专题训练七 整体思想在整式加减中的应用
整体化简
1.化简:8(a-b)-5(b-a)-7(a-b)。
2.化简:35(2x-5y)+20(5y-2x)-14(2x-5y+10)+240。
3.化简:6(x+y)2+3(x+y)-9(x+y)2+2(x+y)。
利用整体思想代入求值
4.已知a+b=7,ab=10,求代数式(5ab+4a+7b)+(6a-3ab)-(4ab-3b)的值。
5.“整体思想”是一种非常重要的数学思想,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。阅读下列材料,并解决相关问题。
【材料呈现】
求代数式5(x-2y)-3(x-2y)+8(x-2y)-4(x-2y)的值,其中x=,y=。
先去括号,再合并同类项。
把(x-2y)看成一个整体,用字母a表示,这个代数式可以简化为5a-3a+8a-4a。
【问题解决】
(1)对“材料呈现”中的代数式,利用“整体思想”进行化简求值,并写出过程。
【简单应用】
(2)①把(a-b)2看成一个整体,合并3(a-b)2-7(a-b)2+2(b-a)2的结果是 ;
②若x2-2y=4,求3x2-6y-21的值。
整体思想之构造法
6.已知a-b=2,b-c=-3,c-d=5,求(a-c)(b-d)(c-d)的值。
7.小颖同学在学习整式的加减时遇到这样一道题:“如果代数式3a+2b的值为-4,那么代数式3(a+b)+3(2a+b)的值是多少 ”这个问题中,a和b的值不能单独求出来,于是聪明的小颖同学想到了把3a+2b作为一个整体求解,得到如下的解题过程:原式=3a+3b+6a+3b=9a+6b=3(3a+2b)=3×(-4)=-12。
请仿照上面的解题方法,解答下面的问题:
【简单应用】
(1)已知m2+m=2,则m2+m+2 025的值为 ;
【联系推广】
(2)已知2p-q=-3,求5(p-q)-9p+7q+5的值;
【拓展提高】
(3)已知2x2-3xy-y2=3,-x2+5xy-6y2=-2,求4x2-13xy+11y2的值。
整体思想之赋值法
8.当x=1时,代数式x2-2bx+a的值为3,求当x=-2时,代数式x2+bx+a的值。
9.(2025深圳期中)阅读材料:数学中,运用整体思想方法在求代数式的值时非常重要。
例如:已知a2+2a=2,则代数式2a2+4a+3=2(a2+2a)+3=2×2+3=7。
请你根据材料解答以下问题:
(1)若x2-3x=4,求1-x2+3x的值;
(2)当x=1时,代数式px3+qx-1的值是5,求当x=-1时,代数式px3+qx-1的值;
(3)当x=2 025时,代数式ax5+bx3+cx+6的值为m,求当x=-2 025时,代数式ax5+bx3+cx+6的值。(用含m的代数式表示)
【详解答案】
1.解:原式=8(a-b)+5(a-b)-7(a-b)=(8+5-7)(a-b)=6(a-b)=6a-6b。
2.解:原式=35(2x-5y)-20(2x-5y)-14(2x-5y)-140+240=(35-20-14)(2x-5y)+100=2x-5y+100。
3.解:原式=(6-9)(x+y)2+(3+2)(x+y)=-3(x+y)2+5(x+y)。
4.解:当a+b=7,ab=10时,
原式=5ab+4a+7b+6a-3ab-4ab+3b=-2ab+10(a+b)=-20+70=50。
5.解:(1)设x-2y=a,
则原式=5a-3a+8a-4a=6a,
当x=,y=时,
a=x-2y==-,
所以原式=6×=-1。
(2)①-2(a-b)2
②因为x2-2y=4,
所以3x2-6y-21=3(x2-2y)-21=12-21=-9。
6.解:因为a-b=2,b-c=-3,c-d=5,所以a-c=-1,b-d=2,
所以(a-c)(b-d)(c-d)=-1×2×5=-10。
7.解:(1)2 027
(2)因为2p-q=-3,
所以5(p-q)-9p+7q+5=5p-5q-9p+7q+5=-4p+2q+5=-2(2p-q)+5=-2×(-3)+5=11。
(3)因为2x2-3xy-y2=3,-x2+5xy-6y2=-2,
所以4x2-13xy+11y2=2x2-3xy-y2+2x2-10xy+12y2=2x2-3xy-y2-2(-x2+5xy-6y2)=3-2×(-2)=3+4=7。
