绝对值最大。故选D。
12.A 解析:因为|-5|>|-2|>|-1|>,
所以-5<-2<-1<-,
所以最大的数为-。故选A。
13.< 解析:因为,
,,
所以-<-。
14.解:(1)因为,
,,
所以-<-。
(2)因为,|-3.1|=3.1,>3.1,所以-<-3.1。
(3)因为,,
,所以-<-。
(4)因为,,
,所以->-。
15.D 解析:令a=0.5,
则-a=-0.5,-=-2,=2,因为2>0.5>-0.5>-2,所以>a>-a>-。故选D。
16.C 解析:设a=1,b=-2,则-a=-1,-b=2,因为-2<-1<1<2,所以b<-a17.解:因为A-B=987 654 321×123 456 789-987 654 322×123 456 788
=987 654 321×(123 456 788+1)-(987 654 321+1)×123 456 788=987 654 321-123 456 788>0,所以A>B。
18.解:因为-<0,-<0,÷
>1,所以-<-。专题训练五 有理数的混合运算技巧
归类——将同类数(如正数、整数、分数等)归类计算
1.计算:+(-3)++3。
2.计算:-+5-+4。
3.计算:(-55)+1+(-45)+100+。
凑整——将和(积)为整数的数结合计算
4.计算:(-4)×(-18.36)×2.5。
5.计算:(-32)+71+(-46)+89+32+(-114)。
6.计算:3.6++(-2.8)。
7.计算:。
变序——运用运算律改变运算顺序
8.计算:0.1×-6×+0.1×。
9.计算:(-13)×-0.34××(-13)-×0.34。
10.计算:-21-19。
分解——将一个数拆分成两个或几个数之和的形式或将乘积运算分解成和差运算
11.计算:。
12.计算:2 026×。
13.(2025晋江月考)阅读下面的材料:
计算:79×(-8)。
解:79×(-8)=×(-8)
=80×(-8)-×(-8)
=-640+
=-639。
应用:根据你对材料的理解,计算:99×(-6)。
14.数学活动课上,李老师列举了以下等式:
第1个等式:=1-;
第2个等式:;
第3个等式:;
……
认真观察上面的序列等式的变化,寻找其中的规律,根据等式规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ;
(2)利用等式规律计算:+…++。
换位——将被除数与除数颠倒位置
15.(2025东莞月考)阅读下列材料:
计算:50÷。
解法一:原式=50÷-50÷+50÷=50×3-50×4+50×12=550;
解法二:原式的倒数为()÷50=,故原式=300。
(1)解法一对吗 为什么
(2)请你用解法二的方法计算:。
(3)计算:。
【详解答案】
1.解:原式=+(3-3)=。
2.解:原式=+(-)+(5+4)=-1-1+9=7。
3.解:原式=(-55-45+100)+(1-1)=(-100+100)+=0+。
4.解:原式=(-4)×2.5×(-18.36)=(-10)×(-18.36)=10×18.36=183.6。
5.解:原式=(-32+32)+(71+89)+(-46-114)=0+160-160=0。
6.解:原式=+=9-10=-1。
7.解:原式===3-7=-4。
8.解:原式=0.1×+0.1×-6×=0.1××(-6+1)=0.1-3=-2.9。
9.解:原式=(-13)×-0.34×=-13-0.34=-13.34。
10.解:原式=+21-19=(-11+21-19)×=
(-10)×=-12+=
-11。
11.解:原式=-5-+12+-3-+6+=(-5+12-3+6)+=10-1+1=10。
12.解:原式=(2 025+1)×=
2 025×=2 024。
13.解:原式=×(-6)=100×(-6)-×(-6)=-600+=-599。
14.解:(1)
(2)原式=+…+()+=1-+…+=1-。
15.解:(1)解法一不对。
理由:除法没有分配律,故解法一不对。
(2)原式的倒数为()÷×(-30)+×(-30)-×(-30)-×(-30)=-10-5+12+15=12,
故原式=。
(3)(1)÷(-)=×(-)-×(-)-×(-)=-2-(-1)-(-)=-2+1+=-,
则(-)÷(1)=-3,
所以原式=-+(-3)=-。专题训练三 绝对值非负性的应用
化简绝对值(去绝对值)
1.-|-6|= ( )
A.6 B.-6 C. D.-
2.(2025三门峡陕州区期中)如果|a|=-a,那么a的范围是 ( )
A.a>0 B.a>0或a=0
C.a<0或a=0 D.无法确定
3.若|a-4|=|a|+|-4|,则a是 ( )
A.任意一个有理数 B.任意一个非负数
C.任意一个非正数 D.任意一个负数
4.若|x|=7,则5-x= 。
5.已知|x|=3,y=-(-2),求x+y的值。
6.已知|a|=3,|b|=5,|a-b|=-(a-b),求a+b的值。
求最值(最大值、最小值)问题
7.若a是有理数,则|a-3|+5的最小值是 ( )
A.0 B.5 C.2 D.3
8.如果x为有理数,式子2 025-|x-2 025|存在最大值,这个最大值是 ( )
A.2 025 B.4 050 C.20 D.0
9.当a= 时,|1-a|+6会有最小值,且最小值是 。
几个非负数的和为0
10.若|a-3|与|b-5|互为相反数,则a+b的值为 ( )
A.8 B.-8
C.0 D.8或-8