8.解:当x=1时,代数式x2-2bx+a的值为3,
即1-2b+a=3,所以a-2b=2,
所以当x=-2时,代数式x2+bx+a=4-2b+a=4+(a-2b)=4+2=6。
9.解:(1)因为x2-3x=4,
所以1-x2+3x=1-(x2-3x)=1-4=-3。
(2)因为当x=1时,代数式px3+qx-1的值是5,
所以p×13+q×1-1=5,
所以p+q-1=5,所以p+q=6。
所以当x=-1时,
px3+qx-1=p×(-1)3+q×(-1)-1=-p-q-1=-(p+q)-1=-6-1=-7。
(3)因为当x=2 025时,代数式ax5+bx3+cx+6的值为m,
所以a×2 0255+b×2 0253+c×2 025+6=m,
所以a×2 0255+b×2 0253+c×2 025=m-6,
所以当x=-2 025时,
ax5+bx3+cx+6=a×(-2 025)5+b×(-2 025)3+c×(-2 025)+6=-(a×2 0255+b×2 0253+c×2 025)+6=-(m-6)+6=-m+12。专题训练六 整式的化简与求值
利用直接条件代入化简求值
1.先化简,再求值:3xy2-5xy+0.5x2y-3xy2-4.5x2y,其中x=3,y=-2。
2.先化简,再求值:-3x2y+(x2y-xy2)-(-5x2y+4xy2),其中x=-2,y=1。
3.先化简,再求值:(5x3+2x4y-3xy2)+(x3+3xy2+y3)-(6x3-x2y2+2y3),其中x=2,y=-1。
4.(2025淮南期中)已知A=x2-xy+y2,B=x2+xy+3y2,其中x=,y=,求A+(B-2A)的值。
利用间接条件代入化简求值
5.若a2xb3y与3a4b6是同类项,求3y3-4x3y-2(2y3-x3y)的值。
6.先化简,再求值:-3xy-[2xy2-2(xy-x2y+2xy2)-5x2y],其中|x+4|+=0。
7.先化简,再求值:2(x2y-2xy2)-,其中x是最大的负整数,y是绝对值最小的正整数。
8.已知代数式M=(2a2+ab-4)-2(2ab+a2+1)。
(1)化简M;
(2)若a,b满足等式(a-2)2+|b+3|=0,求M的值。
利用“无关”化简求值
9.(2025上海虹口区月考)已知代数式A=2x2+3xy+2y,B=x2-xy+x,若A-2B的值与x的取值无关,求y的值。
10.已知关于x的多项式2+4x2+3nx的值与x的取值无关。
(1)求m,n的值;
(2)求3(2m2-3mn-5m-1)+6(-m2+mn-1)的值。
11.(2025大庆肇源县月考)已知A=2a2+2ab-2a-1,B=-a2+ab-1。
(1)化简A-B;
(2)若A+2B的值与a的取值无关,求b的值。
12.已知一个多项式(3x2+ax-y+6)-(-6bx2-4x+5y-1)。
(1)若该多项式的值与字母x的取值无关,求a,b的值;
(2)在(1)的条件下,先化简多项式3ab2-+6a2b,再求它的值。
利用整体代入化简求值
13.已知m+4n=-1,求(6mn+7n)+[8m-(6mn+7m+3n)]的值。
【详解答案】
1.解:3xy2-5xy+0.5x2y-3xy2-4.5x2y=-5xy-4x2y,
当x=3,y=-2时,原式=-5×3×(-2)-4×32×(-2)=102。
2.解:-3x2y+(x2y-xy2)-(-5x2y+4xy2)=-3x2y+x2y-xy2+5x2y-4xy2=3x2y-5xy2,
当x=-2,y=1时,
原式=3×(-2)2×1-5×(-2)×12=22。
3.解:原式=5x3+2x4y-3xy2+x3+3xy2+y3-6x3+x2y2-2y3=2x4y+x2y2-y3,
当x=2,y=-1时,原式=2×16×(-1)+4×1-(-1)=-32+4+1=-27。
4.解:A+(B-2A)=A+B-2A=B-A=x2+xy+3y2-(x2-xy+y2)=x2+xy+3y2-x2+xy-y2=2xy+2y2,
当x=,y=时,
原式=2×+2×。
5.解:因为a2xb3y与3a4b6是同类项,
所以2x=4,3y=6,所以x=2,y=2,
所以3y3-4x3y-2(2y3-x3y)=3y3-4x3y-4y3+2x3y=-2x3y-y3=-2×23×2-23=-2×8×2-8=-32-8=-40。
6.解:-3xy-[2xy2-2(xy-x2y+2xy2)-5x2y]=-3xy-(2xy2-2xy+5x2y-4xy2-5x2y)=-3xy-2xy2+2xy-5x2y+4xy2+5x2y=(-3xy+2xy)+(-2xy2+4xy2)+(-5x2y+5x2y)=-xy+2xy2,
因为|x+4|+=0,
所以x+4=0,y+=0,
解得x=-4,y=-,
所以原式=-xy+2xy2=-(-4)×+2×(-4)×=-2-2=-4。
7.解:2(x2y-2xy2)-[(-x2y2+4x2y)-(6xy2-3x2y2)]=2x2y-4xy2-(-x2y2+4x2y-2xy2+x2y2)=2x2y-4xy2+x2y2-4x2y+2xy2-x2y2=-2x2y-2xy2。因为x是最大的负整数,y是绝对值最小的正整数,所以x=-1,y=1,所以原式=-2x2y-2xy2=-2×(-1)2×1-2×(-1)×12=-2+2=0。
8.解:(1)M=(2a2+ab-4)-2(2ab+a2+1)=2a2+ab-4-4ab-2a2-2=-3ab-6。
(2)因为(a-2)2+|b+3|=0,
所以a-2=0,b+3=0,
解得a=2,b=-3,
故M=-3×2×(-3)-6=18-6=12。
9.解:因为A=2x2+3xy+2y,B=x2-xy+x,
所以A-2B=2x2+3xy+2y-2(x2-xy+x)=2x2+3xy+2y-2x2+2xy-2x=5xy+2y-2x=x(5y-2)+2y,
因为A-2B的值与x的取值无关,
所以5y-2=0,解得y=。
10.解:(1)2+4x2+3nx=2mx2-2x-7+4x2+3nx=(2m+4)x2+(3n-2)x-7,
因为关于x的多项式2(mx2-x-)+4x2+3nx的值与x的取值无关,
所以2m+4=0,3n-2=0,
所以m=-2,n=。
(2)由(1)得m=-2,n=,所以3(2m2-3mn-5m-1)+6(-m2+mn-1)=6m2-9mn-15m-3-6m2+6mn-6=-3mn-15m-9=-3×(-2)×-15×(-2)-9=4+30-9=25。
11.解:(1)A-B
=2a2+2ab-2a-1-(-a2+ab-1)
=2a2+2ab-2a-1+a2-ab+1
=3a2+ab-2a。
(2)A+2B
=2a2+2ab-2a-1+2(-a2+ab-1)
=2a2-2a2+2ab+2ab-2a-1-2
=4ab-2a-3
=2a(2b-1)-3。
根据题意可得2b-1=0,所以b=。
12.解:(1)原式=3x2+ax-y+6+6bx2+4x-5y+1=(3+6b)x2+(a+4)x-6y+7,
因为该多项式的值与字母x的取值无关,
所以3+6b=0,a+4=0,
所以a=-4,b=-。
(2)原式=3ab2-(5a2b+2ab2-1+ab2)+6a2b
=3ab2-5a2b-2ab2+1-ab2+6a2b
=a2b+1,
当a=-4,b=-时,
原式=(-4)2×+1=-8+1=-7。
13.解:因为m+4n=-1,
所以(6mn+7n)+[8m-(6mn+7m+3n)]
=6mn+7n+(8m-6mn-7m-3n)
=6mn+7n+8m-6mn-7m-3n
=4n+m
=-1。专题训练八 整式加减运算中的“推理”问题
整式加减中的不含及无关问题
1.(2025芜湖期中)已知A=ax2-3x+by-1,B=3-2y-x+x2,若无论x,y为何值,A-2B的值始终不变,则ba的值为 ( )
A.16 B.-16 C.-4 D.4
2.江老师在课堂上布置了一道数学题:当x=-2 024,y=2 025时,求2(x2y+xy2)-2(x2y-1)-2xy2-2的值。对于此题,七(3)班的两位同学展开讨论。
小明:这么大的数,没法算;
小颖:这个算式的结果与x,y的取值无关。
那么他们到底谁的说法正确 你能说明理由吗
整式加减中的遮挡问题
3.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,小明不小心擦掉了一块,小亮说他记得小明擦掉的部分是一个二次三项式,黑板上剩下的过程为:3(x-2)-=x2+9x-7。
(1)求所擦掉的二次三项式;
(2)若x=-,求所擦掉的二次三项式的值。