11.若|a-1|+|b+3|+|2+c|=0,则a-b+c= 。
12.(2025衡阳蒸湘区月考)已知|x-2|+|y-3|=0。
(1)求x,y的值;
(2)已知|x+y+z|=7,求z的值。
13.已知|x-2|+2|y+5|+3|z+9|=0。
(1)求x,y,z的值;
(2)求2x-y+z的值。
【详解答案】
1.B 2.C
3.C 解析:因为|a+(-4)|=|a|+|-4|,所以a与-4同号或a=0,所以a为任意一个非正数。故选C。
4.-2或12 解析:因为|x|=7,所以x=±7,当x=7时,原式=5-7=-2;当x=-7时,原式=5-(-7)=12。
5.解:因为|x|=3,y=-(-2),
所以x=±3,y=2,
所以当x=3,y=2时,x+y=3+2=5。
当x=-3,y=2时,x+y=-3+2=-1。
综上所述,x+y的值为5或-1。
6.解:因为|a|=3,|b|=5,|a-b|=-(a-b),所以a=±3,b=±5,a-b小于或等于0,所以a=3,b=5或a=-3,b=5,所以a+b=3+5=8或a+b=-3+5=2。
7.B 解析:因为|a-3|的最小值为0,
所以|a-3|+5的最小值为5。故选B。
8.A 解析:因为绝对值具有非负性,
所以|x-2 025|的最小值为0。
因为2 025-|x-2 025|有最大值,
所以当|x-2 025|=0时,上式有最大值,最大值是2 025。故选A。
9.1 6 解析:因为|1-a|的最小值为0,所以当1-a=0时,|1-a|+6会有最小值,所以当a=1时,|1-a|+6的最小值是6。
10.A 解析:因为|a-3|和|b-5|互为相反数,所以|a-3|+|b-5|=0,所以a-3=0,b-5=0,所以a=3,b=5,所以a+b=3+5=8。故选A。
11.2 解析:根据绝对值的非负性可知,|a-1|大于或等于0,|b+3|大于或等于0,|2+c|大于或等于0,且|a-1|+|b+3|+|2+c|=0,所以|a-1|=0,|b+3|=0,|2+c|=0,所以a=1,b=-3,c=-2。所以a-b+c=1-(-3)+(-2)=2。
12.解:(1)由题意得,x-2=0,y-3=0,解得x=2,y=3。
(2)因为x=2,y=3,|x+y+z|=7,
所以|2+3+z|=7,
所以5+z=±7,
所以z=2或z=-12。
13.解:(1)由题意得,|x-2|=0,
2|y+5|=0,3|z+9|=0,
所以x-2=0,y+5=0,z+9=0,
即x=2,y=-5,z=-9。
(2)由(1)得,2x-y+z=2×2-(-5)+(-9)=4+5-9=0。专题训练二 数形结合与数轴
数轴上的点与有理数的对应关系
1.如图,□内的数为 ( )
A.-3 B.-4 C.-5 D.-6
2.(2025开封龙亭区期中)如图,点A表示的数是-5(数轴上1小格表示1个单位长度)。
(1)在数轴上标出表示数0的点;
(2)点B表示的数为 ;
(3)点C在数轴上,到点B的距离为1.5个单位长度,那么点C表示什么数
利用数轴比较有理数的大小
3.画一条数轴,并在数轴上画出分别表示有理数2,-2,|-1|,-(+4)的点A,B,C,D,并用“<”将这些数连接起来。
4.有理数a,b,c对应的点在数轴上的位置如图所示。
(1)化简:|a|= ,|b|= ;
(2)比较a,b,c,-a,-b,-c的大小。
利用数轴求整数点的个数
5.数轴上表示整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1 cm,若在这个数轴上随意画一条长15 cm的线段,则此线段盖住的整点共有 ( )
A.13或14个 B.14或15个
C.15或16个 D.16或17个
利用数轴解决实际问题
6.(跨学科)5个城市的国际标准时间(单位:时)在数轴上表示如图所示,那么北京时间2025年10月1日20时应是 ( )
A.纽约时间2025年10月1日5时
B.巴黎时间2025年10月1日13时
C.首尔时间2025年10月1日19时
D.伦敦时间2025年10月1日11时
7.某牛奶厂在一条东西走向的大街上设有O,A,B,C四家特约经销店。A店位于O店的西面3 km处,B店位于O店的东面1 km处,C店位于O店的东面2 km处。
(1)请以O为原点,向东为正方向,单位长度为1 km,画一条数轴,并在数轴上分别表示出O,A,B,C的位置;
(2)牛奶厂的送货车从O店出发,要把一车牛奶分别送到A,B,C三家经销店,然后回到O店,那么送货车走的最短路程是多少千米
【详解答案】
1.C
2.解:(1)因为点A表示的数是-5,所以原点在点A的右侧且距离点A5个单位长度,如图。
(2)2
(3)如图,
①当点C在点B的左侧时,表示数0.5,
②当点C在点B的右侧时,表示数3.5,
所以点C表示的数为0.5或3.5。
3.解:-(+4)=-4,|-1|=1。如图所示。
故-(+4)<-2<|-1|<2。
4.解:(1)a -b
(2)由题图可知c5.C 解析:依题意得:①当线段起点在整点时覆盖16个整点;②当线段起点不在整点,即在两个整点之间时覆盖15个整点。故选C。
6.B 解析:由题图得,当北京时间为2025年10月1日20时时,
纽约时间应为2025年10月1日7时;
伦敦时间应为2025年10月1日12时;
巴黎时间应为2025年10月1日13时;
首尔时间应为2025年10月1日21时;
所以B符合题意。故选B。
7.解:(1)如图。
(2)依题意得送货车走的最短路程为2+5+3=10(km)。