4.小红在认真学习的时候,调皮的二宝弟弟跑来把她的一道求值题弄污损了,细心的小红隐约辨识出:化简(m2+3m-4)-(3m+4m2-2),其中m=-1,系数“”看不清楚了。
(1)如果小红把“”中的数值看成2,求上述代数式的值;
(2)若式子(m2+3m-4)-(3m+4m2-2)无论m取何值,这个代数式的值都是-2,请通过计算帮助小红确定“”中的数值。
整式加减中的错看问题
5.数学老师让学生计算,当x=2 024,y=2 025时,求代数式2(x-2y)-6(x-y-1)的值。由于小明抄题时粗心大意,把“x=2 024,y=2 025”抄成了“x=24,y=25”。但他求出的结果是正确的,你知道为什么吗 请解释是怎么回事,并计算最后的值。
6.某同学做一道题,已知两个多项式A,B,求A-B的值。他误将“A-B”看成“A+B”,经过正确计算得到的结果是x2+14x-6,其中A=-2x2+5x-1。
(1)请你帮助这位同学求出正确的结果;
(2)若x是最大的负整数,求A-2B的值。
与代数式有关的新定义问题
7.定义为二阶行列式,规定它的运算法则为=ad-bc。已知二阶行列式。
(1)求二阶行列式化简的结果;
(2)若x是最小的正整数,求二阶行列式的值。
规律探究
8.(2025亳州期中)有一个“数值转换机”,原理如图,若开始输入x的值是12,则第1次输出的结果是6,第2次输出的结果是3……则第2 025次输出的结果是 。
9.观察式子中的规律,并回答问题。
(1)观察发现
①;
②;
③;
④;
…
式子④中a= ,b= 。
(2)规律提炼
写出第个等式(用含有字母n的式子表示)。
(3)问题解决
求+…+的值。
【详解答案】
1.A 解析:因为A=ax2-3x+by-1,B=3-2y-x+x2,所以A-2B=ax2-3x+by-1-2=ax2-3x+by-1-6+4y+3x-2x2=(a-2)x2+(b+4)y-7,因为无论x,y为何值,A-2B的值始终不变,所以a-2=0,b+4=0,所以a=2,b=-4,所以ba=(-4)2=16。故选A。
2.解:小颖的说法正确。理由:原式=2x2y+2xy2-2x2y+2-2xy2-2=0,
显然化简结果中不含有x,y,所以最后的结果与x,y的取值无关,
所以小颖的说法正确。
3.解:(1)3(x-2)-(x2+9x-7)=3x-6-x2-9x+7=-x2-6x+1,
故所擦掉的二次三项式是-x2-6x+1。
(2)当x=-时,-x2-6x+1=--6×+1=。
4.解:(1)原式=2m2+3m-4-3m-4m2+2=-2m2-2。
当m=-1时,原式=-4。
(2)设中的数值为x,
则原式=xm2+3m-4-3m-4m2+2=(x-4)m2-2。
因为无论m取何值,这个代数式的值都是-2,所以x-4=0,所以x=4。
即“”中的数是4。
5.解:原式=2x-4y-2x+4y+6=6,
所以结果与x,y的取值无关,
所以把“x=2 024,y=2 025”抄成了“x=24,y=25”,求出来的结果也是正确的。
6.解:(1)因为A+B=x2+14x-6,A=-2x2+5x-1,所以B=x2+14x-6-(-2x2+5x-1)=3x2+9x-5,所以A-B=-2x2+5x-1-(3x2+9x-5)=-5x2-4x+4。
(2)因为A=-2x2+5x-1,B=3x2+9x-5,所以A-2B=-2x2+5x-1-2(3x2+9x-5)=-8x2-13x+9,因为x是最大的负整数,所以x=-1,所以A-2B=-8x2-13x+9=-8+13+9=14。
7.解:(1)原式=-5(x+1)-3(x-2)=-5x-5-3x+6=-8x+1。
(2)因为x是最小的正整数,所以x=1,则二阶行列式的值为-8x+1=-8×1+1=-7。
8.8 解析:因为输入x的值是12,所以第1次输出的结果是6,第2次输出的结果是3,第3次输出的结果是8,第4次输出的结果是4,第5次输出的结果是2,第6次输出的结果是1,第7次输出的结果是6,…,由此可见,从第1次输出的结果开始按6,3,8,4,2,1循环。又因为2 025÷6=337……3,所以第2 025次输出的结果是8。
9.解:(1)25 6
(2)由(1)给出的算式可得第个等式为=
。
(3)原式=100×(+…+)=100×(+…+)=100×()=100×()=100×-100×=50-=49。
